概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章

1、 一、條件概率一、條件概率 條件概率也是概率 條件概率滿足概率性質(zhì) 說明：說明： 對(duì)事件A、B，若P(B)0，則稱 為事件A在事件B發(fā)生下的條件概率。 )( )( )( BP ABP BAP 事件B發(fā)生 P（B） 事件A發(fā)生 P（A|B） 事件AB發(fā)生 P（AB） ：利用條件概率的定義，推出P(AB)與P(A) 的大小關(guān)系。 1. )( )( )( )( )( )( )()( AP BP AP BP ABP BAPABA APBAPBA )(1 )( )( )( )( )( )()( AP BP BP BP ABP BAPBBA APBAPAB 2. 3. )()(0APBAP BA 條件概率

2、的性質(zhì)條件概率的性質(zhì) 1、非負(fù)性、非負(fù)性 2、規(guī)范性、規(guī)范性 3、可加性、可加性 對(duì)任一事件B，必有P(BA) 0 1)()( 1)( AAPAP ABPBA 特別地 ，則若 11 21 )()( , k k k k n ABPABP BBB 則 件，為一列兩兩互不相容事，若 )(1)(ABPABP特別常用的是： 計(jì)算條件概率計(jì)算條件概率 一個(gè)家庭中有二個(gè)小孩，已知其中有一個(gè) 是女孩，問這時(shí)另一個(gè)小孩也是女孩的概率為 多大？（假定一個(gè)小孩是男還是女是等可能 的。） 解：解： 樣本空間 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女， 女) A已知有一個(gè)是女孩(男，女)，(女，男)， (女，女) B=

3、另一個(gè)也是女孩(女，女) 則 3 1 4/3 4/1 )( )( )( AP ABP ABP 二、乘法公式二、乘法公式 定理定理1 1： ABPAPABPAP ，則如0)( 類似地：類似地： BAPBPABPBP ，則如0)( 一般地：一般地： )()()()( 0)( 121123121 21 12121 nn n nn AAAAPAAAPAAPAP AAAP AAAPAAAn 則 ，且，個(gè)事件對(duì)任意 證明；證明； n n n nn n n AAAP AAAP AAAP AAP AAAP AP AAP AP AAAAPAAAPAAPAP AAAPAAPAP AAAAAA 21 121 21

4、21 321 1 21 1 121213121 121211 121211 0 由條件概率的定義，有 一批產(chǎn)品的次品率為，正品中一等品率為 75，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一 等品的概率。 解解: 72. 075. 096. 0)()()()( 75. 0)(,96. 0)(,04. 0)( BAPBPBAPAP BAABA BAPBPBP B BA 故 則 取到正品 取到次品，取到一等品 為安全起見，工廠同時(shí)裝有兩套報(bào)警系統(tǒng)為安全起見，工廠同時(shí)裝有兩套報(bào)警系統(tǒng)1，2。已知。已知 每套系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)能正確報(bào)警的概率分別為每套系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)能正確報(bào)警的概率分別為0.92和和 0.93

5、，又已知第一套系統(tǒng)失靈時(shí)第二套系統(tǒng)仍能正常，又已知第一套系統(tǒng)失靈時(shí)第二套系統(tǒng)仍能正常 工作的概率為工作的概率為0.85。試求該工廠在同時(shí)啟用兩套報(bào)警。試求該工廠在同時(shí)啟用兩套報(bào)警 系統(tǒng)時(shí)，能正確報(bào)警的概率是多少？系統(tǒng)時(shí)，能正確報(bào)警的概率是多少？ 設(shè)A為題設(shè)所求事件。顯然A即是事件報(bào)警系統(tǒng)1， 2中至少有一套能正常工作 Ai表示事件第i套報(bào)警系統(tǒng)能正常工作 i=1,2 顯然A=A1A2 988. 0862. 093. 092. 0 )()()()()( 862. 0068. 093. 0)( )()()( 068. 085. 008. 0)()()( 85. 0)(93. 0)(92. 0)(

6、212121 21 21212 12121 1221 AAPAPAPAAPAP AAP AAPAAPAP AAPAPAAP AAPAPAP 對(duì)某種產(chǎn)品要依次進(jìn)行三項(xiàng)破壞性試驗(yàn)。已知產(chǎn)品 不能通過第一項(xiàng)試驗(yàn)的概率是0.3；通過第一項(xiàng)而通 不過第二項(xiàng)試驗(yàn)的概率是0.2；通過了前兩項(xiàng)試驗(yàn)卻 不能通過最后一項(xiàng)試驗(yàn)的概率是0.1。試求產(chǎn)品未能 通過破壞性試驗(yàn)的概率？ 設(shè)A為題設(shè)所求事件。 Ai表示事件產(chǎn)品未能通過第i項(xiàng)破壞性試驗(yàn) i=1,2,3 顯然A=A1A2A3 496. 0 9 . 08 . 07 . 01 )()()(1 )(1)(1)( 213121 321 AAAPAAPAP AAAPAPA

7、P 故 9 . 0)(8 . 0)(7 . 0)( 1 . 0)(2 . 0)(3 . 0)( 213121 213121 AAAPAAPAP AAAPAAPAP 例例5 5 一批零件共100個(gè)，次品率為。每次從其 中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第三次才 取得合格品的概率。 解：解： 98 90 )( 99 9 )( 100 10 )( )( . 3 , 2 , 1 213121 321 AAAPAAPAP AAAP iiAi 顯然 則所求概率為 ，次取出的零件是次品第設(shè) 0084. 0 98 90 99 9 100 10 213121321 AAAPAAPAPAAAP 設(shè)B1，B2

8、，Bn 是一組兩兩互斥的事件，且 n i i B 1 ) 1 ( i n i i BAPBPAP 1 則對(duì)任一事件A都有 (2) P(Bi)0 i=1,2,，n； n i i n i i ABBAAA 11 i n i i n i i n i i BAPBPABPABPAP 111 ） P(Bi)0(i=1,2,n) 條件哪里用到？ ）沒有此條件，行嗎？ 根據(jù)兩兩互斥事件的加法性質(zhì)，得 定理可以推廣到可列多個(gè)的情況定理可以推廣到可列多個(gè)的情況 例例1 1 袋中有大小相同的a個(gè)黃球、b個(gè)白球?，F(xiàn)做不放回 地摸球兩次，問第2次摸得黃球的概率? 解解 設(shè)A表示“第2次摸得黃球” B1=第1次摸得的是

9、黃球 B2=第1次摸得的是白球 ba a ba a ba b ba a ba a ABPBPBAPBPAP BBBB 11 1 )()()()()( , 2211 2121 一商店出售的某型號(hào)的晶體管是甲、乙、 丙三家工廠生產(chǎn)的，其中乙廠產(chǎn)品占總數(shù)的， 另兩家工廠的產(chǎn)品各占。已知甲、乙、丙各 廠產(chǎn)品合格率分別為0.9、0.8、0.7，試求隨意取出 一只晶體管是合格品的概率（也就是本商店出售貨 的合格率）。 設(shè)晶體管產(chǎn)自甲廠，晶體管產(chǎn)自乙廠， 晶體管產(chǎn)自丙廠，晶體管是合格品。 則P(A1)=P(A3)=0.25 P(A2)=0.5 90. 0 1 ABP80. 0 2 ABP70. 0 3 AB

10、P 80. 070. 025. 080. 050. 090. 025. 0 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 由全概率公式得： ： 設(shè)甲袋中有m-1只白球和1只黑球，乙袋中有m只白 球，每次從甲、乙兩袋中分別取出一只球，經(jīng)交換后放回袋 中，求經(jīng)n次交換后，黑球在甲袋中的概率，并討論 時(shí)的情形. n 設(shè)經(jīng) n次交換后，黑球在甲袋的概率為 pn 。 經(jīng)過經(jīng)過n-1n-1次交換后，黑球在甲袋中次交換后，黑球在甲袋中，再交換一次， 黑球仍在甲袋的概率為 。 當(dāng)經(jīng)當(dāng)經(jīng)n-1n-1次交換后，黑球不在甲袋中次交換后，黑球不在甲袋中，再交換一次， 黑球在甲袋的概率為 。 m m 1 m 1 于

11、是，由全概率公式得 m p m m pp nnn 1 )1 ( 1 11 mm m pn 12 1 m m m p m m n 2 1 12 2 2 2 0 1 1 212 n i in m m m p m m n n m m p 2 1 2 1 2 1 n pn時(shí)，當(dāng) m m p 1 1 而 n i i B 1 ) 1 ( j n j j kk k BAPBP BAPBP ABP 1 nk, 2 , 1 則 對(duì)任一具有正概率的事件A，有 (2) P(Bi)0 i=1,2,，n； 設(shè)B1，B2，Bn是一組兩兩互斥的事件，且 AP BAPBP AP ABP ABP kk k k i n i i

12、kk BAPBP BAPBP 1 nk, 2 , 1 定理可以推廣到可列多個(gè)的情況。定理可以推廣到可列多個(gè)的情況。 例例1 1 （市場(chǎng)問題） 某公司計(jì)劃將一種無污染、無副作用 的凈化設(shè)備投放市場(chǎng)。公司市場(chǎng)部事先估計(jì)該產(chǎn)品暢銷的 概率是0.5，一般為0.3，滯銷為0.2。為測(cè)試銷路，公司 決定進(jìn)行試銷，并設(shè)定了以下標(biāo)準(zhǔn):若產(chǎn)品暢銷，則在試 銷期內(nèi)賣出700010000臺(tái)產(chǎn)品的概率是0.6;若產(chǎn)品的銷 路一般，則在產(chǎn)品的試銷期內(nèi)賣出700010000臺(tái)產(chǎn)品的 概率是0.9;若產(chǎn)品滯銷，則在試銷期間能賣出7000 10000臺(tái)產(chǎn)品的概率是0.2。若在試銷期滿后，實(shí)際賣出的 產(chǎn)品是9000臺(tái)。求該產(chǎn)品

13、 （1）為銷路一般的概率。 （2）為暢銷品的概率。 （3）暢銷或銷路一般的概率。 解解 設(shè)A1=該產(chǎn)品是暢銷品 A2=該產(chǎn)品的銷路一般 A3=該產(chǎn)品是滯銷品 B=試銷期內(nèi)能賣出該產(chǎn)品700010000臺(tái) P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2 P(B|A1)=0.6，P(B|A2)=0.9，P(B|A3)=0.2 44. 0 2 . 02 . 09 . 03 . 06 . 05 . 0 9 . 03 . 0 )( )( )() 1 ( 3 1 22 2 2 i ii ABPAP ABPAP BP BAP BAP 49. 0 2 . 02 . 09 . 03 . 06 . 0

14、5 . 0 3 . 0 )( )( )()2( 3 1 11 1 1 i ii ABPAP ABPAP BP BAP BAP 93. 0 2 . 02 . 09 . 03 . 06 . 05 . 0 2 . 02 . 0 1 )(1)()3( 33 BAPBAP 93. 0 44. 049. 0 )()()()3( 2121 BAPBAPBAAP 解法二：解法二： 兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概 率為0.05，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.02，加工的零件混 放在一起，若第一臺(tái)車床與第二臺(tái)車床加工的零件數(shù)為5:4。 求（）任意地從這些零件中取出一個(gè)合格品的概率； （）若已知取出的一個(gè)零

15、件為合格品，那么，它 是由哪一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的可能性較大。 是第一車床加工的零件設(shè) 1 A 是第二車床加工的零件 A是合格品B 9 5 1 AP 9 4 2 AP 95. 0| 1 ABP98. 0| 2 ABP 900 867 98. 0 9 4 95. 0 9 5 2211 ABPAPABPAPBP 867 475 867 900 95. 0 9 5 11 1 BP ABPAP BAP 867 392 867 900 98. 0 9 4 22 2 BP ABPAP BAP （） 因此，第一臺(tái)可能性較大 （1） 某實(shí)驗(yàn)室在器皿中繁殖成k個(gè)細(xì)菌的概率為 并設(shè)所繁殖的每個(gè)細(xì)菌為甲類菌或乙類菌的概率相

16、 等，求下列事件的概率： （1）器皿中所繁殖的全部是甲類菌的概率。 （2）已知所繁殖的全部是甲類菌，求細(xì)菌個(gè)數(shù)為2 的概率； （3）求所繁殖的細(xì)菌中有i個(gè)甲類菌的概率。 , 2 , 1 , 0, 0, ! ke k p k k 事件A表示繁殖的細(xì)菌全是甲類菌， Bk表示繁殖了k個(gè)細(xì)菌， k=1,2, Ai表示所繁殖的細(xì)菌中有i個(gè)甲類菌， i=1,2, （1）由全概率公式有 1 )|()()( k kk BAPBPAP k k k e k 2 1 ! 1 1 ! 2 k k k e 1 2 1 ee )( )|()( )|( 22 2 AP BAPBP ABP （2） ) 1( 2 1 ! 2

17、2 1 2 2 ee e ) 1(8 2 1 2 e （3） 由題意 e k BP k k ! )( k i k iki i kki CCBAP 2 1 2 1 2 1 )|( 根據(jù)全概率公式 ik kiki BAPBPAP)|()()( ik k i k k Ce k2 1 ! ik k iki e 2)!( ! 1 ik iki iki e 2)!( 1 2! 1 2 2! 1 e i i , 2 , 1 , 0i 、事件的相互獨(dú)立性、事件的相互獨(dú)立性 若兩事件，滿足 P(AB)P(A)P(B) ，則 稱事件、(或、)相互獨(dú)立。簡(jiǎn)稱獨(dú)立。 定義即使在 P(A)=0 或P(B)=0時(shí)，仍然適

18、用。 必然事件及不可能事件與任何事件均是獨(dú)立的。 由定義可得： 如P(A)0，則事件A與B獨(dú)立 BPABP 如P(B)0，則事件A與B獨(dú)立 APBAP )()(0)( )()()( )()()( BPABPAP BPAPABPBA ABPAPABP 得由 獨(dú)立，得、又 相互獨(dú)立與BA BPAPABPAPABP )()()()()( 若對(duì)事件，；， ； ，； ， 中 有一對(duì)是相互獨(dú)立的，則另外三對(duì)事件是相互獨(dú) 立的（即這四對(duì)事件或者都相互獨(dú)立，或者都不 相互獨(dú)立）。 BA A B 獨(dú)立、BA 獨(dú)立、BA 獨(dú)立、BA獨(dú)立、BA ： 我們首先證明下面四個(gè)命題： （）由A，B事件相互獨(dú)立，推出A， 事

19、件相互獨(dú)立； （）由A， 事件相互獨(dú)立，推出 ，B事件相互獨(dú)立； （）由 ，B事件相互獨(dú)立，推出 ， 事件相互獨(dú)立； （）由 ， 事件相互獨(dú)立，推出A，B事件相互獨(dú)立； 四個(gè)命題成立，定理5結(jié)論成立。 B BA AA AB B 因?yàn)?，事件相互?dú)立，即P(AB)=P(A)P(B) 。 BPAP BPAP BPAPAP ABPAP ABAPBAP 1 又 相互獨(dú)立。、所以BA BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 BAAPBP ABPBPABBPBAP 又 APBPAPBP BPAPBP BPAPBP BPAPAPBP BAPAPBP 1 1 相互獨(dú)立。、所以BA BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 BPA

20、P BPAP BPAPAP BAPAP BAAPBAP 1 相互獨(dú)立。、所以BA 又 BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 BABPAP BAPAPBAAPABP 又 APBPBPAP BPAPAP APBPAP BPAPBPAP BAPBPAP 1 1 所以，A、B事件相互獨(dú)立。 甲、乙同時(shí)向一敵機(jī)炮擊，已知甲擊中敵機(jī)的概率 為0.6，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，求敵機(jī)被擊中的概率。 記 。敵機(jī)被擊中 ，乙擊中敵機(jī) ，甲擊中敵機(jī) 8 . 05 . 06 . 05 . 06 . 0 BPAPBPAP ABPBPAP BAPCP 事件的獨(dú)立性概念可以推廣到有限個(gè)事件的情形。 設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件

21、，若對(duì)所有可能的 組合1ijkn 成立著 )( 2個(gè) 共 njiji CAPAPAAP )( 3個(gè) 共 nkjikji CAPAPAPAAAP )( 2121 個(gè)共 n nnn CAPAPAPAAAP 則稱A1，A2，An相互獨(dú)立。 同時(shí)拋擲兩個(gè)四面體，每個(gè)四面體的四個(gè)面分別標(biāo) 有1、2、3、4。定義事件 奇數(shù)現(xiàn)偶數(shù)，或者同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)四面體或者同時(shí)出 第二個(gè)四面體出現(xiàn)奇數(shù) 第一個(gè)四面體出現(xiàn)偶數(shù) C B A 8 1 )()()( 0)( 4 1 )()()( 2 1 )()()( CPBPAP ABCP CAPBCPABP CPBPAP 故A、B、C不相互獨(dú)立。 設(shè)n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)

22、立，那么，把其 中任意m(1mn) 個(gè)事件相應(yīng)換成它們的對(duì)立事件，則所得 的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。 ：設(shè)某型號(hào)的高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6， 現(xiàn)在用此型號(hào)的炮若干門同時(shí)各發(fā)射一發(fā)炮彈，問至少需要設(shè) 置幾門高射炮才能以不小于0.99的概率擊中來犯的敵機(jī)（可以 認(rèn)為各門高射炮的射擊相互獨(dú)立）？ 設(shè)需要設(shè)置的高射炮數(shù)為n n i AAAA AniiA 21 , 2 , 1 則有 敵機(jī)被擊中門炮擊中敵機(jī)第令 99. 0 21 n AAAPAPn使得求 99. 04 . 011 111 21 2121 n n nn APAPAP AAAPAAAPAPAP 即得 門高射炮。故至少需要設(shè)置6

23、026. 5 3979. 0 2 4 . 0lg 01. 0lg n 一個(gè)元件能正常工作的概率稱為這個(gè)元件的可靠性； 由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。設(shè)構(gòu) 成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r(0r1)個(gè)元件按圖及圖所示的 兩種聯(lián)接方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)，試求它們的可靠性，并比較兩個(gè) 可靠性的大小。 A1A2An B1B2Bn 圖 系統(tǒng) 圖 系統(tǒng) A1A2 B1B2 An Bn 解：解： 設(shè) niAA ii , 2, 1，能正常工作元件 niBB ii , 2, 1，能正常工作元件 計(jì)算系統(tǒng)的可靠性：計(jì)算系統(tǒng)的可靠性： 它有兩條通路，在每條通路中，當(dāng)且僅當(dāng)該通路上 所有元件都能正常工作時(shí)

24、，該條通路才能正常工作，因 為系統(tǒng)由兩條通路并聯(lián)而成，因此，只要有一條通路 能正常工作，則系統(tǒng)就能正常工作。 組成的通路能正常工作由元件記 n AAAA, 21 組成的通路能正常工作由元件 n BBBB, 21 nnn rrr BPAP BPAP BAPBAPBAPR 211 111 1 11 2 1 所求的系統(tǒng)的可靠性為： n nn rAPAPAPAAAPAP 2121 n nn rBPBPBPBBBPBP 2121 因?yàn)楦髟芊裾９ぷ魇窍嗷オ?dú)立的，得 則系統(tǒng)中每對(duì)并聯(lián)元件所組成的子系統(tǒng)的可靠性為 niBAC iii ,2,1設(shè) rrr BPAP BPAP BAP BAP BAPCP i

25、i ii ii ii iii 211 111 1 1 1 2 下面計(jì)算系統(tǒng)的可靠性下面計(jì)算系統(tǒng)的可靠性： n n n n rr CPCPCP CCCPR 2 21 212 系統(tǒng)是由 n 個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，所求系統(tǒng)的可靠性為： 我們可以證明 R2R1 n n n rrrRR22 12 事實(shí)上， 0) 1 (22frrrf n n 得令 1 11 1 22 n nn n rrnnrrnrf 當(dāng)0r1時(shí)，f(r)f(1)0 即 R2R1 、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn) 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式 做n個(gè)完全重復(fù)條件的試驗(yàn)，且滿足兩個(gè)條件： (1)每次試驗(yàn)條件相同每次試驗(yàn)條件相同。 因此各次試驗(yàn)中同一個(gè)事

26、件出現(xiàn)概率相等； (2)各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立； 滿足這兩個(gè)條件的n次重復(fù)試驗(yàn)，稱為n重獨(dú)立試驗(yàn)重獨(dú)立試驗(yàn)。 n重獨(dú)立試驗(yàn)重獨(dú)立試驗(yàn) 如n重獨(dú)立試驗(yàn)還滿足： 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果。 即只有兩個(gè)可能事件與 ， 且 。 則這n重獨(dú)立試驗(yàn)又稱為n重貝努利重貝努利 (Bernoulli)試驗(yàn)，或稱為貝努利概型試驗(yàn)，或稱為貝努利概型。 A qpAPpAP1,)( 試驗(yàn)試驗(yàn)2疾病發(fā)生疾病發(fā)生 某疾病的發(fā)生率為0.001。當(dāng)衛(wèi)生部門要對(duì)一個(gè) 擁有5000名員工的單位估計(jì)此種疾病的發(fā)病情況時(shí)， 需用p 0.001的n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ停渲衝=5000。 試驗(yàn)試驗(yàn)1電腦故障

27、電腦故障 某電腦公司售出200臺(tái)電腦，公司在考慮售后服 務(wù)維修人員的安排時(shí)需處理P(A)=p，n=200的伯努利 試驗(yàn)問題。其中p是電腦故障率。 試驗(yàn)試驗(yàn)3產(chǎn)品抽樣產(chǎn)品抽樣 在產(chǎn)品抽驗(yàn)中，如果采用不放回方式抽取 n 次（每次取一件產(chǎn)品），那么這 n次試驗(yàn)就 不是 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（此時(shí)，每次試驗(yàn)條件不完 全重復(fù)，每次抽取正品的概率也不相等）。 但是，如果采用放回抽樣，即每次抽取檢 查后放回，這樣所作的n次試驗(yàn)就是 重復(fù)獨(dú)立 試驗(yàn)。 在實(shí)際問題中，完全滿足n重獨(dú)立試驗(yàn)的兩 個(gè)條件是不多見的，常常是近似滿足條件，此時(shí)， 可用 n重獨(dú)立試驗(yàn)來近似處理。例如，仍然以抽樣 問題來講，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí)，相對(duì)來

28、說，抽取 的產(chǎn)品件數(shù)n很小，即使所作的是無放回抽取，我 們可以近似地當(dāng)作有放回抽取，近似地把它看成 是n重獨(dú)立試驗(yàn)（此時(shí)，每次試驗(yàn)出現(xiàn)正品的可能 性相等）。 定理定理 （二項(xiàng)概率公式）（二項(xiàng)概率公式） 設(shè)一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為P(A)=p (0p1)，則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次 數(shù)的分布律為 nk pqqpCkPkP knkk nn , 2 , 1 , 0 1 其中 也記作 b(k；n，p) 證明證明 nkkk AAAAAAP 2121 knk kn k nkkk nkkk qppp APAPAPAPAPAP AAAAAAP 1 2121 2121 niiA i , 2, 1次試

29、驗(yàn)中出現(xiàn)第記 當(dāng)n次試驗(yàn)中事件在指定的k次試驗(yàn)中出現(xiàn)（下 式是前k次出現(xiàn)），在其余nk 次試驗(yàn)中不出現(xiàn)的概 率為 再由試驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性得 由于n重貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)k 次的方式：就 是至n 的n個(gè)自然數(shù)中取出 k個(gè)數(shù)的一種組合， 即共有 個(gè)事件。而這些事件是兩兩互斥的，故 根據(jù)概率的可加性可得 k n C nkqpCkP knkk nn ， 210 注：注：1)由于上式剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的展開式中第 k+1項(xiàng)的系數(shù)，故我們把它稱為二項(xiàng)概率公式。 1 00 n k n knkk n n k n qpqpCkP 2),;(pnkbqpC knkk n 也被記作 顯然： 例例1 1 (打靶問題)某老練的射手打五發(fā)子彈，中靶概率為 0.8，問:（1）他打中兩發(fā)的概率p1是多少?（2）打中的 概率p2是多少? 解解 設(shè)Ai=第i次擊中靶， 由于射