[數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)]matlab插值

1、1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 插插 值值 2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解插值問(wèn)題。、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解插值問(wèn)題。 1、了解插值的基本內(nèi)容。、了解插值的基本內(nèi)容。 11一維插值一維插值 22二維插值二維插值 33實(shí)驗(yàn)作業(yè)實(shí)驗(yàn)作業(yè) 3 一一 維維 插插 值值 一、一、插值的定義插值的定義 二、插值的方法二、插值的方法 三、用三、用Matlab解插值問(wèn)題解插值問(wèn)題 返回返回 4 返回返回 二維插值二維插值 一、一、二維插值定義二維插值定義 二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法 三、用三、用MatlabMatlab解插值問(wèn)題解插值問(wèn)題 最鄰近插值最鄰近插

2、值 分片線性插值分片線性插值 雙線性插值雙線性插值 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值 散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值 5 一維插值的定義一維插值的定義 已知已知 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn), 1 , 0(),(njyx jj 其中其中 j x 互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)), 10 bxxxa n 求任一插值點(diǎn)求任一插值點(diǎn))( * j xx 處的插值處的插值. * y 0 x 1 x n x 0 y 1 y 節(jié)點(diǎn)可視為由節(jié)點(diǎn)可視為由 )(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,， g表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜,， 或無(wú)封閉形式或無(wú)封閉形式,， 或未知或未知.。 * x * y 6 構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè)(相對(duì)簡(jiǎn)單的相對(duì)簡(jiǎn)單的)函

3、數(shù)函數(shù)),(xfy 通過(guò)全部節(jié)點(diǎn)通過(guò)全部節(jié)點(diǎn), 即即 ), 1 ,0()(njyxf jj 再用再用 )(xf 計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即).( * xfy 0 x 1 x n x 0 y 1 y * x * y 返回返回 7 稱為拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)。 n 0i iin y)x(L)x(P 已知函數(shù)f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問(wèn)題的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下 其中Li(x) 為n次多項(xiàng)式： )xx()xx)(xx()xx)(xx( )xx()xx)(x

4、x()xx)(xx( )x(L ni1ii1ii1i0i n1i1i10 i 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 8 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 特別地特別地: 兩點(diǎn)一次兩點(diǎn)一次(線性線性)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: 1 01 0 0 10 1 1 y xx xx y xx xx xL 三點(diǎn)二次三點(diǎn)二次(拋物拋物)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 y xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx xL .,滿足插值條件直接驗(yàn)證可知xLn 9 拉格朗日多項(xiàng)式插值的 這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象現(xiàn)

5、象 55, 1 1 )( 2 x x xg 采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：選取不同插值 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n 分別取2,4,6,8,10時(shí)，繪出插值結(jié)果圖形. 例例 返回返回 To MatlabTo Matlab lch(larg1)lch(larg1) 10 分段線性插值分段線性插值 其它,0 , , )( )()( 1 1 1 1 1 1 0 jj jj j jj jj j j n j jjn xxx xx xx xxx xx xx xl xlyxL 計(jì)算量與n無(wú)關(guān); n越大，誤差越小. nn n xxxxgxL 0 ),()(lim xjxj-1xj+1x0 xnx

6、o y 11 To MATLAB xch11，xch12， xch13，xch14 返回返回 66, 1 1 )( 2 x x xg 例例 用分段線性插值法求插值用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差并觀察插值誤差. 1.在在-6,6中平均選取中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch11) 4.在在-6,6中平均選取中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch14) 2.在在-6,6中平均選取中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch12) 3.在在-6,6中平均選取中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch13) 12 比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。 x y xi-1 xiab

7、在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲 線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光 滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低 次的分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次 樣條插值就是一個(gè)很好的例子。 三次樣條插值三次樣條插值 13 三次樣條插值 , 1,),()( 1 nixxxxsxS iii ,)()3 ), 1 ,0()()2 ), 1()()1 0 2 23 n ii iiiii xxCxS niyxS nidxcxbxaxs ) 1, 1()()(),()(),()( 111 nixsxsxsxsxsxs iiiiiiiiiiii 自然邊界條件）(0)()()4 0 n

8、 xSxS )(,)4)3)2xSdcba iiii )()(limxgxS n g g( (x x) )為被插值函數(shù)為被插值函數(shù)。 14 例例 66, 1 1 )( 2 x x xg 用三次樣條插值選取用三次樣條插值選取11個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值(ych) 返回返回 To MATLAB ych(larg1) 15 用用MATLABMATLAB作插值計(jì)算作插值計(jì)算 一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)： yi=interp1(x，y，xi，method) 插值方法插值方法被插值點(diǎn)被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn) xixi處的插處的插 值結(jié)果值結(jié)果 nearest ：最鄰近插值：最鄰近插值 linear ：

9、 線性插值；線性插值； spline ： 三次樣條插三次樣條插 值；值； cubic ： 立方插值。立方插值。 缺省時(shí)：缺省時(shí)： 分段線性插值。分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不不 能夠超過(guò)能夠超過(guò)x的范圍。的范圍。 16 例：在例：在1-121-12的的1111小時(shí)內(nèi)，每隔小時(shí)內(nèi)，每隔1 1小時(shí)測(cè)量一次小時(shí)測(cè)量一次 溫度，測(cè)得的溫度依次為：溫度，測(cè)得的溫度依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929， 3131，3030，2222，2525，2727，2424。試估計(jì)每隔。試估計(jì)每隔1/101/10小時(shí)

10、的小時(shí)的 溫度值。溫度值。 To MATLAB (temp) hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的) plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius) 17 x y 機(jī)翼下 輪廓線 X035791 11 21 31 41 5 Y01 . 21 . 72 . 02 . 12 . 01 . 81 . 21 .

11、01 . 6 例例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變每改變0.1時(shí)的時(shí)的y值。值。 To MATLAB(plane) 返回返回 18 二維插值的定義二維插值的定義 x y O O 第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）： 19 已知已知 m n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmizyx ijji 其中其中 ji yx ,互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè) bxxxa m 21 dyyyc n 21 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn)通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即即 再用再用 ),(yxf 計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即

12、).,( * yxfz ),1 ,0;,1 ,0( ),( njmi zyxf ijji 20 第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）： y x 0 0 21 已知已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) ),.,2 , 1(),(nizyx iii 其中其中),( ii yx互不相同，互不相同， 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn)通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即即 ),1 ,0(),(nizyxf iii 再用再用 ),(yxf 計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即 ).,( * yxfz 返回返回 22 注意：注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡(jiǎn)單 的插值是分片線性插值。 最鄰近插值最鄰近插值 x

13、 y (x1, y1) (x1, y2) (x2, y1) (x2, y2) O O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的 節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。 返回返回 23 將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次 簡(jiǎn)記為： 分片線性插值分片線性插值 x y (xi, yj) (xi, yj+1) (xi+1, yj) (xi+1, yj+1) O O f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4 24 插值函數(shù)為： ji i1i j1j y)xx( xx yy y )yy)(ff ()xx)(ff (f)y

14、, x(f j23i121 第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足 ii i1i j1j y)xx( xx yy y 插值函數(shù)為： )xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(f i43j141 注意注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū) 域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的； 分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下： 第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足 返回返回 25 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。 雙線性插值函數(shù)的形式如下： )dcy)(bax()y, x(f 其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂 點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正 好確定四個(gè)系數(shù)

15、。 雙線性插值雙線性插值 x y (x1, y1) (x1, y2) (x2, y1) (x2, y2) O O 返回返回 26 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取可取為矩陣，或?yàn)榫仃?，或x x取取 行向量，行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出 x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。 z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method) 被插值點(diǎn) 插值方法 用用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值 插值 節(jié)點(diǎn) 被插值點(diǎn) 的函數(shù)值 nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值 linear l

16、inear 雙線性插值雙線性插值 cubic cubic 雙三次插值雙三次插值 缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值 27 例：測(cè)得平板表面例：測(cè)得平板表面3 3* *5 5網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為：網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)z=f(x,y)的圖形。的圖形。 輸入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79

17、 63 61 65 81;84 84 82 85 86; mesh(x,y,temps) 1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖. 2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值. 28 再輸入以下命令: xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic); mesh(xi,yi,zi) 畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLAB (wendu) 29 例例 山區(qū)地貌：山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測(cè)得一些地點(diǎn)的高程如下表。平面區(qū)域?yàn)樵谀成絽^(qū)測(cè)得一些地點(diǎn)的高程如下表。平面區(qū)域?yàn)?1200=x=4000,120

18、0=y=3600) 試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對(duì)幾種插值方法進(jìn)行比較。試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對(duì)幾種插值方法進(jìn)行比較。 X Y 12001600200024002800320036004000 120011301250128012301040900500700 160013201450142014001300700900850 2000139015001500140090011001060950 240015001200110013501450120011501010 280015001200110015501600155013801070 320015001550160015501600160016001550 36001480150015501510143013001200980 通過(guò)此例對(duì)最近鄰點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插 值效果進(jìn)行比較。 To MATLAB (moutain)返回返回 30 插值函數(shù)插值函數(shù)griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method） 用用MATLABMATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算