大學微積分高等數(shù)學課件第講常微分方程三

1、2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 1 作業(yè)作業(yè) 18. 20. 復習復習 P220245 P236 習題習題 8.2 P241 習題習題 8.3 3. 5. 6. 7. 12. 16. 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 2 第二十三講第二十三講 常微分方程常微分方程（三）（三） 二、常微分方程應用舉例二、常微分方程應用舉例 一、可降階微分方程一、可降階微分方程 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 3 型型（一）（一）)( xfy 逐次積分逐次積分 一、一、 高階可降階微分方程高階可降階微分方程 積分一次積分一次 1 )(Cd

2、xxfy 再積分一次再積分一次 21 )(CxCdxdxxfy 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 4 )(xppy 令令 py 變量替換變量替換 原方程變形成為原方程變形成為 y不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù) 型型（二二）),(yxfy ),(pxfp 一階一階 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 5 11 2 yxyx求求解解例例 特點是：不顯含特點是：不顯含 y y解解 )(xppy 令令1 2 xppx 2 11 x p x p x xx C pln 1 1 x xx C yln 1 1 積分積分,得通解得通解 2 2 1 ln 2 1 lnC

3、xxCy 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 6 解解2 注意到方程的特殊性注意到方程的特殊性 1 2 yxyx 1)( yyxx )( xy 1)( xyx x xy 1 )( 1 lnCxxy x xx C yln 1 1 積分積分,得通解得通解 2 2 1 ln 2 1 lnCxxCy 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 7 x不不顯顯含含自自變變量量 型型（三三）),(yyfy )(yppy 令令 dy dp p dx dy dy dp dx dp dx yd 2 2 ),(pyf dy dp p 一階一階 變量替換變量替換 原方程變形成為原

4、方程變形成為 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 8 012 2 yyy求求解解例例 特點是：不顯含特點是：不顯含 x解解 )( yppy 令令 方程化為方程化為01 2 ppyp 分離變量分離變量 y dy p pdp 2 1 積分積分 1 2 ln 2 1 ln)1ln( 2 1 Cyp 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 9 1 22 )1(Cyp y yC p 2 1 y yC dx dy 2 1 即即 分離變量解得分離變量解得 1 22 2 )(CyCx 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 10 列方程的常用方法列方程

5、的常用方法 (1) 利用物理定律列方程利用物理定律列方程 (2) 利用導數(shù)的幾何意義列方程利用導數(shù)的幾何意義列方程 (3) 利用微元分析法列方程利用微元分析法列方程 二、常微分方程應用舉例二、常微分方程應用舉例 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 11 ?30 ,.60 ,20 ,20,1001 C C CC 降降為為 物物體體的的溫溫度度才才能能問問還還需需經(jīng)經(jīng)過過多多長長時時間間 知知其其已已降降為為測測量量物物體體的的溫溫度度分分鐘鐘后后經(jīng)經(jīng)過過 的的房房間間內(nèi)內(nèi)放放在在的的物物體體有有一一個個例例 解解 取時間取時間t為自變量，物體的溫度為自變量，物體的溫度T(t

6、)為未知函數(shù)為未知函數(shù). 由牛頓冷卻定律知由牛頓冷卻定律知 ),0()20(比比例例常常數(shù)數(shù) kTk dt dT 初始條件初始條件 100)0( T 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 12 另外還有一個條件另外還有一個條件:60)20( T 可用來確定比例常數(shù)可用來確定比例常數(shù)k 分離變量，得分離變量，得 kdt T dT )20( 兩邊積分，得兩邊積分，得 1 )20ln(CktT kt CeT 20 kt CeT 20 100)0( T 代入上式，得代入上式，得80 C kt eT 8020 60)20( T 代入，得代入，得 2ln 20 1 k 2021-7-4

7、大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 13 t eT )2ln( 20 1 8020 將將 T=30 T=30 代入，解出代入，解出60 t 即，還需再經(jīng)過即，還需再經(jīng)過)(402060分分鐘鐘 物體的溫度即可降為物體的溫度即可降為C 30 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 14 例例2 已知曲線上任一點已知曲線上任一點P(x, y)處的切線在處的切線在 x軸上的截距等于點軸上的截距等于點P的橫坐標的一半的橫坐標的一半, 且過定點且過定點(2, 1), 求此曲線的方程求此曲線的方程 . 解解 )(xyy 設設曲曲線線方方程程為為 方方程程為為 處處的的切切線線則則該

8、該曲曲線線上上任任一一點點),(yxP )(xXyyY 軸軸上上的的截截距距為為得得切切線線在在令令xY,0 y y xx A 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 15 由題意得由題意得 2 x y y x 又已知曲線過點又已知曲線過點 (2, 1), 于是得到定解問題于是得到定解問題 1)2( 02 y yyx 分離變量求得通解分離變量求得通解 2 Cxy 4 1 ,1)2( Cy得得由由 2 4 1 xy 所所求求曲曲線線方方程程為為 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 16 例例3 試設計一反光鏡試設計一反光鏡, 使它能將點光源發(fā)使它能將點光源

9、發(fā) 出的光反射成為平行光出的光反射成為平行光 解解 軸軸繞繞設設反反光光鏡鏡鏡鏡面面由由曲曲線線xxyy)( 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的 點光原位于坐標原點點光原位于坐標原點O,由點由點O發(fā)出的光線發(fā)出的光線 經(jīng)反射都成為平行于經(jīng)反射都成為平行于x軸的平行光軸的平行光 o y x 由光的反射定律由光的反射定律 ),(yxM T A 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 17 于是有于是有 xAO y tg OMAO xOM y 22 yxx y 根據(jù)導數(shù)的幾何意義根據(jù)導數(shù)的幾何意義 tgy 得到微分方程得到微分方程 22 yxx y y 一階齊次一階齊次 變形為變形為 )1(1)

10、( 2 22 y x y x y yxx dy dx 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 18 uyxu y x 即即令令, 分離變量分離變量 dy du yu dy dx 代入代入(1)式，得式，得 1 2 u dy du y y dy u du 1 2 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 19 yCuu 1 2 22 )(1uyCu )(21 22 yuCyC xCyC2 22 ) 1 ( 2 1 2 C Cyx Cyuulnln)1ln( 2 積分，得積分，得 取指數(shù)取指數(shù) 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 20 . ,

11、 , , 2,10 ,1004 的的規(guī)規(guī)律律 變變化化試試求求容容器器內(nèi)內(nèi)鹽鹽量量隨隨時時間間是是均均勻勻的的 一一時時刻刻都都假假設設容容器器中中的的溶溶液液在在每每流流出出 并并以以同同樣樣的的速速度度使使鹽鹽水水凈凈水水注注入入容容器器 升升的的均均勻勻速速度度把把今今以以每每分分鐘鐘公公斤斤 其其中中含含鹽鹽升升鹽鹽水水一一容容器器內(nèi)內(nèi)盛盛有有例例 升升2 升升2 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 21 解解 列方程，確定初始條件列方程，確定初始條件 已知，在任何一段時間內(nèi)已知，在任何一段時間內(nèi) 容器內(nèi)含鹽改變量容器內(nèi)含鹽改變量=流進鹽量流進鹽量流出鹽量流出鹽量

12、 若溶液的濃度不變，則若溶液的濃度不變，則 流出鹽量流出鹽量=濃度濃度 流出的溶液量流出的溶液量 問題中，溶液的濃度始終在變，如何解決問題中，溶液的濃度始終在變，如何解決? 考慮微小時間間隔考慮微小時間間隔 dt 內(nèi)的變化情況內(nèi)的變化情況 設時刻設時刻 t 時溶液的含鹽量為時溶液的含鹽量為)(tQQ 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 22 當時間從當時間從 t 變到變到 t+dt 時，容器內(nèi)的含鹽量時，容器內(nèi)的含鹽量 由由 Q 變到變到 Q+dQ，因而容器內(nèi)含鹽改變量為，因而容器內(nèi)含鹽改變量為 dQ 從容器內(nèi)流出的溶液量為從容器內(nèi)流出的溶液量為 2dt 在時間在時間 d

13、t 內(nèi)鹽水的濃度近似看作不變，內(nèi)鹽水的濃度近似看作不變， 看作是看作是 t 時刻的鹽水濃度時刻的鹽水濃度 100 )(tQ 所以流出的鹽量為所以流出的鹽量為dt tQ 2 100 )( 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 23 于是有于是有dt tQ tdQ2 100 )( )( 初始條件初始條件10)( 0 t tQ 分離變量分離變量 50 dt Q dQ 50 t CeQ 50 10 t eQ 通解通解 特解特解 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 24 o h dhh h 10 r ? ,5 .0 ,60 10,5 2 多多少少時時間間 需需要

14、要問問水水全全部部流流完完的的小小孔孔為為 漏漏斗斗下下面面有有一一個個截截面面積積頂頂角角為為 高高為為斗斗有有一一盛盛滿滿水水的的圓圓錐錐形形漏漏例例 cmS cm 解解 此問題涉及水面高度此問題涉及水面高度 隨時間的變化規(guī)律隨時間的變化規(guī)律 根據(jù)水利學定律，流出速度根據(jù)水利學定律，流出速度 )/(26 . 0scmghv 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 25 考慮任意時刻考慮任意時刻 t ，任取時間區(qū)間，任取時間區(qū)間t , t+dt 在在 dt 時間內(nèi)，水面高度的改變?yōu)闀r間內(nèi)，水面高度的改變?yōu)?dh dhrdV 2 3 30 h tghr 取時間取時間 t 為自

15、變量，水面高度為自變量，水面高度 h(t) 為未為未 知函數(shù)，并取坐標系如圖知函數(shù)，并取坐標系如圖 漏斗內(nèi)水的體積改變量為漏斗內(nèi)水的體積改變量為 dhhdh h dV 22 3 ) 3 ( 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 26 下落水的體積下落水的體積 = = 流出水的體積流出水的體積 于是列出微分方程于是列出微分方程 dtghdhh23 . 0 3 2 初始條件初始條件10)0( h 另方面另方面,時間時間 dt 內(nèi)從小孔流出水的體積等于內(nèi)從小孔流出水的體積等于 以以 S 為底，以為底，以 (vdt) 為高的小圓柱體積為高的小圓柱體積 dthgdtgh23 .0)2

16、6 .0(5 .0 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 27 經(jīng)整理得經(jīng)整理得dhh g dt 2 3 29 . 0 解得解得Ch g t 2 5 5 2 29 . 0 2 5 100314.0,10)0( Ch得得由由 Ch 2 5 0314. 0 )10(0314. 0 2 5 2 5 ht 當水流完時，當水流完時，h = 0 )(10100314.0 2 5 st 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 28 平平面面上上單單參參數(shù)數(shù)曲曲線線族族 是是設設0),(,0),( 21 cyxGcyxF 則則稱稱兩兩條條曲曲線線正正交交互互相相垂垂直直

17、如如果果在在交交點點處處切切線線是是兩兩條條曲曲線線設設 , , 21 LL ,0),( 0),( 2 1 所所有有曲曲線線正正交交都都與與曲曲線線族族 中中的的每每條條曲曲線線如如果果曲曲線線族族 CyxG CyxF .則則稱稱兩兩曲曲線線族族互互相相正正交交 正交軌線問題正交軌線問題 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 29 . 07 22 曲曲線線族族 的的正正交交求求曲曲線線族族例例 cxyx 則則有有正正交交 在在其其交交點點和和設設曲曲線線 , )()(xgyxfy )( 1 )( xf xg 兩兩個個曲曲線線族族 表表示示上上述述和和用用),(),(cxgy

18、cxfy 思路：思路： 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 30 C消消去去常常數(shù)數(shù) Cxyx 22 x yx C 22 xy xy dx dy 2 22 方方程程這這是是已已知知曲曲線線族族的的微微分分 :),(的的切切線線斜斜率率首首先先計計算算cxfy y xC dx dy 2 2 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 31 :方方程程是是從從而而正正交交曲曲線線族族的的微微分分 22 2 xy xy dx dy 0 22 cyyx 這就是正交曲線族！這就是正交曲線族！ 通解通解 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 32 xo y 0 22 cyyx 0 22 cxyx 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 33 ,:1 0下 下落落的的物物體體以以初初速速質(zhì)質(zhì)量量等等于于練練習習vm 假假設設空空氣氣阻阻力力;)1( 與與速速度度成成正正比比 .)2(與與速速度度平平方方成成正正比比 .試試求求物物體體運運動動規(guī)規(guī)律律 :定定律律列列方方程程用用Newton 解解 0 )0( ) 1( vv kvmg dt dv m 0 2 2 )0(, 0)0(vSS dt dS kmg dt Sd m 或者或者 2021-7-4大學微積分高等數(shù)學課件第講常微 分方程三 34 0