第6章 非線性有限元法(幾何非線性)

1、第六章第六章 非線性有限元法（幾何非線性）非線性有限元法（幾何非線性） 1、變形體的運動描述 x3 x1 x2 P0 t0=0 tn+1=tn+tn tn Pn Pn+1 A0 An+1 An 變形體上的質(zhì)點的運動狀態(tài)變形體上的質(zhì)點的運動狀態(tài) 可以隨不同的坐標選取以下幾可以隨不同的坐標選取以下幾 種描述方法：種描述方法： 1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日列式法（T.LT.L列式列式 法法Total Lagrangian Formulation)Total Lagrangian Formulation)： 選取選取t t0 0=0=0時刻未變形物體的構(gòu)時刻未變形物體的構(gòu) 形形A A0 0作為參

2、照構(gòu)形進行分析。作為參照構(gòu)形進行分析。 2 2、修正拉格朗日列式法修正拉格朗日列式法（U.LU.L列式法列式法Updated Lagrangian FormulationUpdated Lagrangian Formulation）： 選取選取t tn n時刻的物體構(gòu)形時刻的物體構(gòu)形A An n作為參照構(gòu)形。由于作為參照構(gòu)形。由于A An n隨計算而變化，因隨計算而變化，因 此其構(gòu)形和坐標值也是變化的，即與此其構(gòu)形和坐標值也是變化的，即與t t有關。有關。t tn n為非線性增量求解時增為非線性增量求解時增 量步的開始時刻。量步的開始時刻。 3 3、歐拉描述法歐拉描述法(Eulerian Fo

3、rmulation)(Eulerian Formulation)： 獨立變量是質(zhì)點當前時刻的位置獨立變量是質(zhì)點當前時刻的位置x xn+1 n+1與時間 與時間t tn+1 n+1。 。 幾何非線性的有限元方程一幾何非線性的有限元方程一 般采用般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立！列式法建立！ 、變形梯度張量 x3 x1 x2 PP P P 初始初始/ /未變形未變形 變形后變形后 位移位移u u x x x x 1 1、首先采用、首先采用LagrangianLagrangian方法，方法， 將一個物體的加載過程劃分為將一個物體的加載過程劃分為 一系列平衡狀態(tài)。一系列平衡狀態(tài)。 iii

4、uxx位移方程位移方程 初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間坐初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間坐 標關系為：標關系為： 2 2、然后，考慮材料方向矢量，這個矢量、然后，考慮材料方向矢量，這個矢量 描述物體內(nèi)一段無限小的單元。描述物體內(nèi)一段無限小的單元。 jijj j i i xdFxd x x dx x3 x1 x2 i xP ii dxxP ii xdxQ i xP 式中，式中，F(xiàn) Fij ij稱為變形梯度張量。稱為變形梯度張量。 j i ij x x F 初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間材料方向矢量初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間材料方向矢量 的關系：的關系： 、變形梯度張量 j i j i j i ij x u x x x

5、 x F jjiiijij FFFFI 2 1 2 由位移方程，得：由位移方程，得： j i ijij x u F ijijii FFI 1 由二階張量特性，變形梯度張量由二階張量特性，變形梯度張量 的三個不變量為：的三個不變量為： VJdVdFdV ij det JFI ij det 3 由于由于F Fij ij表示從初始狀態(tài)到變表示從初始狀態(tài)到變 形后狀態(tài)的一個映射，其逆映射形后狀態(tài)的一個映射，其逆映射 Fij-1一定存在，即：一定存在，即： AdFJNdAn ijij 1 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?體積映射體積映射: : 面積映射：面積映射： 變形前面積變形前面積dA dA Ni ( (初始面積

6、法向矢量初始面積法向矢量) ) 變形后面積變形后面積dAdA ni(變形后面積法向矢量變形后面積法向矢量) ) 映射映射F Fij ij 逆映射逆映射F F-1 -1ij ij F Fij ij是一個二階張量。是一個二階張量。 j i ij j i ij x u x x F 1 、應變與變形測度 由于變形梯度張量由于變形梯度張量F Fij ij中包含了剛體運動，因此不能直接用于定中包含了剛體運動，因此不能直接用于定 義應變測度。而材料方向矢量則不包含剛體運動，因此它的平方值義應變測度。而材料方向矢量則不包含剛體運動，因此它的平方值 可以作為衡量從某一狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個測度，定義為：可以作為

7、衡量從某一狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個測度，定義為： ii xdxdsd 2 初始狀態(tài)初始狀態(tài): : 一個應變測度應該能反映出材料一段一個應變測度應該能反映出材料一段 長度發(fā)生的改變。因此，應變張量可以由長度發(fā)生的改變。因此，應變張量可以由 下式定義：下式定義： iiii xdxddxdxsdds 22 x3 x1 x2 i xP ii dxxP ii xdxQ i xP iidx dxds 2 變形后狀態(tài)：變形后狀態(tài)： 提醒：提醒：由于由于GreenGreen應變張量表達式中的變形梯度張量對應于初始狀應變張量表達式中的變形梯度張量對應于初始狀 態(tài)，因此該應變張量也應在初始狀態(tài)下計算。態(tài)，因此該應變

8、張量也應在初始狀態(tài)下計算。 、應變與變形測度 、AlmanshiAlmanshi應變張量應變張量1 1、Green Green 應變張量應變張量 GreenGreen應變張量采用應變張量采用LagrangianLagrangian運運 動描述方法，即按初始狀態(tài)下的動描述方法，即按初始狀態(tài)下的 構(gòu)形定義應變張量。構(gòu)形定義應變張量。 iiijiiijkjki iijkjkii iiii xdxdexdxdFF xdxdxdFFxd xdxddxdxsdds 2 22 ijkjkiij FFe 2 1 式中，式中，e eij ij稱為稱為GreenGreen應變張量應變張量或或 Green-Lagr

9、angianGreen-Lagrangian應變張量應變張量。 AlmanshiAlmanshi應變張量采用應變張量采用EularEular運動運動 描述方法，即按當前狀態(tài)下的構(gòu)描述方法，即按當前狀態(tài)下的構(gòu) 形定義應變張量。形定義應變張量。 iiijiikjkiij jkjkiiii iiii dxdxEdxdxFF dxFFdxdxdx xdxddxdxsdds 2 11 11 22 11 2 1 kjkiijij FFE 式中，式中，E Eij ij稱為稱為AlmanshiAlmanshi應變張量應變張量 或或Almanshi Almanshi EularEular應變張量應變張量。 由于

10、大變形問題有由于大變形問題有 限元方程主要采用限元方程主要采用 T.LT.L列式法列式法或或U.LU.L列式列式 法法建立，因此應在初建立，因此應在初 始狀態(tài)下定義應變張始狀態(tài)下定義應變張 量，即采用量，即采用GreenGreen應應 變張量。變張量。 可以證明可以證明GreenGreen應變張量和應變張量和AlmanshiAlmanshi應變張量都是二階對稱張量。應變張量都是二階對稱張量。 、應變與變形測度 2 2、Green Green Lagrangian Lagrangian應變張量應變張量e eij ij與小應變張量與小應變張量ij ij的關系的關系 將變形梯度張量表達式代入到將變形

11、梯度張量表達式代入到 GreenGreen應變張量公式中，得：應變張量公式中，得： ijij j k i k i j j i ij j k i k i j j i ij ij j k kj i k kiij x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u e 2 1 2 1 2 1 2 1 i j j i ij x u x u 2 1 式中：式中： 為小變形應變張量；為小變形應變張量； kjkiij FFC j k i k ij x u x u 2 1 2 2、GreenGreen變形張量也可寫為：變形張量也可寫為： 為非線性二次項為非線性二次項 1 1、Gre

12、enGreen應變張量應變張量 為小應變張量與一個非線性二為小應變張量與一個非線性二 次項之和，這意味所有大變形次項之和，這意味所有大變形 分析都是非線性的。分析都是非線性的。 ijijij Ce 2 1 ijijij e 式中，式中，C Cij ij是是CauchyCauchy變形張量變形張量 由于由于CauchyCauchy變形張量是正定對稱變形張量是正定對稱 陣，因此該張量有三個實特征值；陣，因此該張量有三個實特征值； 這些特征值的平方根記為材料的這些特征值的平方根記為材料的 主軸拉伸。主軸拉伸。 、大變形的應力測度 1 1、柯西應力張量、柯西應力張量(Cauchys stress (C

13、auchys stress tensor)tensor) 取三維空間笛卡兒坐標系，在取三維空間笛卡兒坐標系，在t t時刻時刻 的現(xiàn)時構(gòu)形中截取一個四面體素，斜面的現(xiàn)時構(gòu)形中截取一個四面體素，斜面 的法線為的法線為n n，另外三個面元與所取坐標，另外三個面元與所取坐標 面平行。由四面體素的平衡條件得出其面平行。由四面體素的平衡條件得出其 上的應力為：上的應力為： jiji nn n i i n 3 x 2 x 1 x 這里這里ij=ji便是便是柯西應力張量柯西應力張量，它是二階對稱張量。，它是二階對稱張量。 、柯西、柯西(Cauchy)(Cauchy)應力張量是一種采用歐拉描述法應力張量是一種采

14、用歐拉描述法( (是以質(zhì)點的瞬時是以質(zhì)點的瞬時 坐標坐標x xk k和時間和時間t t作為自變量描述作為自變量描述) )定義在定義在t t時刻的現(xiàn)時構(gòu)形上的應力張時刻的現(xiàn)時構(gòu)形上的應力張 量量ij ij，又稱，又稱歐拉應力張量歐拉應力張量。 、在大變形、在大變形( (有限變形有限變形) )情況下，由于變形前的初始構(gòu)形和變形后情況下，由于變形前的初始構(gòu)形和變形后 的現(xiàn)時構(gòu)形差別較大，柯西的現(xiàn)時構(gòu)形差別較大，柯西(Cauchy)(Cauchy)應力張量難于適應。應力張量難于適應。 柯西應力是定義在現(xiàn)柯西應力是定義在現(xiàn) 時構(gòu)形（變形后狀態(tài)時構(gòu)形（變形后狀態(tài) 下）的單位面積上的下）的單位面積上的 力，

15、是與變形相關的力，是與變形相關的 真實應力。真實應力。 3、大變形的應力測度 2 2、一階、一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量 一階一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量的定義是建立在總應力張量的定義是建立在總 力相等的基礎上。即：在參考狀態(tài)下該應力張量力相等的基礎上。即：在參考狀態(tài)下該應力張量 能給出與變形后狀態(tài)下柯西應力張量相同的力。能給出與變形后狀態(tài)下柯西應力張量相同的力。 變形后狀態(tài)下：變形后狀態(tài)下：dAndP jiji 稱為一階稱為一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量或或名

16、義應力名義應力 參考后狀態(tài)下：參考后狀態(tài)下： AdNTdP jiji 變形前面積變形前面積dA dA Ni ( (參考面積法向矢量參考面積法向矢量) ) 變形后面積變形后面積dAdA ni(變形后面積法向矢量變形后面積法向矢量) ) AdFJNdAn ijij 1 將面積映射關系：將面積映射關系： 代入上式，得：代入上式，得： 1 jkikij JFT AdNTdAn jijjij AdNTAdFJN jijkjkij 1 同樣，柯西應力張量也可以由一同樣，柯西應力張量也可以由一 階階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量表示：應力張量表示：ikjkij TFJ 1

17、從該式可以看出，一階從該式可以看出，一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力應力 張量張量提供了以參考狀態(tài)表示實際力的形式。但提供了以參考狀態(tài)表示實際力的形式。但 是，直接應用一階是，直接應用一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量可能可能 存在以下兩個困難：存在以下兩個困難： 1 1、從能量角度上，、從能量角度上，T Tij ij不適合與不適合與GreenGreen應變張量應變張量 共同使用。因為共同使用。因為T Tij ij乘以乘以GreenGreen應變張量不會產(chǎn)應變張量不會產(chǎn) 生與生與CauchyCauchy應力張量與小應變張

18、量相同的能量應力張量與小應變張量相同的能量 密度。密度。 2 2、T Tij ij不對稱，因而較難應用到有限元分析中。不對稱，因而較難應用到有限元分析中。 、大變形的應力測度 3 3、二階、二階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量 如不采用變形后狀態(tài)如不采用變形后狀態(tài)dPdP推導應力張量，而推導應力張量，而 是將作用在變形后狀態(tài)下的是將作用在變形后狀態(tài)下的dPdP映射到未變形映射到未變形 狀態(tài)上（映射是采用逆變形梯度張量），即：狀態(tài)上（映射是采用逆變形梯度張量），即： jiji dPFPd 1 AdNSPd jiji 這樣可以定義另一個應力張量這樣可以定義另

19、一個應力張量S S，它給出了，它給出了 未變形狀態(tài)下作用在未變形面積上的總力：未變形狀態(tài)下作用在未變形面積上的總力： 現(xiàn)在，變換柯西應力張量，使：現(xiàn)在，變換柯西應力張量，使： dAnFdPFPd kjkijjiji 11 AdNJFFPd rrkjkiji 11 AdFJNdAn ijij 1 將面積映射關系將面積映射關系 代入上式：代入上式： ( 1 )( 1 ) ( 2 )( 2 ) ( 3 )( 3 ) ( 4 )( 4 ) 對比對比(2)(2)、(4)(4)式可得：式可得： 11 rkjkijij JFFS rkijijjk FJSF 1 S Sij ij稱為稱為二階二階Piola-K

20、irchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量 或或偽應力偽應力 同樣，由上式可得：同樣，由上式可得： 二階二階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量S Sij ij 的性質(zhì)：的性質(zhì)： S Sij ij是對稱陣；是對稱陣； S Sij ij在能量角度下與在能量角度下與GreenGreen應變張應變張 量協(xié)調(diào)，即：量協(xié)調(diào)，即： 該表達式的優(yōu)點在于等式右邊是該表達式的優(yōu)點在于等式右邊是 在參考狀態(tài)下計算的。在參考狀態(tài)下計算的。 1. 1. S Sij ij與與T Tij ij有以下關系：有以下關系： ijijijij eS rjijri TSF 二階二

21、階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應力張量應力張量 的物理意義是明確的：真實的物理意義是明確的：真實 的力元可以看成是由的力元可以看成是由S Sij ij定義定義 的力元經(jīng)與變形相同的方式的力元經(jīng)與變形相同的方式 被被“拉長和轉(zhuǎn)動拉長和轉(zhuǎn)動”后得到的。后得到的。 、大變形的應力測度 4 4、三個應力張量的比較、三個應力張量的比較 張量張量 作用力作用力 作用面積作用面積 柯西應力張量柯西應力張量ij ij 變形后狀態(tài)下的力 變形后狀態(tài)下的力 變形后狀態(tài)下的面積變形后狀態(tài)下的面積 一階一階P-KP-K應力張量變形后狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積應力張量變形后狀態(tài)下的力未變形

22、狀態(tài)下的面積 二階二階P-KP-K應力張量未變形狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積應力張量未變形狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積 因此，雖然二階因此，雖然二階P-KP-K應力張量有其應用上的優(yōu)點，但其本身的物理應力張量有其應用上的優(yōu)點，但其本身的物理 意義很難理解。它主要是起到求解大變形問題的橋梁作用，通過意義很難理解。它主要是起到求解大變形問題的橋梁作用，通過 它計算出柯西應力張量。它計算出柯西應力張量。 、幾何非線性有限元方程的建立 如前所述，幾何非線性的有限元方程一般采用如前所述，幾何非線性的有限元方程一般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立：列式法建立： 1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日

23、列式法（T.LT.L列式法列式法) )： 選取選取t t0 0=0=0時刻未變形物體的構(gòu)形時刻未變形物體的構(gòu)形A A0 0作為參照構(gòu)形進行分析。作為參照構(gòu)形進行分析。 2 2、修正拉格朗日列式法修正拉格朗日列式法（U.LU.L列式法）列式法）： 選取選取t tn n時刻的物體構(gòu)形時刻的物體構(gòu)形A An n作為參照構(gòu)形。由于作為參照構(gòu)形。由于A An n隨計算而變化，因隨計算而變化，因 此其構(gòu)形和坐標值也是變化的，即與此其構(gòu)形和坐標值也是變化的，即與t t有關。有關。t tn n為非線性增量求解時增為非線性增量求解時增 量步的開始時刻。即增量分析。量步的開始時刻。即增量分析。 x3 x1 x2

24、P0 t0=0 tn+1=tn+tn tn Pn Pn+1 A0 An+1 An 圖示物體同時作用有體積力圖示物體同時作用有體積力fib和和 面力面力fiS，在時刻，在時刻t tn+1 n+1=t =tn n+ +t tn n的平的平 衡方程可以按虛功原理建立：衡方程可以按虛功原理建立： S * i S i V * i b i V ijij dSufdVufdV * 提醒：提醒：該方程此時不可解，因為應力該方程此時不可解，因為應力 和應變在變形后狀態(tài)下表示未知。和應變在變形后狀態(tài)下表示未知。 、幾何非線性有限元方程的建立 2 2、在外力作用點和方向都不改、在外力作用點和方向都不改 變的條件下，

25、也可以將體積力變的條件下，也可以將體積力fib 和面力和面力fiS定義到初始狀態(tài)下：定義到初始狀態(tài)下： dSfSdfdSfSdf b i b i S i S i S * i S i V * i b i V ijij dSufdVufdV * S * i S i V * i b i V ijij SdufVdufVdeS * 提醒：提醒：上式給出的虛功方程是從上式給出的虛功方程是從變形后狀態(tài)下變形后狀態(tài)下的虛功方程轉(zhuǎn)換的虛功方程轉(zhuǎn)換 而來，因此是準確的，但是已經(jīng)完全定義在初始狀態(tài)下了。而來，因此是準確的，但是已經(jīng)完全定義在初始狀態(tài)下了。 為了求解，需將以上變形后狀態(tài)下表示的虛功方程轉(zhuǎn)換到為了求解

26、，需將以上變形后狀態(tài)下表示的虛功方程轉(zhuǎn)換到 初始狀態(tài)下表達。初始狀態(tài)下表達。 V ijij V ijij VdeSdV * 1 1、采用二階、采用二階PiolaPiola應力張量和應力張量和 GreenGreen應變張量將虛應變能轉(zhuǎn)換應變張量將虛應變能轉(zhuǎn)換 到初始狀態(tài)下表示：到初始狀態(tài)下表示： 將以上關系代入到虛功方程中：將以上關系代入到虛功方程中： 得：得： ( a )( a ) 、幾何非線性有限元方程的建立 ij R 2 1 表示該張量對應的時刻：表示該張量對應的時刻：1 1代表初始代表初始 狀態(tài)時刻，狀態(tài)時刻，2 2為變形后狀態(tài)時刻；為變形后狀態(tài)時刻； 如該標識缺省，則表示從初始狀態(tài)如該

27、標識缺省，則表示從初始狀態(tài) 變化到變形后狀態(tài)該張量的增量。變化到變形后狀態(tài)該張量的增量。 代表定義該張量所對應的構(gòu)形：代表定義該張量所對應的構(gòu)形： 1 1為初始狀態(tài)構(gòu)形，為初始狀態(tài)構(gòu)形，2 2為變形后為變形后 狀態(tài)構(gòu)形；如該標識缺省，則狀態(tài)構(gòu)形；如該標識缺省，則 為初始狀態(tài)構(gòu)形。為初始狀態(tài)構(gòu)形。 在利用增量法（在利用增量法（修正拉格朗日列式法）修正拉格朗日列式法）求解時，為了分析的方求解時，為了分析的方 便，在張量符號的左側(cè)引入上下標，分別該張量對應時刻以及定義便，在張量符號的左側(cè)引入上下標，分別該張量對應時刻以及定義 該張量的構(gòu)形：該張量的構(gòu)形： S * i S i V * i b i V

28、ijij SdufVdufVdeS 2 1 2 1 *2 1 2 1 當引入以上表示后，當引入以上表示后， 按按t t1 1+ +t t時刻構(gòu)形建立的虛功方程可以寫為：時刻構(gòu)形建立的虛功方程可以寫為： 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?QVdeS V ijij 2 1 *2 1 2 1 式中，式中， 表示外力所做的虛功。表示外力所做的虛功。 S * i S i V * i b i SdufVdufQ 2 1 2 1 2 1 、幾何非線性有限元方程的建立 引入此前引入此前GreenGreen應變張量表達式，可得：應變張量表達式，可得： ijijijijijij ee i j j i ij x u x u 2 1

29、 線線性性項項為為： ijijij SSS 1 1 1 2 1 j k i k j k i k ij x u x u x u x u 2 1 非線性項為：非線性項為： 再將變形后狀態(tài)下再將變形后狀態(tài)下KirchoffKirchoff應力張量表示為未變應力張量表示為未變 形狀態(tài)的形狀態(tài)的KirchoffKirchoff應力張量加上一個應力增量：應力張量加上一個應力增量： ( a )( a ) ( b )( b ) ij S 1 1 ijij S 11 1 注意，式注意，式 ( b )( b )中中 為作用在未變形構(gòu)形上并以未變形狀態(tài)下表示為作用在未變形構(gòu)形上并以未變形狀態(tài)下表示 的的Kircho

30、ffKirchoff應力張量，實際上就是柯西應力張量：應力張量，實際上就是柯西應力張量： 。 虛功方程：虛功方程： QVdeS V ijij 2 1 *2 1 2 1 ijijij SS 1 12 1 ( c )( c ) 、幾何非線性有限元方程的建立 S * i S i V * i b i SdufVduf 1 1 1 1 VdQ V * ijij 1 11 1 為為t tn n時刻初始構(gòu)形上時刻初始構(gòu)形上 外力所做虛功。外力所做虛功。 QVdeSVdQ VdSVdSVdVdVdeS V ijij V ijij V ijij V ijij V ijij V ijij V ijijijij 2

31、 1 * 11 * 1 11 1 * 11 * 11 * 1 1* 1 1* 1 * 11 1 將以上將以上 ( a )( a )、( c )( c )兩式代入到虛功方程中，可得：兩式代入到虛功方程中，可得： QQVdVdeS V ijij V ijij 1 1 2 1 * 1 1* 11 即變形后狀態(tài)下的虛功方程為：即變形后狀態(tài)下的虛功方程為： 式中：式中： 為為t tn n+ +t t時刻初始構(gòu)形上外力所做的虛功。時刻初始構(gòu)形上外力所做的虛功。 S * i S i V * i b i SdufVdufQ 2 1 2 1 2 1 這里，虛功方程中由于包含了非線性二這里，虛功方程中由于包含了非線性二 次項，因此方程是非線性方程。這個方次項，因此方程是非線性方程。這個方 程還不能直接求解。為了求解這個方程，程還不能直接求解。為了求解這個方程， 需要將方程線性化。需要將方程線性化。 6、非線性平衡增量方