全等三角形中的截長補(bǔ)短問題

1、2021/3/10講解：XX1 全等三角形中的截長補(bǔ)短問題 2021/3/10講解：XX2 . o已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC AB，AD=DC，BD平分ABC. 求證：BAD+BCD=180 A BC D 圖1-1 2021/3/10講解：XX3 o證明：證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E， 作DFBC于點(diǎn)F，如圖1-2圖圖1-2 oBD平分ABC，DE=DF， o在RtADE與RtCDF中， oRtADE RtCDF(HL),DAE=D CF.圖圖2-1 o又BAD+DAE=180， BAD+DCF=180， o即BAD+BCD=180 F E D CB A 圖1-2

2、2021/3/10講解：XX4 o已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)， 且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD. o求證：BAP+BCP=180. A BC D P 1 2 N 圖3-1 2021/3/10講解：XX5 o分析：分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起， 讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn) 行全等三角形的構(gòu)造.圖圖3-1 o證明：證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，如圖3-2 o1=2，且PDBC，PE=PD， o在RtBPE與RtBPD中，圖圖3-2 oRtBPE RtBPD(HL),BE=BD. oAB+BC=2BD，A

3、B+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即 DC=BE-AB=AE. o在RtAPE與RtCPD中, oRtAPE RtCPD(SAS),PAE=PCD o又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180 P 1 2 N A BC D E 圖3-2 2021/3/10講解：XX6 o已知：如圖4-1，在ABC中，C2B， 12. o求證：AB=AC+CD. D C B A 12 圖4-1 2021/3/10講解：XX7 o分析：分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn) 問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上 截取AF=AC. o證明：方法一（補(bǔ)短法）圖證明：方法一（補(bǔ)短法）

4、圖4-2 o延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖 4-2 oACB2E， oACB2B，BE， o在ABD與AED中, oABD AED（AAS）,AB=AE. o又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC. E D C B A 12 圖4-2 2021/3/10講解：XX8 o方法二（截長法）圖方法二（截長法）圖4-3 o在AB上截取AF=AC，如圖4-3 o在AFD與ACD中, oAFD ACD（SAS）,DF=DC，AFD ACD. o又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB. oAB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. o o上述兩種方法在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)常是互為補(bǔ)充，但 應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路進(jìn)行分析。讓掌 握學(xué)生掌握好“截長補(bǔ)短法”對(duì)于更好的理解數(shù)學(xué) 中的化歸思想有較大的幫助。 F D C B A 12 圖4-3 2021/3/10講解：XX9 2021/3/10講解：XX10 2021/3/