第5章(靜電場(chǎng))習(xí)題課

1、1 第第5章章 真空中的靜電場(chǎng)課堂討論真空中的靜電場(chǎng)課堂討論 一、簡單小結(jié)一、簡單小結(jié) 二、例題分析二、例題分析 三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí) 2 真空中靜電場(chǎng)小結(jié)（兩兩歌）真空中靜電場(chǎng)小結(jié)（兩兩歌） 一一.兩個(gè)基本物理量兩個(gè)基本物理量)(VE 二二.兩個(gè)基本場(chǎng)方程兩個(gè)基本場(chǎng)方程 0 0 L i i S lE q SE dd 三三.兩個(gè)基本計(jì)算思路兩個(gè)基本計(jì)算思路 QQ VVEEdd (疊加疊加) )0( )(0P i i S lEV q SE dd (高斯高斯) 四四. 兩句強(qiáng)調(diào)話：兩句強(qiáng)調(diào)話：注重典型場(chǎng)注重典型場(chǎng) 注重疊加原理注重疊加原理 3 五五.靜電場(chǎng)基本問題靜電場(chǎng)基本問題 1.由庫侖定律

2、求相互作用力由庫侖定律求相互作用力. 2.由由疊加原理求電場(chǎng)：幾種典型的結(jié)論（點(diǎn)電荷、長疊加原理求電場(chǎng)：幾種典型的結(jié)論（點(diǎn)電荷、長 直線、圓環(huán)）及其組合直線、圓環(huán)）及其組合. .注意矢量性注意矢量性. . 3.由高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)：三種對(duì)稱性（球、柱、面）由高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)：三種對(duì)稱性（球、柱、面） 4.通過電勢(shì)梯度求電場(chǎng)通過電勢(shì)梯度求電場(chǎng). 5.通過電場(chǎng)強(qiáng)度積分求電勢(shì)通過電場(chǎng)強(qiáng)度積分求電勢(shì). . 6.由疊加原理求電勢(shì)：幾種典型的結(jié)論（直線、弧線、由疊加原理求電勢(shì)：幾種典型的結(jié)論（直線、弧線、 圓環(huán)、半圓、球面）及其組合圓環(huán)、半圓、球面）及其組合. 7.由電勢(shì)差求移動(dòng)電荷作的功：可先求出電勢(shì)差由電勢(shì)

3、差求移動(dòng)電荷作的功：可先求出電勢(shì)差. 4 典型結(jié)果典型結(jié)果 1 r e r Q E 2 0 4 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 無限長無限長 均勻帶均勻帶 電線電線 r e r E 0 2 無限長無限長 均勻帶均勻帶 電柱面電柱面 無限大無限大 均勻帶均勻帶 電平面電平面 0 2 E 均勻帶均勻帶 電球面電球面 )( 4 )(0 2 0 Rre r Q E RrE r )( 2 )(0 0 Rre r E RrE r 均勻帶均勻帶 電圓環(huán)電圓環(huán) i Rx Qx E 2/322 0 )(4 （軸線上軸線上） 5 典型結(jié)果典型結(jié)果 2 以無限遠(yuǎn)作以無限遠(yuǎn)作 為電勢(shì)零點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn) 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 r Q 0 4 帶電球

4、帶電球 面中心面中心 處電勢(shì)處電勢(shì) R o Q R Q o 0 4 R o Q 均勻均勻 帶電帶電 球面球面 )( 4 )( 4 0 0 Rr r Q Rr R Q 均勻帶均勻帶 電圓環(huán)電圓環(huán) 22 0 4 )( Rx q x 6 例例1.兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷q1、q2,相距為相距為d，求場(chǎng)強(qiáng)為零的位，求場(chǎng)強(qiáng)為零的位 置置. 解：由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式知，若電解：由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式知，若電 荷為正，則場(chǎng)強(qiáng)方向沿位矢向外荷為正，則場(chǎng)強(qiáng)方向沿位矢向外. 因此，對(duì)兩個(gè)正點(diǎn)電荷來說，因此，對(duì)兩個(gè)正點(diǎn)電荷來說，場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)必定是場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)必定是 在兩者的連線之間在兩者的連線之間.取如圖所示坐標(biāo)，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)

5、為零的取如圖所示坐標(biāo)，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)為零的 位置在位置在P點(diǎn)處，由疊加原理可得點(diǎn)處，由疊加原理可得 0 21 ppp EEE 0 )(44 2 0 2 2 0 1 xd q x q E p 即即 所以所以 1 2 q q x xd 7 因?yàn)橐驗(yàn)?dx 0 上式左邊為正，故右邊取正號(hào)，上式左邊為正，故右邊取正號(hào)，d qq q x 21 1 即場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)在兩者的連線上距即場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)在兩者的連線上距q1為為 d qq q x 21 1 問：對(duì)兩個(gè)問：對(duì)兩個(gè)異號(hào)異號(hào)點(diǎn)電荷來說，場(chǎng)強(qiáng)為零的位置又如何？點(diǎn)電荷來說，場(chǎng)強(qiáng)為零的位置又如何？ 1 2 q q x xd 8 例例2.半徑為半徑為R的四分之一圓弧上均勻

6、分布著線密度為的四分之一圓弧上均勻分布著線密度為 的電荷，求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度的電荷，求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度. 解：建立直角坐標(biāo)系，任取電荷解：建立直角坐標(biāo)系，任取電荷 微元微元 Rddldq 在在O點(diǎn)處產(chǎn)生點(diǎn)處產(chǎn)生 2 0 2 0 44R Rd R dq dE 方向如圖所示方向如圖所示. 分量式：分量式： cos 4 0R d dEx sin 4 0R d dEy 對(duì)分量式積分，得對(duì)分量式積分，得 9 R d R dEE xx 0 2 0 0 4 cos 4 R d R dEE yy 0 2 0 0 4 sin 4 所以所以 j R i R E 00 44 大小大小 R EEE yx 0 22 4

7、 2 方向方向 45arctan y x E E 問：對(duì)半個(gè)帶電圓弧，該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)又如何？問：對(duì)半個(gè)帶電圓弧，該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)又如何？ 10 dd O x y z 例例3：如圖：如圖d=0.4m,d=0.6m的長方閉合面處在一不均勻的長方閉合面處在一不均勻 電場(chǎng)電場(chǎng) 中中,E和和x的單位為的單位為V/m和和m,計(jì)算通過計(jì)算通過 此閉合面的凈此閉合面的凈E通量及包圍在閉合面內(nèi)的凈電荷量通量及包圍在閉合面內(nèi)的凈電荷量. iE 2 23x 分析分析:由場(chǎng)強(qiáng)分布可知由場(chǎng)強(qiáng)分布可知,通通 過長方閉合面的左右兩過長方閉合面的左右兩 個(gè)側(cè)面的個(gè)側(cè)面的E通量不為零通量不為零. 解解:由題意由題意,左右兩側(cè)左右兩側(cè) 面所在

8、處的電場(chǎng)強(qiáng)度面所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度 E1、E2分別為常矢量分別為常矢量, 即在側(cè)面上的電場(chǎng)強(qiáng)即在側(cè)面上的電場(chǎng)強(qiáng) 度均勻分布度均勻分布. iE)23( 2 1 d iE 2 2 23dd 11 iE)23( 2 1 d iE 2 2 23dd 21 EEE 由高斯定理由高斯定理 C1038. 2 12 0 E q dd O x y z /CmN27. 02323 222 2 dddd SESE 21 SEE 12 12 例例4：(1)地球表面附近的場(chǎng)強(qiáng)近似為地球表面附近的場(chǎng)強(qiáng)近似為200V/m,方向指向方向指向 地球中心地球中心.試計(jì)算地球帶的總電荷量試計(jì)算地球帶的總電荷量,地球的半徑為地球的半徑為

9、 6.37106m; (2)在離地面在離地面1400m處處,場(chǎng)強(qiáng)降為場(chǎng)強(qiáng)降為20V/m,方向方向 仍指向地球中心仍指向地球中心.試計(jì)算這試計(jì)算這1400m厚的大氣層里的平均厚的大氣層里的平均 電荷密度電荷密度 分析分析:設(shè)地球帶電量為設(shè)地球帶電量為Q,并把地球看作是表面均勻帶電并把地球看作是表面均勻帶電 的導(dǎo)體球的導(dǎo)體球.利用高斯定理求解利用高斯定理求解. 解解:(1)貼近地球表面作與地球同心的高斯球面貼近地球表面作與地球同心的高斯球面,半徑為半徑為 RRE,使地球表面的電荷全部為高斯面所包圍使地球表面的電荷全部為高斯面所包圍. 由高斯定理由高斯定理 0 2 4d Q RE E S SE 等式

10、中的等式中的“”號(hào)是由于場(chǎng)強(qiáng)方向與高斯面的面法號(hào)是由于場(chǎng)強(qiáng)方向與高斯面的面法 線方向相反線方向相反. 13 得得 C1003. 94 52 0 E ERQ Q0,即大氣層帶正電即大氣層帶正電. 大氣層體積為大氣層體積為 3173 3 33 m1014. 7 3 4 3 4 EEE RhRRrV 大氣層平均電荷密度為大氣層平均電荷密度為 312 C/m1014. 1 V q C1012. 844 5 2 0 2 0 EhRQErQq E 15 例例5. 電荷電荷Q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)的球體內(nèi). .試證球體試證球體 內(nèi)離球心內(nèi)離球心r處的電勢(shì)為處的電勢(shì)為 3 0 22 8 3

11、 R rRQ V 分析分析: :由帶電的球?qū)ΨQ性，可先由高斯定理求得電場(chǎng)由帶電的球?qū)ΨQ性，可先由高斯定理求得電場(chǎng) 分布分布, ,而后求得電勢(shì)分布而后求得電勢(shì)分布. .若將球體分割為無數(shù)同心若將球體分割為無數(shù)同心 帶電球殼帶電球殼, ,利用電勢(shì)的疊加原理同樣可求解利用電勢(shì)的疊加原理同樣可求解. . 解解1:1:由于均勻帶電球的電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性由于均勻帶電球的電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性, ,可利用高可利用高 斯定理求場(chǎng)強(qiáng)斯定理求場(chǎng)強(qiáng). . 由高斯定理由高斯定理 VV VVdd 1 d 00 S SE 球內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)球內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng) 3 3 0 2 1 3 4 3 4 1 4r R Q rE 16 0 3 0 1 4

12、rE R Qr （0 r R） 球外的場(chǎng)強(qiáng)球外的場(chǎng)強(qiáng) 0 2 2 4 Q rE 0 2 0 2 4 rE r Q （ r R） 球體內(nèi)球體內(nèi)r處的電勢(shì)處的電勢(shì) R R rR R r r r Q r R Qr Vd 4 d 4 dd 2 0 3 0 21 rErE 3 0 22 0 3 0 22 8 3 48R rRQ R Q R rRQ 利用電勢(shì)的疊加原理如何求利用電勢(shì)的疊加原理如何求? ? 得證得證. 17 解解2：半徑為處：半徑為處r的電勢(shì)應(yīng)該是以的電勢(shì)應(yīng)該是以r為半徑的球面以內(nèi)的為半徑的球面以內(nèi)的 電荷在該處產(chǎn)生的電勢(shì)電荷在該處產(chǎn)生的電勢(shì)V1和球面外電荷產(chǎn)生的電勢(shì)和球面外電荷產(chǎn)生的電勢(shì)V

13、2 的疊加，即的疊加，即 21 VVV 球面內(nèi)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)球面內(nèi)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)：（：（相當(dāng)于電荷集中于球心的相當(dāng)于電荷集中于球心的 點(diǎn)電荷）點(diǎn)電荷） r q V 0 1 1 4 球面外電荷產(chǎn)生的電勢(shì)：球面外電荷產(chǎn)生的電勢(shì)： 在球面外取在球面外取 的薄球?qū)?，其上電量的薄球?qū)樱渖想娏縟rrr 3 4 3/4 2 3 2 3 drr R Q drr R Q dVdq 3 0 2 0 33 44 / R Qr r RQr 18 它在球內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為它在球內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為 4 0 2 r dq dV 3 0 22 3 0 22 8 )(3 4 3 R rRQ drr R Q dVV R r

14、 R r r 故半徑為故半徑為r處的電勢(shì)為處的電勢(shì)為 3 0 22 3 0 22 3 0 3 21 8 )3( 8 )(3 4R rRQ R rRQ R Qr VVV 4 3 3 0 drr R Q 3 2 3 drr R Q dq 19 例例6.一無限長均勻帶電圓柱，體電荷密度為一無限長均勻帶電圓柱，體電荷密度為，截面，截面 半徑為半徑為a， （1）用高斯定理求柱內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布；）用高斯定理求柱內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布； （2）求柱內(nèi)外的電勢(shì)分布，以軸線為電勢(shì)零點(diǎn)）求柱內(nèi)外的電勢(shì)分布，以軸線為電勢(shì)零點(diǎn). 解解（1）作與帶電圓柱同軸而截面半徑為作與帶電圓柱同軸而截面半徑為r、長度為、長度為l 的

15、封閉圓柱面為高斯面，由高斯定理，有的封閉圓柱面為高斯面，由高斯定理，有 0 2 q rlE 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其中的時(shí)，其中的ar lrq 2 得得 rE 0 int 2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其中的時(shí)，其中的ar laq 2 得得 r a Eout 0 2 2 20 ar （2）當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 2 0 0 0 0 int 42 rrdrdrE rr 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)ar ) 12( 4 22 0 2 0 00 2 0 int r a n a rdrdr r a drEdrE a a ra a r out 2121 Ox y a a a 2222 Ox y a a a 2ln 44 0 2 0 11 a a y dy dV

16、V 000 2 44 a a dl dVV 2ln 4 0 13 VV 00 321 4 2ln 2 VVVV 2323 Ox y a a a aR d EE x 0 0 0 2 sin 4 方向沿方向沿x軸正向。軸正向。 24 自我練習(xí)自我練習(xí) 1.無限長帶電線彎成如圖所示形狀，試求圖中無限長帶電線彎成如圖所示形狀，試求圖中O點(diǎn)處的點(diǎn)處的 電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)單位長度上帶電量為電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)單位長度上帶電量為。 25 解：在解：在O點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖所示，則半無限長直線點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖所示，則半無限長直線 上電荷在上電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) A ji R E 0 1 4 半無限長直線半無限長直線

17、B在在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) jiE 0 2 4 四分之一圓弧段上電四分之一圓弧段上電 荷在荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) ji R E 0 3 4 3 E 2 E 1 E o R R B A y x 由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，O點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為 )( 4 0 321 ji R EEEE R EEE yx 0 22 4 2 即即 E 的方向的方向 451tantan 11 x y E E （與（與x軸正向夾角）軸正向夾角） 26 2.半徑為半徑為R的半圓弧上均勻分布著帶電量為的半圓弧上均勻分布著帶電量為Q Q的電荷，的電荷， 求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度. 解：把所有電荷

18、都當(dāng)作正電荷處理，解：把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理， 在圓弧上在圓弧上處取電荷元處取電荷元dq， Q Q R Ed o d y x dq d Q dldq 2 在在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) d R Q R dq dE 2 0 22 0 24 方向如圖方向如圖. 27 Q Q R Ed o d y x dq d R Q R dq dE 2 0 22 0 24 按按角變化，將角變化，將dE分解成二個(gè)分量分解成二個(gè)分量 d R Q dEdExsin 2 sin 2 0 2 d R Q dEdE y cos 2 cos 2 0 2 對(duì)各分量積分，考慮到一半是負(fù)電荷，所以對(duì)各分量積分，考慮到一半是負(fù)電荷，所以EX 等于等于0， 2 0 2 2 2 0 2 0 2 coscos 2R Q dd R Q dEE yy j R Q jEiEE yx 2 0 2 28 3.如圖所示，在沿如圖所示，在沿x軸放置一個(gè)端點(diǎn)在原點(diǎn)、長度為軸放置一個(gè)端點(diǎn)在原點(diǎn)、長度為l的帶的帶 電細(xì)線上，電荷的線密度為電細(xì)線上，電荷的線密度為 （1）選無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，試求）選無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，試求y軸上軸上A點(diǎn)的電勢(shì)；點(diǎn)的電勢(shì)； （2）由電勢(shì)梯度計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)