彈性力學與有限元分析試題及參考答案

1、彈性力學與有限元分析試題及參考答案四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，a，b，c，d，e，f為常數(shù)。解：應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內的相容方程；（3）在邊界上的應力邊界條件；（4）對于多連體的位移單值條件。（1）此組應力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須a=-f，d=-e。此外還應滿足應力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足a+b=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足a=b=-c/2。上兩式是矛盾的，

2、因此，此組應力分量不可能存在。2、已知應力分量，體力不計，q為常數(shù)。試利用平衡微分方程求系數(shù)c1，c2，c3。解：將所給應力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應力分量，判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應力分量，代入平衡微分方程可知，已知應力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在。（1），；

3、（2），；（3），；其中，a，b，c，d為常數(shù)。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調條件，即將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應力分量若存在，則須滿足：b=0，2a=c。（3）0=c；這組應力分量若存在，則須滿足：c=0，則，（1分）。5、證明應力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxo解：將應力函數(shù)代入相容方程可知，所給應力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；

4、下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應力函數(shù)能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布壓力（b0）的問題。6、證明應力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxo解：將應力函數(shù)代入相容方程可知，所給應力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力

5、a。因此，應力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。oxybqrg 解：根據(jù)結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設。由此可知 將上式對y積分兩次，可得如下應力函數(shù)表達式 將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可得2.3 直角三角形固定在剛性基礎上，受齊頂?shù)乃畨毫妥灾刈饔?，如圖2.14所示。若按一個單元計算，水的容重，三角形平面構件容重,取泊松比=1/6，試求頂點位移和固定面上的反力。解：按逆時針編碼，局部編碼與整體編碼相同：1-2-3建立坐標（1） 求形函數(shù)矩陣： 圖（2.14）形函數(shù): 所以： 形函數(shù)的

6、矩陣為：（2） 剛度矩陣 可得： （3）位移列向量和右端項 由邊界條件可確定： 水壓力和構件厚分別為： 自重為w與支座反力： 所以：由得到下列矩陣方程組：化簡得：可得：將代入下式：固定面上的反力：從而可得支座反力為：這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內的y值都應該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零，即， 這兩個方程要求， 代入應力函數(shù)表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得對應應力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，沿y方向無面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，所以有上邊，沒有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達

7、式代入，并考慮到c=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達式代入，則有由此可得，應力分量為, , 雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結果應是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中v是勢函數(shù)，則應力分量亦可用應力函數(shù)表示為，試導出相應的相容方程。證明：在體力為有勢力的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量，應當滿足平衡微分方程（1分）還應滿足相容方程（對于平面應力問題）（對于平面應變問題）并在邊界上滿足應力邊界

8、條件（1分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)a（x，y），使得，同樣，將第二個方程改寫為（1分）可見也一定存在某一函數(shù)b（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數(shù)，使得，代入以上各式，得應力分量，為了使上述應力分量能同量滿足相容方程，應力函數(shù)必須滿足一定的方程，將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程，得簡寫為將上述應力分量代入平面應變問題的相容方程，得簡寫為9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純三次的應力函數(shù)求解。oxyarg解：純三

9、次的應力函數(shù)為相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù)，是否能滿足應力邊界條件。上邊，沒有水平面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見因此，應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應力分量為, , 設三角形懸臂梁的長為l，高為h，則。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為。因此，所求在這部分邊界上合

10、成的主矢應為零，應當合成為反力。可見，所求應力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應力分量。r2gr1gayxo解：采用半逆解法。首先應用量綱分析方法來假設應力分量的函數(shù)形式。取坐標軸如圖所示。在楔形體的任意一點，每一個應力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應當與成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應當與成正比。此外，每一部分還與，x，y有關。由于應力的量綱是l-1mt-2，和的量綱是l-2mt-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是l，因此，如果應力分量具有多項

11、式的解答，那么它們的表達式只可能是，四項的組合，而其中的a，b，c，d是量綱一的量，只與有關。這就是說，各應力分量的表達式只可能是x和y的純一次式。其次，由應力函數(shù)與應力分量的關系式可知，應力函數(shù)比應力分量的長度量綱高二次，應該是x和y純三次式，因此，假設相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù)，是否能滿足應力邊界條件。左面，作用有水平面力，所以有對左面的任意y值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對左面的任意y值都應成立，可見因此，應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意y值都應成立，

12、這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由此解得，從而應力分量為 , , 位移邊界條件 對稱、固定邊和簡支邊上支點的已知位移條件如下： 對稱軸: 法線轉角=0 固定邊: 撓度=0 (或已知值) 邊線轉角=0 (或已知值) 法線轉角=0 (或已知值) 簡支邊: 撓度=0 (或已知值) 邊線轉角=0 (或已知值) 計算圖示四邊固定方板 方板的邊長為l，厚度為t，彈性模型量為e，波松比=0.3，全板承受均布法向荷載，求薄板中的撓度和內力。 單元劃分： 為了說明解題方法，采用最簡單的網(wǎng)絡22，即把方板分成四個矩形單元。由于對稱性，只需計算一個單元，例如，計算圖中有陰影的單元，單元的節(jié)

13、點編號為，。 此時，單元的a, b是 計算節(jié)點荷載: 由前面的均布荷載計算公式得：邊界條件： 邊界23和34為固定邊，因此節(jié)點2, 3, 4的撓度、邊線和法線轉角均為零。邊界12和14為對稱軸，因此x1 =0、y1 =0。于是，在4個節(jié)點和12個位移分量中,只有一個待求的未知量 。結構的代數(shù)方程組： 這是一個單元的計算題目，單元剛度矩陣在此處即為總剛度矩陣。引入支承條件后，在總剛度矩陣中只取第一行、列元素，在方程組右端項中只保留第一個元素。于是結構的代數(shù)方程為：同此解出 。其中 內力: 利用式(4-2-6)可求得方板中點力矩為： 由表看出，網(wǎng)格越密，計算結果越接近于精確答案。還可看出，位移的精

14、度一般比內力的精度高，這是因為在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而內力則是根據(jù)位移間接求出的。第三章 平面問題有限單元法習題答案3-2圖示等腰直角三角形單元，設=1/4，記楊氏彈性模量e，厚度為t，求形函數(shù)矩陣n、應變矩陣b、應力矩陣s與單元剛度矩陣ke?！窘狻浚?3-3正方形薄板，受力與約束如圖所示，劃分為兩個三角形單元，=1/4，板厚為t，求各節(jié)點位移與應力?！窘狻浚狠d荷向量： 3-4三角形單元i,j,m的j，m邊作用有如圖所示線形分布面載荷，求結點載荷向量?！窘狻浚好媪σ浦霉剑?其中： 所以: 載荷分布函數(shù)：積分函數(shù)：所以:3-5圖示懸臂深梁，右端作用均布剪力，合力為p，取=1/

15、3，厚度為t，如圖示劃分四個三角形單元，求整體剛度方程。【解】： 算例2： 正方形薄板平面應力問題的求解已知圖示正方形薄板，沿其對角線承受壓力作用，載荷沿厚度為均勻分布，p=20kn/m。設泊松比u=0，板厚t=1m，求此薄板應力。 課本第42頁3.7節(jié)計算結果如下：變形：應力：； ； 1、如圖1所示等腰直角三角形單元，其厚度為，彈性模量為，泊松比；單元的邊長及結點編號見圖中所示。求(1) 形函數(shù)矩陣(2) 應變矩陣和應力矩陣(3) 單元剛度矩陣1、解：設圖1所示的各點坐標為點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0）于是，可得單元的面積為 ，及(1) 形函數(shù)矩陣為(7分) ； (2) 應變

16、矩陣和應力矩陣分別為(7分)，； ，；(3) 單元剛度矩陣(6分)圖12、圖2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為，四邊受到均勻荷載的作用，荷載集度為，同時在方向相應的兩頂點處分別承受大小為且沿板厚度方向均勻分布的荷載作用。設薄板材料的彈性模量為，泊松比。試求(1) 利用對稱性，取圖（b）所示結構作為研究對象，并將其劃分為4個面積大小相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計算模型（即根據(jù)對稱性條件，在圖（b）中添加適當?shù)募s束和荷載，并進行單元編號和結點編號）。(2) 設單元結點的局部編號分別為、，為使每個單元剛度矩陣相同，試在圖（b）中正確標出每個單元的合理局部編號；并求單元剛度矩

17、陣。(3) 計算等效結點荷載。(4) 應用適當?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。（a）（b）圖22、解：(1) 對稱性及計算模型正確(5分)(2) 正確標出每個單元的合理局部編號(3分)(3) 求單元剛度矩陣(4分)(4) 計算等效結點荷載(3分)(5) 應用適當?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。(5分)對稱對稱 如圖3.11所示的平面三角形單元，厚度t=1cm，彈性模量e=2.0*105mpa，泊松比=0.3，試求插值函數(shù)矩陣n，應變矩陣b，應力矩陣s，單元剛度矩陣ke。解：此三角形單元可得：2=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8

18、u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0b=1/2* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 0 1 0.3 0d=e/(1-2)* 1 0 =e/0.

19、91* 0.3 1 0 0 0 (1-)/2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0s=d*b=e/0.91* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0k=bt*d*b*t*=e/36.4* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35

20、0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7k=bt*d*b*t*=e/36.4* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下圖中所示的三角形的單元插值函數(shù)矩陣及應變矩陣，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求單元內的應變和應力，求出主應力及方向。若在單元jm邊作用有線性分布面載荷（x軸），求結點的的載荷分量。解：如圖2=64/3，解得以下參數(shù)：a1=19 a2=-2 a3=6； b1

21、=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；n1=64/3*(19-3x-y) n2=64/3*(-2-3x-3y)n3=64/3*(6-x+4y)故n= ni 0 nj 0 nm 0 0 ni 0 nj 0 nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0b=1/2* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0=64/3* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 0d=e/(1-2)* 1 0 0 0 (1-)/2 1 0 -3 0 4 0 -1 0單元應力矩陣

22、s=d*b= e/13(1-2)* 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-)/2 -1 -3 -3 4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4單元應力=s*q= e/13(1-2)* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4 1.43.13 解：二維單元在x,y坐標平面內平移到不同位置，單元剛度矩陣相同，在平面矩陣180時變化，單元作上述變化時，應力矩陣不變化。（0,1）（2,1）3.14（2,0）（0,0）yx解：令，而，單元單元： 由和擴充kz（總剛

23、度陣）而，其中，化簡得：則，3.15如圖所示有限元網(wǎng)格，單元厚度，彈性模量，泊松比?；卮鹣率鰡栴}：（1）結點如何編號才能使結構剛度矩陣帶寬最??？（2）如何設置位移邊界條件才能約束結構的剛體移動？ （3）形成單元剛度矩陣并集成結構剛度矩陣。（4）如果施加一定載荷，擬定求解步驟。 (1) (2) （3）解：1、節(jié)點編號如圖(2)所示；2、如圖(3)設置位移邊界條件才能約束結構的剛體移動；3、如圖(2)所示各節(jié)點的坐標為(以m為單位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.

24、12)解：單元號123456相鄰結點134557225466343678對于單元號1：；對于單元號2：；對于單元號3：；對于單元號4：；對于單元號5：；對于單元號6：；平面三角形單元的面積均為 彈性矩陣均為 應變矩陣 應力矩陣 單元剛度矩陣 結構剛度矩陣為： 若施加一定載荷，求解步驟為：1、對單元編號，并列出各單元三個結點的結點號；2、計算外載荷的等效結點力，列出結構結點載荷列陣；3、計算單元剛度矩陣，組集結構整體剛度矩陣4、引入邊界條件，即根據(jù)約束情況修正結構有限元方程，特別是消除整體剛度矩陣的奇異性，得到考慮約束條件的可解的有限元方程。5、利用線性方程組的數(shù)值解法，對結構的有限元方程進行求

25、解，得到所有各結點的位移向量。最后根據(jù)需要求解單元應力。3.16一長方形薄板如圖所示。其兩端受均勻拉伸。板長12cm,寬4cm，厚1cm。材料，泊松比。均勻拉力。使用有限元法求解板的內應力，并和精確解比較（提示：可利用結構對稱性，并用2個三角形單元對結構進行離散）。解：解：結點編號 12 34單元號12x坐標 012 012相鄰結點13y坐標 00 442234平面三角形單元的面積均為 應力矩陣為：單元1的應變距陣為：單元1的單元剛度矩陣為：單元2的應變距陣為：單元2的單元剛度矩陣為：總剛度矩陣為：位移分量為：載荷列陣為：因為 可以得單元1的單元應力： 單元2的單元應力： 長方形薄板內應力的精

26、確解為：拉應力，用有限元法求解出的結果與精確解大致相等。3.17 驗證三角形單元的位移差值函數(shù)滿足及。解：平面三角形形函數(shù)為：，其中，分別是行列式2a中的第一行，第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。行列式中，任一行的元素與其相應的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行的元素與其它行對應元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，故有：當，同時有，同理也有：，即。3.18 推導如圖所示的9節(jié)點矩形單元的形函數(shù)。解:三維桿單元的形狀函數(shù)， 在局部坐標系中令節(jié)點1,5,2所對應的帶入式得到節(jié)點1,5,2僅在x方向上的形函數(shù)： 同理可得： 由，即節(jié)點2,6,3，可得到沿著全局坐標系y軸的形狀函數(shù)(通過變量輪換)

27、，節(jié)點1的形函數(shù)即x，y方向的乘積：由此可得：同理可整理得：，3.19 如圖所示為一個桁架單元，端點力為u1，u2，端點位移為u1，u2，設內部任一點的軸向位移u是坐標x的線性函數(shù)：推導其形函數(shù)矩陣n。解：軸向位移u是坐標x的線性函數(shù)，寫成向量形式為，設兩個節(jié)點的坐標為，代入向量形式的位移函數(shù)解得：則由位移函數(shù)可得形函數(shù)為：4.1 答：軸對稱三角形環(huán)單元不是常應變單元，如果彈性體的幾何形狀、約束條件及載荷都對稱于某一軸，則所有的位移應變及應力也是對稱于此軸，這樣問題稱為軸對稱。軸對稱三角形環(huán)單元與平面常應變單元是不同的，軸對稱三角形環(huán)單元的應變不是常數(shù)矩陣，其應變矩陣b=b b b,其中b=，

28、（i,j,m）。應變分量，都是常量，但環(huán)向應變不是常量，它與，中的r和z有關。4.2 答：軸對稱問題中，剛度自由度：環(huán)向位移，徑向位移，軸向位移。以三角環(huán)單元平均半徑、平均高度進行計算的單元剛度矩陣，配合以精確積分所得的等效結點載荷矩陣，計算的結果還是不錯的！4.3 軸對稱問題的兩個單元a和b，設材料的彈性模量為e，泊松比為 = 0.15，試手算這兩個單元的剛度矩陣。 解：對于單元，由題可知：單元a的截面面積為單元a的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以的剛度矩陣為對于單元，由題可知單元的截面面積為單元的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以單元的剛度矩陣為5.1 答

29、：桿件受到縱向（平行于桿軸）載荷的作用，這樣桿件的拉壓問題；桿件受到橫向（垂直于桿軸）載荷的作用，這是梁的彎曲問題。桿件受到力相似到薄板就有，薄板受到縱向載荷的作用，這是平面應力問題；薄板受到橫向載荷的作用，這是薄板的彎曲問題。薄板的彎曲可以認為是梁彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題，中面法線在變形后保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線，中面在變形后，其線段和面積的投影形狀保持不變（小撓度薄板）。已知中面的撓度，而縱向位移、，主要應力分量，。某一點的位移：，。某一點的應力：,彈性曲面微分方程,其中板的抗撓剛度。5.2 答：矩形薄板單元：薄板單元位移函數(shù)并不滿足連續(xù)性或相容性要求，采用這種位移函數(shù)的單元

30、是非協(xié)調單元，這種四節(jié)點矩形彎曲單元變形后，其撓度面在單元間雖然互相連續(xù)，但其法向導數(shù)并不連續(xù)，單元間在變形后是不連續(xù)光滑（有棱）的，當單元逐漸取小的時候，還能夠收斂于精確解。三角形薄板單元：常使用面積坐標，分析表明，只以撓度 及其一階導數(shù) 作為節(jié)點的位移函數(shù)用一般的形狀函數(shù)是不可能構造滿足相容性的薄板單元，需再加上二階導數(shù)，就可以實現(xiàn)。在相鄰單元之間，撓度是連續(xù)的，但法向的斜率是不連續(xù)的，這種位移模式是非協(xié)調單云，收斂不如矩形單元，單元足夠小，節(jié)點增多，如六節(jié)點三角形，九節(jié)點三角形等。5.3談論在平面應力和彎曲狀態(tài)組合的情況下，三角形剛度矩陣的特點（1） 平面內的作用力產(chǎn)生的變形不影響彎曲變

31、形，反之亦然（2） 節(jié)點把轉向 在兩種應力狀態(tài)下都不加入到變形中，相應的節(jié)點力也不存在，將平面應力狀態(tài)和彎曲狀態(tài)加以組合后，單元的每個節(jié)點的位移向量和節(jié)點力向量是 要指出的是，在局部坐標系中，節(jié)點位移不包括 ，但為了下一步將局部坐標系的單元剛度陣換到總體坐標系下進行集成，由于平面應力狀態(tài)下的節(jié)點力和平面應力狀態(tài)下的節(jié)點位移 互不影響，彎曲應力狀態(tài)下的節(jié)點與平面應力狀態(tài)下的節(jié)點位移互不影響，所以組合應力狀態(tài)下的平板、薄板單元的單元剛度矩陣如下：，=其中矩陣和分別是平面應力問題和薄板彎曲問題的相應子矩陣，三角形單元的單元剛度矩陣是1818矩陣。6.1 結構的動態(tài)特性：結構的固有頻率及其相應的模型，

32、以及在隨著時間而變形的外加激振力的激勵下，機器或結構被激起的位移，應力或稱被激起的動力響應，機械產(chǎn)品的動態(tài)性能是其重要的性能指標，尤其對現(xiàn)代復雜、高速、重載精密機械系統(tǒng)，動態(tài)性能是影響其工作性能及產(chǎn)品指標的關鍵技術指標，機械結構的動態(tài)特性問題早在上個世紀30年代就引起人們的重視，動態(tài)特性的發(fā)展為機械動態(tài)設計提供了堅實的基礎。6.2 結構離散后，在運動狀態(tài)各節(jié)點的動力平衡為：其中,分別以慣性力、阻尼力和動力載荷均為矢量，為彈性力，彈性力矢量可用節(jié)點位移和剛度矩陣表示為：=式中剛度矩陣的元素為節(jié)點j的單位位移在節(jié)點i引起的彈性力，根據(jù)達朗貝爾原理，可利用質量矩陣和節(jié)點加速度表示慣性如下：=式中質量

33、矩陣為節(jié)點j的單位加速度在節(jié)點i引起的慣性力，設結構阻尼（滯粘），可用阻尼矩陣c和節(jié)點速度，表示阻尼如下：=，將各式帶入：+=，記=，=。則運動方程：+=6.3單元的質量矩陣：= 質量矩陣是對稱陣，各節(jié)點的質量互相耦合，即平動慣性和轉動慣性之間耦合，如果把單元的一致質量集中的分配在它們的節(jié)點上，則此質量矩陣成為集中質量矩陣質量分配原則：按靜力學平行力的分配法則，將單元的一致質量矩陣用集中于節(jié)點外的質量來代替，形函數(shù)計算所得的m稱為一致質量矩陣。6.5 結構阻尼（只與結構本身材料性質有關）結構在自由振動過程中，如果沒有能量的耗散，振動將永遠保持由初始條件決定的振幅持續(xù)不停，但實際上，結構自由振動

34、的振幅都會隨時間而衰減，經(jīng)過一定時間后，這是因為系統(tǒng)的能量因某些原因而消耗，這種能量的耗散作用稱阻尼，由阻尼使振動衰減的系統(tǒng)稱為阻尼系統(tǒng)。在結構內部阻尼是非粘線的，但它近似于線性的，彈性材料，特別是金屬材料表示一種結構阻尼的性質，這種阻尼是由于材料受力變形而產(chǎn)生的內摩擦力和變形之間產(chǎn)生了相位滯后。產(chǎn)生能量耗散的原因有結構的內摩擦（或粘性）構件接口處的摩擦、周圍介質（如空氣、建筑物地基）的阻尼影響等，但有關阻尼的作用機理，目前尚未完全研究清楚。1.推導橫截面積為a的一維桁架架構單元剛度矩陣。解：設桿件兩端點位i，j，為單元局部坐標，表示單元任一截面的位置，則其發(fā)生的位移：u=a0+b1，v=b0

35、+b1+b22+b33，即： u 1 0 0 0 0 = *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）t v 1 0 0 2 2 h 記u=u,v=h* ，由i，j兩端的位移分量可得：=g* ,1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0其中g= 0 0 1 0 0 0 給上式左乘g-1,則有 1 0 0 l 0 0 0 1 l 0 l2 l3 0 0 1 0 2l 3l2u=h* g-1*,令n= h* g-1n1=1-/l 0 0 /l 0 0, n2=0 1-3/l2+2/l3 *（1-/l）2 0 3/l2+2/l3 *（/l-1）*/l， 應用幾何物理方程可得：= n = *=b* n

36、 利用虛功原理推得：ke=e*= ea/l 0 12eiz/l3 對 0 6eiz/l2 4eiz/l 稱 -ea/l 0 0 -ea/l 0 -12eiz/l3 -6eiz/l2 0 -12eiz/l3 0 -6eiz/l2 2eiz/l 0 -6eiz/l2 -ea/l2.如圖2為一個平面超靜定桁架結構，在載荷p的作用下，求各個桿的軸力。此結構可以看成由14,24,34三個桿組成的，每個桿單元的兩端為桿單元的結點，各結點的水平，鉛直位移分別用u、v表示。解：由題意可得：各桿件在局部坐標系下的單元剛度矩陣： 1 0 -1 0 0 0 0 0ke=ea/l -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0圖2 桁架超靜定結構對于14桿轉角=/2+，cos=-co