平面幾何中幾個(gè)重要定理的證明

1、平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明一、塞瓦定理1 塞瓦定理及其證明定理：在 ABC 內(nèi)一點(diǎn) P，該點(diǎn)與ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC 三邊AAB 、BC 、CA 于點(diǎn) D、E、F，且 D、E、F 三點(diǎn)均不是ABC 的頂點(diǎn)，則有FDPADBECFBC1DBECEFA證明：運(yùn)用面積比可得根據(jù)等比定理有ADSDBSADPBDPSSADCBDCS ADPS ADCS ADCS ADPS APCS BDPS BDCS BDCS BDP，S BPC所以ADS APC同理可得 BESAPB ，CFSBPC DBS BPCECS APCFAS APBADBECF1三式相乘得ECFADB注：在運(yùn)用

2、三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底” ，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”2塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC 三邊 AB 、 BC、 CA 上各有一點(diǎn)D、 E、ADBECFF，且 D 、E、 F 均不是ABC 的頂點(diǎn)，若 DBEC1，F(xiàn)A那么直線 CD 、 AE 、 BF 三線共點(diǎn)A證明：設(shè)直線 AE 與直線 BF 交于點(diǎn) P，直線 CP 交 AB 于點(diǎn) D/，則/FD據(jù)塞瓦定理有DPAD/BECF1 BECD / BECFA因?yàn)锳DBECFADAD/由于點(diǎn) D 、DBECFA1，所以有D/BDBD /都在線段 AB 上，所以點(diǎn) D 與 D /重合即得 D 、E、F 三點(diǎn)共

3、線注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證二、梅涅勞斯定理3梅涅勞斯定理及其證明A定理：一條直線與 ABC 的三邊 AB 、 BC、 CA 所在直線分別交DBC于點(diǎn) D、E、F，且 D、E、 F 均不E G是ABC 的頂點(diǎn)，則有FADBECF1 DBECFA證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C 作 AB 的平行線，交EF 于點(diǎn) GCGCF因?yàn)?CG / AB ，所以FA（ 1）ADCGEC因?yàn)?CG / AB ，所以 DBBE（ 2）DBBE CF，即得ADBECF由（1）（2）可得ECFADBEC1ADFA注：添加的輔助線CG 是證明的關(guān)鍵 “橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再拆去“橋梁

4、”（CG ）使得命題順利獲證4梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABC 的邊 AB 、BC 上各有一點(diǎn) D 、E，在邊AD BE CF1，AC 的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，若 DB EC FA那么， D 、 E、 F 三點(diǎn)共線A證明：設(shè)直線 EF 交 AB 于點(diǎn) D/，D/D則據(jù)梅涅勞斯定理有BECAD /BECF/BEC1FDFAADBECF1，所以有ADAD /由于點(diǎn) D、因?yàn)镋CFADB/BDBDD /都在線段 AB 上，所以點(diǎn) D 與 D /重合即得 D 、E、F 三點(diǎn)共線注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律三、托勒密定理5 托勒密定理及其證明AB定理：凸四

5、邊形 ABCD 是某圓的內(nèi)ME接四邊形，則有DCABCD + B CAD = A CBD 證明：設(shè)點(diǎn) M 是對(duì)角線 AC 與 BD的交點(diǎn)，在線段BD 上找一點(diǎn)，使得DAE =BAM 因?yàn)?ADB =ACB ，即 ADE =ACB ，所以 ADE ACB ，即得ADDEACDE（ 1）AC，即 AD BCBC由于 DAE=BAM ，所以DAM= BAE ，即 DAC= BAE 。而 ABD = ACD ，即 ABE =ACD ，所以 ABE ACD 即得ABBE，即 AB CDAC BE（ 2）ACCD由（ 1） +（2）得ADBCABCDACDEACBE所以 ABCD + B CAD = A

6、CBD 注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論這里的構(gòu)造具有特點(diǎn)，不容易想到，需要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試6托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形ABCD 滿足 AB CD + BCAD=ACBD ，那么 A 、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓證法 1（同一法）：在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得EBADCA ，則EAB DAC 可得 ABCD = BEAC （ 1）EABDAC ，AB且AEAB （2）EADACDCD A EC A B則 由） 可 得及 （ 2DAE CAB 于是有AD BC = DE AC （ 3）由（ 1）+（ 3）可得 AB CD + BC AD = AC (

7、 BE + DE ) 據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點(diǎn) E 在線段 BD 上則由 EBADCA，得DBADCA ，這說(shuō)明 A、B、C、D四點(diǎn)共圓證法 2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）延長(zhǎng) DA 到 A/，延長(zhǎng) DB 到 B/，使 A 、B 、B/、 A/四點(diǎn)共圓延長(zhǎng)DC 到 C/，使得 B 、C、C/ 、 B/四點(diǎn)共圓（如果能證明A /、A /B/ABB/ 、 C/共線，則命題獲證）那么，據(jù)圓冪定理知A 、C、C/DCC/ 、 A /四點(diǎn)也共圓因此，A/ B/A/ DB/C/C / DABBD，BCBD可得/B/C/AB A/D BC C/DA BBD.另一方面，A/C /A/ D ，即 A/C/A

8、CA/D ACCDCD欲證AB A/D BC C/D AC A/DBD=CD，即證AB CD A/DBC CDC / DACBD A/D即 BC CD C/D( ACBDAB CD)A/D 據(jù)條件有ACBDAB CDADBC ，所以需證BC CD C/DAD BCA/D ，即證CD C/DAD A/D ，這是顯然的所以，A/ B/B/C /A/C/共線所以A/B/ B與BB/C/，即A、B、C互補(bǔ)由于A/B/BDAB，BB/C/DCB ，所以DAB與 DCB 互補(bǔ)，即 A 、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓7托勒密定理的推廣及其證明定理 ：如果凸四邊形 ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有A

9、BCD + BCAD AC BD證明：如圖，在凸四邊形ABCD 內(nèi)取一點(diǎn)E，使得EABDAC，ABEBADCA ，則 EAB DAC EDC可得 ABCD = BEAC （ 1）且AEAB （ 2）ADAC則由DAECAB 及（ 2）可得 DAE CAB 于是ADBC = DE AC （ 3）由（ 1）+（ 3）可得 AB CD + BC AD = AC ( BE + DE ) 因?yàn)?A 、B 、C、D 四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCADACBD所以 BE + DE BD ，即得點(diǎn) E 不在線段 BD 上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有 BE + DE BD 所以 ABCD + B

10、C AD AC BD 四、西姆松定理8西姆松定理及其證明定理：從ABC 外接圓上任意一點(diǎn)P 向 BC、 CA 、 AB或其延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D 、E、F，則 D 、E、 F 三點(diǎn)共線證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交 BC 于點(diǎn) D/，連接 PD/因?yàn)?PEAE ，PFAF，所以 A、AF 、 P 、 E 四點(diǎn)共圓，可得FAEFDBC= FEPE因?yàn)?A、 B、 P、 C 四點(diǎn)共圓，P所以 BAC =BCP，即FAE =BCP所以， FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得 C、 D/、P、 E 四點(diǎn)共圓所以， CD/P +CEP = 1800。而 CEP = 900，所以CD

11、/P= 900，即 PD/BC由于過(guò)點(diǎn)P 作 BC 的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D 與D /重合，即得D、 E、 F 三點(diǎn)共線注：（ 1）采用同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性（ 2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法五、歐拉定理9歐拉定理及其證明A定理：設(shè)ABC 的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H 表示則有 G、DOHO 、 H 三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足 BECOH 3OG 證明（向量法）：連 BO 并延長(zhǎng)交圓 O 于點(diǎn) D。連接 CD 、 AD 、 HC，設(shè) E 為邊 BC 的中點(diǎn)，連接 OE 和 OC則

12、OHOAAH因?yàn)镃D BC ，AH BC，所以AH / CD 同理 CH /DA 所以， AHCD 為平行四邊形從而得 AHDC而 DC 2 OE ，所以AH2OE 因?yàn)?OE1 OBOC ，所以 AH OBOC 2由得： OHOA OB OC 另一方面， OGOA AG OA 2GF OA GB GC 而 GB GO OB，GC GO OC ，所以O(shè)G OA 2GO OC OB OG1OA OB OC 3由得：OH3 OG 結(jié)論得證注：（ 1）運(yùn)用向量法證明幾何問(wèn)題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對(duì)幾何問(wèn)題的表現(xiàn)手法；（2）此題也可用純幾何法給予證明又證（幾何法）：連接 OH

13、 ，AE ，A兩線段相交于點(diǎn) G/；連 BO 并延長(zhǎng)D交圓 O 于點(diǎn) D；連接CD、AD 、HC ，設(shè) E 為邊 BC 的中點(diǎn)，連接OGHOE 和 OC ，如圖BEC因?yàn)镃D BC ，AH BC，所以 AH/CD 同理 CH/DA 所以， AHCD 為平行四邊形可得 AH=CD而 CD=2OE，所以 AH=2OE 因?yàn)?AH / CD ，CD / OE ，所以 AH / OE 可得AHG / EOG/所以AHAG /HG /2OEG / EG/ O1 AG/2G/就是ABC 的重心，由 G/E1 ，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)即 G/與點(diǎn) G 重合所以， G、 O、 H 三點(diǎn)共線，且滿足 OH3OG 六、

14、蝴蝶定理10蝴蝶定理及其證明C/ EC定理：如圖，過(guò)圓中弦AB的中A/M P BQ Q點(diǎn) M 任引兩弦 CD 和 EF，連接 CF和 ED，分別交 AB 于 P、Q，則 PM =DMQ F/F證明： 過(guò)點(diǎn) M 作直線 AB 的垂線 l，作直線 CF 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱直線交圓于點(diǎn)C/、 F/，交線段 AB 于點(diǎn) Q/連接FF/、DF /、 Q/F/ 、DQ /據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱性可知：MF /Q/ =MFP，F(xiàn)/Q/M =FPM；且 FF/ / AB ，PM = MQ /因?yàn)?C、D、F/、F 四點(diǎn)共圓，所以CDF/ +CFF/= 1800，而由 FF/ AB可得Q/PF +CFF/ =

15、 180 0，所以CDF/=Q/PF，即MDF/ =Q/PF又因?yàn)镼/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ /F/所以有MDF /=MQ /F/這說(shuō)明 Q/、D 、F/、M 四點(diǎn)共圓， 即得MF /Q/ = Q/DM 因?yàn)?MF /Q/=MFP ，所以MFP =Q/DM 而 MFP= EDM ，所以EDM =Q/DM 這說(shuō)明點(diǎn) Q 與點(diǎn) Q/重合，即得 PM=MQ此定理還可用解析法來(lái)證明：想法：設(shè)法證明直線DE 和 CF在 x 軸上的截距互為相反數(shù)yECABQMPx證：以 AB 所在直線為x 軸，線段 AB 的垂直平分線為y 軸建立直D角坐標(biāo)系， M 點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)F設(shè)直線 DE 、CF 的方程分別為x = m1 y + n 1， x = m2 y + n 2；直線 CD 、 EF 的方程分別為y = k1 x ，y = k2 x 則經(jīng)過(guò) C、D 、E、F 四點(diǎn)的曲線系方程為(y k1 x )(y k2 x)+(x m1 yn1)(x m2 y n2)=0整理得(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2( k1+k2)+(m1+m2) xy (n1+n2)x+ (n1m2+n2m1)y+ n1n2=0由于 C、D 、E、F 四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說(shuō)明上面方程表示的是一個(gè)圓，所以必須+ k1 k2 = 1 + m1 m2 0，且(k1+k2)+ (m1+m2)=0若=0，則 k