大學(xué)物理學(xué)習(xí)資料：波動_1

1、 彈性介質(zhì)和波源彈性介質(zhì)和波源（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）（機(jī)械波產(chǎn)生的條件） 2-1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播 第二章第二章 波波 動動 物體的彈性和波速物體的彈性和波速 2-3 簡諧波的波函數(shù)簡諧波的波函數(shù) 2-2 波的周期性和波速波的周期性和波速 波長、波速和頻率：波長、波速和頻率： 縱波和橫波縱波和橫波 波線、波面、波前波線、波面、波前 行波方程：右行波和左行波行波方程：右行波和左行波 例題：例題：p57 例例2 提綱提綱 BD_11 BD_12 BD_2 CAIUPS 作業(yè)：作業(yè)：4，8，9，10 前前 言言 聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中常見的波，聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中

2、常見的波， 它對應(yīng)一種物質(zhì)波。波即可以是運(yùn)動狀態(tài)的它對應(yīng)一種物質(zhì)波。波即可以是運(yùn)動狀態(tài)的 傳遞而非物質(zhì)的自身運(yùn)動，也可以是物質(zhì)本身傳遞而非物質(zhì)的自身運(yùn)動，也可以是物質(zhì)本身 的運(yùn)動結(jié)果，甚至把波直接看作一種粒子。的運(yùn)動結(jié)果，甚至把波直接看作一種粒子。 各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在 真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作 粒子粒子光子的運(yùn)動。光子的運(yùn)動。 機(jī)械振動在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。下面機(jī)械振動在彈性介質(zhì)中的傳

3、播稱為機(jī)械波。下面 以機(jī)械波為例介紹波的一些物理概念。以機(jī)械波為例介紹波的一些物理概念。 但它們都有類似的波動方程。但它們都有類似的波動方程。 第二章第二章 波波 動動 2-1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播 彈性介質(zhì)和波源彈性介質(zhì)和波源（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）（機(jī)械波產(chǎn)生的條件） 彈性介質(zhì)是指由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)。彈性介質(zhì)是指由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)。 波源波源波源處質(zhì)點(diǎn)的振動通過彈性介質(zhì)中的波源處質(zhì)點(diǎn)的振動通過彈性介質(zhì)中的 彈性力，將振動傳播開去，從而形成機(jī)械波。彈性力，將振動傳播開去，從而形成機(jī)械波。 波動（或行波波動（或行波)是振動狀態(tài)的傳播，是能量的是振動狀態(tài)的傳播，是能量的 傳播

4、，而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播傳播，而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。 BD_11 彈性力：彈性力： 有正彈性力（壓、張彈性力）和有正彈性力（壓、張彈性力）和 切彈性力；液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正切彈性力；液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正 彈性力而沒有切彈性力。彈性力而沒有切彈性力。 縱波和橫波：縱波和橫波： 橫波橫波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波 縱波縱波振動方向與傳播方向相同，如聲波。振動方向與傳播方向相同，如聲波。 波線、波面、波前波線、波面、波前 波線波線（或波射線（或波射線) 波的傳播方向稱之為波射線或波線。波的傳播方向稱之為波射線或波線。 波面波面（或相面、波陣面）（或相面、波陣面

5、） 某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點(diǎn)組成的面某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點(diǎn)組成的面 稱為波面稱為波面。 任一波例如，水波、地表波，都能分解為任一波例如，水波、地表波，都能分解為 橫波與縱波來進(jìn)行研究。橫波與縱波來進(jìn)行研究。 波前波前某時刻處在最前面的波面。某時刻處在最前面的波面。 波線 波面 波面 波線 球面波球面波 平面波平面波 在各向同性均勻介質(zhì)在各向同性均勻介質(zhì) 中，波線與波陣面垂中，波線與波陣面垂 直直. 2-2 波的周期性和波速波的周期性和波速 波長、波速和頻率：波長、波速和頻率： HB2 波長波長振動相位相同的兩個相鄰波振動相位相同的兩個相鄰波 陣面之間的距離是一個波長?；蛘駝雨嚸嬷g的

6、距離是一個波長。或振動 在一個周期中傳播的距離，稱為波長，在一個周期中傳播的距離，稱為波長， 用用 表示。表示。 波速波速單位時間某種一定的振動狀態(tài)單位時間某種一定的振動狀態(tài)(或振動相位或振動相位) 所傳播的距離稱為波速所傳播的距離稱為波速 ，也稱之相速，也稱之相速 。u 頻率頻率單位時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動的次數(shù)單位時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動的次數(shù) T 1 T u1 波動的頻率，等于介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動頻率。波動的頻率，等于介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動頻率。 表示波在空間的周期性表示波在空間的周期性 表示波在時間上的周期性表示波在時間上的周期性 u 通過波速通過波速 聯(lián)系起來聯(lián)系起來 波的周期波的周期T：波傳過一個波長的時間，或

7、一個波傳過一個波長的時間，或一個 完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時間叫完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時間叫 做波的周期做波的周期T。 顯然，這里波長遠(yuǎn)大于媒質(zhì)分子間距離，即假設(shè)顯然，這里波長遠(yuǎn)大于媒質(zhì)分子間距離，即假設(shè) 彈性媒質(zhì)是連續(xù)的，媒質(zhì)中一個波長的距離內(nèi)有彈性媒質(zhì)是連續(xù)的，媒質(zhì)中一個波長的距離內(nèi)有 無數(shù)分子在陸續(xù)振動，宏觀上看來媒質(zhì)就象連續(xù)無數(shù)分子在陸續(xù)振動，宏觀上看來媒質(zhì)就象連續(xù) 的一樣。如果波長小到等于或小于分子間距離時，的一樣。如果波長小到等于或小于分子間距離時， 相距約為一波長的兩個分子之間，不再存在其它相距約為一波長的兩個分子之間，不再存在其它 分子，我們就不能認(rèn)為媒質(zhì)是連

8、續(xù)的了，這時媒分子，我們就不能認(rèn)為媒質(zhì)是連續(xù)的了，這時媒 質(zhì)就再也不能傳播彈性波了。因此有一個頻率上質(zhì)就再也不能傳播彈性波了。因此有一個頻率上 限存在。高度真空中分子間距離極大，不能傳播限存在。高度真空中分子間距離極大，不能傳播 聲波，就是由于這原因。聲波，就是由于這原因。 物體的彈性和波速物體的彈性和波速 機(jī)械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的彈性性質(zhì)機(jī)械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的彈性性質(zhì) 和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的密度和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的密度, 亦即決定于這種波在媒質(zhì)中傳播的機(jī)構(gòu)。亦即決定于這種波在媒質(zhì)中傳播的機(jī)構(gòu)。 下面將介紹：描述彈性的物理量下面將介紹：描述彈性的

9、物理量彈性模量。彈性模量。 S為棒之橫截面積為棒之橫截面積 lkl l YS f 1 楊氏彈性模量楊氏彈性模量Y ll Sf Y l l f f 彈性勢能：彈性勢能： 22 )( 2 1 )( 2 1 l l YSllkWp wY l l p 1 2 2 () 單位體積的彈性勢能：單位體積的彈性勢能： 為彈性系數(shù)或倔強(qiáng)系數(shù)。為彈性系數(shù)或倔強(qiáng)系數(shù)。 k 張應(yīng)力張應(yīng)力 張應(yīng)變張應(yīng)變 在彈性限度內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變成正比在彈性限度內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變成正比, 比例系數(shù)稱為材料的彈性模量。比例系數(shù)稱為材料的彈性模量。 2 切變彈性模量切變彈性模量N Dd SFSF N 切變時，單位體積的彈性勢能：切變時，單位體積的彈

10、性勢能： F F 切應(yīng)力切應(yīng)力 切應(yīng)變切應(yīng)變 2 )( 2 1 DdNwp 3 容變彈性模量容變彈性模量B f 表示正壓力表示正壓力 S受力面積受力面積 脅強(qiáng)脅強(qiáng) Sfp 脅變脅變VV f VV p B 容變彈性模量定義為：容變彈性模量定義為： 2 )( 2 1 VVBwp 應(yīng)變時，單位體應(yīng)變時，單位體 積的彈性勢能：積的彈性勢能： 體應(yīng)力體應(yīng)力 體應(yīng)變體應(yīng)變 T u t N ut 可以證明：可以證明： * 對于柔軟的繩索和弦線中對于柔軟的繩索和弦線中橫波波速橫波波速為為 T為繩索或弦線中張力為繩索或弦線中張力; 為質(zhì)量線密度為質(zhì)量線密度 * 細(xì)長的棒狀媒質(zhì)中細(xì)長的棒狀媒質(zhì)中縱波波速縱波波速為

11、為 Y u l Y 為媒質(zhì)的楊氏彈性模量為媒質(zhì)的楊氏彈性模量;為質(zhì)量密度為質(zhì)量密度 * 各向同性均勻固體媒質(zhì)各向同性均勻固體媒質(zhì)橫波波速橫波波速 N為媒質(zhì)的切變彈性模量為媒質(zhì)的切變彈性模量; 為質(zhì)量密度為質(zhì)量密度 在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些。在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些。 量綱量綱! * 在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波， 其波速為：其波速為： B ut B為媒質(zhì)的體變彈性模量為媒質(zhì)的體變彈性模量;為質(zhì)量密度為質(zhì)量密度 * 理想氣體理想氣體縱波縱波波速波速 M RTP ut 為壓縮系數(shù)為壓縮系數(shù) pV V B 1 M為氣體的質(zhì)量；為氣體的質(zhì)量； R

12、為氣體的摩爾常數(shù)。為氣體的摩爾常數(shù)。 T為熱力學(xué)溫度；為熱力學(xué)溫度； 是氣體的比熱容比是氣體的比熱容比 CPV 顯然顯然波速與溫度有關(guān)波速與溫度有關(guān)。 0 1 PVPVV 模量模量 2-3 簡諧波的波函數(shù)簡諧波的波函數(shù) 以橫波為例說明平面簡諧波的波函數(shù)。以橫波為例說明平面簡諧波的波函數(shù)。 下面要用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述波線上每一質(zhì)點(diǎn)在每下面要用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述波線上每一質(zhì)點(diǎn)在每 一時刻的位移，這樣的函數(shù)一時刻的位移，這樣的函數(shù) 稱為行波稱為行波 的波函數(shù)。的波函數(shù)。 ),( txfy 已知已知O點(diǎn)振動表達(dá)式：點(diǎn)振動表達(dá)式：)cos( 0 tAy X y p u O x 0 y表示各質(zhì)點(diǎn)在表示各質(zhì)點(diǎn)在Y方

13、向上的方向上的 位移，位移，A是振幅，是振幅， 是角頻是角頻 率或叫圓頻率，率或叫圓頻率， 為為O點(diǎn)在點(diǎn)在 零時刻的相位。零時刻的相位。 O點(diǎn)運(yùn)動傳到點(diǎn)運(yùn)動傳到 p點(diǎn)需用點(diǎn)需用 u x t 相位落后相位落后 ，所以，所以 p點(diǎn)的運(yùn)動方程：點(diǎn)的運(yùn)動方程： u x u x 相位落后相位落后 ，所以，所以 p點(diǎn)的運(yùn)動方程：點(diǎn)的運(yùn)動方程： )(cos),( 0 u x tAtxy 2 )cos(),( 0 x tAtxy 22 T T u k ； 2 2 T uuT 定義定義 為為角波數(shù)角波數(shù)k 因此下述幾式等價(jià)：因此下述幾式等價(jià)： 也即也即p點(diǎn)的相位落后于點(diǎn)的相位落后于O點(diǎn)相位：點(diǎn)相位： 。 這就是

14、這就是右行波右行波的波方程。的波方程。 x2 X y p u O x T/2 Tu/ )(cos),( 0 u x tAtxy 因此下述幾式等價(jià)：因此下述幾式等價(jià)： 2 cos),( 0 x tAtxy )(2cos),( 0 x tAtxy )( 2 cos),( 0 utxAtxy )(cos),( 0 utxkAtxy BD_2 BD_12 T/2 Tu/ CAIUPS 相速群速 )(2 )(cos),( 0 xx ttAttxxy )( 22 cos 0 xtu x tA ),(),(txyttxxy 若這兩處相位相同，則有：若這兩處相位相同，則有： ) 2 cos(),( 0 x t

15、Atxy 0)( 2 xtu 可見波速就是相位傳播的速度可見波速就是相位傳播的速度 左行波左行波的波函數(shù)：的波函數(shù)： )(cos),( 0 u x tAtxy )(cos),( 0 utxkAtxy X y p u O x 也即也即p點(diǎn)的相位超前于點(diǎn)的相位超前于O點(diǎn)相位：點(diǎn)相位： 所以所以 p點(diǎn)的運(yùn)動方程，點(diǎn)的運(yùn)動方程， 也也就是就是左行波左行波的波方程：的波方程： x u x2 p點(diǎn)運(yùn)動傳到點(diǎn)運(yùn)動傳到 O 點(diǎn)需用點(diǎn)需用 時間：時間： u x t 例題：例題：p57 例例2 已知：已知： , , t=0的波形如圖所示的波形如圖所示mkg/105 . 1 2 NF6 mmA4 . 0,100 .

16、 4 2 sm F u/20 105 . 1 6 2 s u T02. 0 20 4 . 0 mxt)25100cos(104 . 0 2 X y u m4 . 0m2 . 0 m04. 0 求：振幅，波長，波速和波的周期、波函數(shù)求：振幅，波長，波速和波的周期、波函數(shù) 及質(zhì)元振動速度表達(dá)式及質(zhì)元振動速度表達(dá)式 ) 2 2 2 cos( x t T Ay 2 0 )(sin ),( 0 u x tA t txy yv )5100cos(6 .12 ),( xt t txy yv 因?yàn)橐驗(yàn)椋?所以所以 )(sin ),( 0 u x tA t txy yv )(cos ),( 0 2 2 2 u x tA t txy ya 2 2 2 0 2 2 2 2 1 )(cos t y uu x t u A x y 2 2 22 2 1 t y u