因式分解經(jīng)典題及解析

1、因式分解經(jīng)典題及解析2013組卷1在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，我們學(xué)習(xí)了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事實(shí)上，除了這兩種方法外，還有其它方法可以用來因式分解，比如配方法例如，如果要因式分解x2+2x3時(shí)，顯然既無法用提公因式法，也無法用公式法，怎么辦呢？這時(shí)，我們可以采用下面的辦法：x2+2x3=x2+2x1+1213=（x+1）222=解決下列問題：（1）填空：在上述材料中，運(yùn)用了_的思想方法，使得原題變?yōu)榭梢岳^續(xù)用平方差公式因式分解，這種方法就是配方法；（2）顯然所給材料中因式分解并未結(jié)束，請(qǐng)依照材料因式分解x2+2x3；（3）請(qǐng)用上述方法因式分解x24x52請(qǐng)看下面的問題：把x4

2、+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+44x2=（x2+2）24x2=（x2+2）2（2x）2=（x2+2x+2）（x22x+2）人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲熱門的做法，將下列各式因式分解（1）x4+4y4；（2）x22axb22ab3下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x24x+2）（x24x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程解：設(shè)x24x=y原式=（y+2）（y+

3、6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_A、提取公因式B平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底_（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x22x）（x22x+2）+1進(jìn)行因式分解4找出能使二次三項(xiàng)式x2+ax6可以因式分解（在整數(shù)范圍內(nèi)）的整數(shù)值a，并且將其進(jìn)行因式分解5利用因式分解說明：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)6已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x2+x+m因式分解以

4、后有一個(gè)因式為（3x2），試求m的值并將多項(xiàng)式因式分解7已知多項(xiàng)式（a2+ka+25）b2，在給定k的值的條件下可以因式分解請(qǐng)給定一個(gè)k值并寫出因式分解的過程8先閱讀，后解題：要說明代數(shù)式2x2+8x+10的值恒大于0還是恒等于0或者恒小于0，我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式）=2（x2+4x+2222+5）=2（x+2）2+1（將二次多項(xiàng)式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括號(hào)）因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2（x+2）2的值一定是非負(fù)數(shù)，那么2（x+2）2+2的

5、值一定為正數(shù)，所以，原式的值恒大于0，并且，當(dāng)x=2時(shí)，原式有最小值2請(qǐng)仿照上例，說明代數(shù)式2x28x10的值恒大于0還是恒小于0，并且說明它的最大值或者最小值是什么9老師給學(xué)生一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述：甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式；丁：這個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法；若已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式10在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2（x1）（x9），而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2（x2）（x4），請(qǐng)你判斷正確的二次三項(xiàng)式并進(jìn)

6、行正確的因式分解11觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的過程：解：設(shè)x2+6x=y，則原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？若不徹底，請(qǐng)你直接寫出因式分解的最后結(jié)果：_（2）仿照上題解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x3）+412（1）寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式（要求：多項(xiàng)式含有字母m和n，系數(shù)、次數(shù)不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）（2）閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+

7、1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3上述分解因式的方法是_，由到這一步的根據(jù)是_；若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2006，結(jié)果是_；分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n為正整數(shù)）13閱讀下面的材料并完成填空：因?yàn)椋▁+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x2+px+q的因式解，就是把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)數(shù)的積且使這兩數(shù)的和等于p，即如果有a，b兩數(shù)滿足ab=a+b=p，則有x2+px+q=（x+a）（x+b）如分解因式x2+5x+6解：因?yàn)?3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（

8、x+3）再如分解因式x25x6解：因?yàn)?1=6，6+1=5，所以x25x6=（x6）（x+1）同學(xué)們，閱讀完上述文字后，你能完成下面的題目嗎？試試看因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x27x+12；（3）x2+4x12；（4）x2x12答案1請(qǐng)看下面的問題：把x4+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+44x2=（x2+2）24x2=（x2+2）2（2x）2=（x2+2x+2）（x22

9、x+2）人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲熱門的做法，將下列各式因式分解（1）x4+4y4；（2）x22axb22ab考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法專題：閱讀型分析：這是要運(yùn)用添項(xiàng)法因式分解，首先要看明白例題才可以嘗試做以下題目解答：解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y24x2y2，=（x2+2y2）24x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y22xy）；（2）x22axb22ab，=x22ax+a2a2b22ab，=（xa）2（a+b）2，=（xa+a+b）（xaab），=（x+b）（x2ab）點(diǎn)評(píng)：本題考查了添項(xiàng)法因式分解，難度比較大2下面

10、是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x24x+2）（x24x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程解：設(shè)x24x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的CA、提取公因式B平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底不徹底（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果（x2）4（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x22x）（x22x+2）+1進(jìn)行因式分解考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用專題：閱讀型分析：（1）完全平方式

11、是兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)積的兩倍的和或差；（2）x24x+4還可以分解，所以是不徹底（3）按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可解答：解：（1）運(yùn)用了C，兩數(shù)和的完全平方公式；（2）x24x+4還可以分解，分解不徹底；（3）設(shè)x22x=y（x22x）（x22x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x22x+1）2，=（x1）4點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用公式法分解因式和學(xué)生的模仿理解能力，按照提供的方法和樣式解答即可，難度中等3找出能使二次三項(xiàng)式x2+ax6可以因式分解（在整數(shù)范圍內(nèi)）的整數(shù)值a，并且將其進(jìn)行因式分解考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等分析：根據(jù)十字相乘法的分解方法和特

12、點(diǎn)可知：a是6的兩個(gè)因數(shù)的和，則6可分成3（2），32，6（1），61，共4種，所以將x2+ax6分解因式后有4種情況解答：解：x2+x6=（x+3）（x2）；x2x6=（x3）（x+2）；x2+5x6=（x+6）（x1）；x25x6=（x6）（x+1）點(diǎn)評(píng)：本題考查十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程，常數(shù)6的不同分解是本題的難點(diǎn)4利用因式分解說明：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用分析：根據(jù)題意設(shè)出兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n、2n+2，利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可證出結(jié)論解答：解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2，則

13、有（2n+2）2（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+22n），=（4n+2）2，=4（2n+1），因?yàn)閚為整數(shù)，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇數(shù)，所以4（2n+1）是4的倍數(shù)，故兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)，再用平方差公式對(duì)列出的式子進(jìn)行整理，此題較簡(jiǎn)單5已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x2+x+m因式分解以后有一個(gè)因式為（3x2），試求m的值并將多項(xiàng)式因式分解考點(diǎn)：因式分解的意義分析：由于x的多項(xiàng)式3x2+x+m分解因式后有一個(gè)因式是3x2，所以當(dāng)x=時(shí)多項(xiàng)式的值為0，由此得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的

14、值代入3x2+x+m進(jìn)行因式分解，即可求出答案解答：解：x的多項(xiàng)式3x2+x+m分解因式后有一個(gè)因式是3x2， 當(dāng)x=時(shí)多項(xiàng)式的值為0，即3=0，2+m=0，m=2；3x2+x+m=3x2+x2=（x+1）（3x2）；故答案為：m=2，（x+1）（3x2）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查因式分解的意義，有公因式時(shí)，要先考慮提取公因式；注意運(yùn)用整體代入法求解6已知多項(xiàng)式（a2+ka+25）b2，在給定k的值的條件下可以因式分解請(qǐng)給定一個(gè)k值并寫出因式分解的過程考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法專題：開放型分析：根據(jù)完全平方公式以及平方差公式進(jìn)行分解因式即可解答：解：k=10，假設(shè)k=10，則有（a2+10a+25）b

15、2=（a+5）2b2=（a+5+b）（a+5b）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了運(yùn)用公式法分解因式，正確掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵7先閱讀，后解題：要說明代數(shù)式2x2+8x+10的值恒大于0還是恒等于0或者恒小于0，我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式）=2（x2+4x+2222+5）=2（x+2）2+1（將二次多項(xiàng)式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括號(hào)）因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2（x+2）2的值一定是非負(fù)數(shù)，那么2（x+2）2+2的值一定為正數(shù)，所以，原式的值

16、恒大于0，并且，當(dāng)x=2時(shí)，原式有最小值2請(qǐng)仿照上例，說明代數(shù)式2x28x10的值恒大于0還是恒小于0，并且說明它的最大值或者最小值是什么考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方分析：按照題目提供的方法將二次三項(xiàng)式配方后即可得到答案解答：解：2x28x10=2（x2+4x+5）=2（x2+4x+2222+5）=2（x+2）2+1=2（x+2）22 因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2（x+2）2的值一定是非負(fù)數(shù)，那么2（x+2）22的值一定為負(fù)數(shù)，所以，原式的值恒小于0，并且，當(dāng)x=2時(shí)，原式有最大值2點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法與完全平方式的非負(fù)性的應(yīng)用注意解此題的關(guān)鍵是將原代數(shù)式準(zhǔn)確配方8老師給學(xué)生一

17、個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述：甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式；丁：這個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法；若已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用專題：開放型分析：能用完全平方公式分解的式子的特點(diǎn)是：三項(xiàng)；兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)需相同；有一項(xiàng)是兩底數(shù)積的2倍解答：解：由題意知，可以理解為：甲：這是一個(gè)關(guān)于x三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1，即三次項(xiàng)為x3；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式x；?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到完全平方公式法故多項(xiàng)式可以為x（x1）2=x（x22x

18、+1）=x32x2+x點(diǎn)評(píng)：本題考查了提公因式法和公式法分解因式，是開放性題，根據(jù)描述按照要求列出這個(gè)多項(xiàng)式答案不唯一9在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2（x1）（x9），而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2（x2）（x4），請(qǐng)你判斷正確的二次三項(xiàng)式并進(jìn)行正確的因式分解考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用分析：此題可以先將兩個(gè)分解過的式子還原，再根據(jù)兩個(gè)同學(xué)的錯(cuò)誤得出正確的二次三項(xiàng)式，最后進(jìn)行因式分解即可解答：解：2（x1）（x9）=2x220x+18，2（x2）（x4）=2x212x+16；由于甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，則正確的二次三項(xiàng)式為：2x212

19、x+18；再對(duì)其進(jìn)行因式分解：2x212x+18=2（x3）2點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，題目較為新穎，同學(xué)們要細(xì)心對(duì)待10觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的過程：解：設(shè)x2+6x=y，則原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？若不徹底，請(qǐng)你直接寫出因式分解的最后結(jié)果：（x+3）4（2）仿照上題解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x3）+4考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等專題：換元法分析：（1）根據(jù)x2+6x+9=（x+3）2，進(jìn)而分解因式得出答案即可；（2

20、）仿照例題整理多項(xiàng)式進(jìn)而分解因式得出答案即可解答：解：（1）這位同學(xué)的因式分解不徹底，原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2=（x+3）4故答案為：（x+3）4；（2）設(shè)x2+4x=y，則原式=（y+1）（y3）+4=y22y+1=（y1）2=（x2+4x1）2點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解法的應(yīng)用，正確分解因式以及注意分解因式要徹底是解題關(guān)鍵11（1）寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式（要求：多項(xiàng)式含有字母m和n，系數(shù)、次數(shù)不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）（2）閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由到這一步的根據(jù)是同底數(shù)冪的乘法法則；若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2006，結(jié)果是（1+x）2007；分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n為正整數(shù)）考點(diǎn)：因式分解-提公因式法分析：（1）根據(jù)題目要求可以編出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；（2）首先通過分解因式，可發(fā)現(xiàn)中的式子與結(jié)果之間的關(guān)系，根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可直接得到答案解答：解：（1）m3mn2