以正方形為載體的中考試題賞析

1、以正方形為載體的中考試題賞析 正方形是初中的重要知識(shí)內(nèi)容，縱觀2008年全國各地中考試題，可以發(fā)現(xiàn)諸多以正方形為載體，結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)的優(yōu)秀試題，格調(diào)清新、構(gòu)思巧妙，較好的考察了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、學(xué)習(xí)能力和思維水平.現(xiàn)拮取幾例加以賞析：  1  與拼圖相結(jié)合,注重考察學(xué)生的觀察能力.  例1  (湖南湘潭市)如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則下圖中 aob=  .  解析  觀察發(fā)現(xiàn)這里正方形內(nèi)的七巧板有5塊是等腰直角三角形，1塊正方形和1塊銳角為45的平行四邊形。利用數(shù)字標(biāo)出組成正方形和小貓的七巧板之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2所

2、示，aob內(nèi)部的兩塊是等腰直角三角形，則aob = 90.      例2  (湖北荊門市)用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長(zhǎng)和寬(xy)，則下列關(guān)系式中不正確的是(    )(a) x+y=12 (b) xy=2  (c) xy=35 (d) x y =144解析  觀察拼圖3可發(fā)現(xiàn):大正方形的邊長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)和寬之和；小正方形的邊長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長(zhǎng)是12,

3、即x+y=12；由小正方形的邊長(zhǎng)是4可知其邊長(zhǎng)是2,即x-y=2,因此選項(xiàng)a和b的關(guān)系式均正確. 解、得x=7,y=5.因此：xy=35, x y =74.所以答案為選擇d.點(diǎn)評(píng)  例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應(yīng)原型的，這里改編成中考試題可謂老樹發(fā)新枝。事實(shí)上學(xué)生若能認(rèn)真觀察圖形的本身特點(diǎn)進(jìn)而找到相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確解答并不是件難事。2  與多邊形、圓相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用.例3   (陜西省)如圖4，梯形abcd中，abcd，adc+bcd=90，且dc=2ab，分別以da、ab、bc為邊向梯形外作正方形，其面積分別為s1、s2

4、 、s3，則s1、s2 、s3之間的關(guān)系是         解析  此題中所求三個(gè)正方形的面積s1、s2 、s3之間的關(guān)系實(shí)質(zhì)是求梯形abcd的兩個(gè)腰長(zhǎng)及上底邊邊長(zhǎng)三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來建立橋梁作用.如圖5，分別過點(diǎn)a、b做aedc,bfdc,垂足分別為e、f.設(shè)梯形abcd的高為h ,ab=a, de=x,則dc=2a,fc=a-x.由于adc+bcd=90，可證得aedcfb，有h2=ax-x. s1= ad2=h2+x2=ax,s2=a2,s3=bc2=h2+ (ax)2 = a2ax.因

5、此:s1+ s3= s2.      例4   (江蘇南通市)在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面他們首先設(shè)計(jì)了如圖6所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖7所示的方案二（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）（1）請(qǐng)說明方案一不可行的理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行，請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其

6、底面圓半徑；若不可行，請(qǐng)說明理由解析  (1) 因?yàn)樯刃蝍bc的弧長(zhǎng) 1628，因此圓的半徑應(yīng)為4cm由于所給正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為 cm，而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為 cm，由于 ，所以方案一不可行(2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為r，則 , ,由，可解得 ， 故所求圓錐的母線長(zhǎng)為 cm，底面圓的半徑為 cm點(diǎn)評(píng)  將正方形與多邊形、圓結(jié)合是中考中出現(xiàn)頻率較高的題目。此類題目涉及知識(shí)點(diǎn)較多，跨度較大，需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的基本功，具有綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。3 與“動(dòng)點(diǎn)問題”相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)不變因素的探究能力.  

7、  例5  (湖北武漢市)正方形abcd中，點(diǎn)o是對(duì)角線ac的中點(diǎn)，p是對(duì)角線ac上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作pfcd于點(diǎn)f。如圖8，當(dāng)點(diǎn)p與點(diǎn)o重合時(shí)，顯然有dfcf(1)如圖9，若點(diǎn)p在線段ao上（不與點(diǎn)a、o重合），pepb且pe交cd于點(diǎn)e.   求證：dfef；   寫出線段pc、pa、ce之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；     (2)若點(diǎn)p在線段oc上（不與點(diǎn)o、c重合），pepb且pe交直線cd于點(diǎn)e。請(qǐng)完成圖10并判斷(1)中的結(jié)論、是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（

8、所寫結(jié)論均不必證明）       解析  (1) 如圖11過點(diǎn)p做phbc,垂足為點(diǎn)h,連接pd.此時(shí)四邊形pfch為正方形.容易證出apbapd,推得   bpc=dpc，進(jìn)一步可得bph =dpf；由bph +hpe =90,epf + hpe=90，得bph =epf.因?yàn)閜edc,可證得df=fe.由ef+ce= pc得:df=ef= pcec.因?yàn)閜fad,有 ,將df= pcec代入得: pc=pa+ ce.(2)連接pb、pd,做pfdc, phbc,垂足分別為f、h,在dc延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)e,使得pepb.此時(shí)有結(jié)論df=ef成立.而結(jié)論不成立, pc、p