2010級線性代數(shù)復(fù)習(xí)

1、2010級線性代數(shù)復(fù)習(xí) 2010級線性代數(shù)復(fù)習(xí) 一、選擇 a11a12a22a32a134a118a11?3a12a13a23? ( D ). a331. 若a21a31a23?1，則4a218a21?3a22a334a318a31?3a32 A. 12； B. ?6； C. 24； D. ?12 2. 設(shè)A、B為n階矩陣，下列運算正確的是( D ). A. ?AB?T?ATBT； B. A2?B2?A?B?A?B?； C. ?AB?k?AkBk ； D. 若A，B可逆，則?AB?1?B?1A?1. 3 設(shè)a62ak5a33al4a46a21是6階行列式的一項，則( A )。 A. k?5,l

2、?1,取正號； B. k?5,l?1,取負(fù)號； C. k?4,l?5,取負(fù)號； D. k?4,l?5,取正號. 4. 設(shè)A為m?n矩陣且秩(A)?r的充要條件是（ C ） A A中r階子式全不為0，階數(shù)大于r的子式都為0； B A中所有階數(shù)小于r的子式都為0，至少有一個r階子式不為0； C A中至少有一個r階子式不為0，所有r?1階數(shù)子式都為0； D A中r階子式不全為0，階數(shù)小于r的子式都為0。 ?2x1?x2?x3?0?5如果?x1?kx2?x3?0有非零解，則k必須滿足（ D ） ?kx?x?x?0?123A. k?4； B. k?1； C. k?4且k?1； D. k?4或k?1 6.

3、 若行列式a11a21a124a?1，則行列式11a224a21a11?2a12?（ B ） a21?2a22 A 8 B. -8 C. 4 D. -4 7設(shè)AX?b有個未知量，個方程，且r(A)?r(A)?r其中A為增廣矩陣，則此方程組 ( B )。 r?m時有唯一解 r?n時有唯一解 m?n時有解 Dr?m時有無窮多解 8. 設(shè)A、B為n階矩陣，下列命題正確的是( C ). A. 若AB?AC且A?0，則B?C； B. A2?B2?A?B?A?B?； C. 若AB?AC且A?0，則B?C； D. 若A，B可逆，則?AB?1?A?1B?1. 9. ?1,?2是AX?b 的兩個不同的解，?1,

4、?2是齊次方程組AX?0的基礎(chǔ)解系，k1,k2是任意常數(shù)，則AX?b的通解是（ B ）。 (A) k1?1?k2(?1?2)?1?12 (B) k1?1?k2(?1?2)?1?22 (C) k1?1?k2(?1?2)?1?12 (D) k1?1?k2(?1?2)?1?12 10設(shè)A為m?n矩陣且秩(A)?r的充要條件是（ D ） A A中r階子式全不為0，階數(shù)大于r的子式都為0； B A中所有階數(shù)小于r的子式都為0，至少有一個r?1階子式不為0； C A中至多有一個r階子式不為0；A中所有階數(shù)小于r的子式都為0； D A中r階子式不全為0，階數(shù)大于r的子式都為0。 a11a12a22a32a1

5、3a1110a13?3a122a132a23? ( B ). 2a3311. 若a21a31a23?1，則a2110a23?3a22a33a3110a33?3a32 A. 6； B. ?6； C. 12； D. ?12 12 下列選項不屬于5階行列式aij(i,j?1,2,3,4,5)中的一項的是（ A ）。 A. a11a23；a3aa245 B. ?a51a12a43a34a25； C. ?a13a52a34a21a45； D. a55a44a33a22a11. 13. 設(shè)A為m?n矩陣且秩(A)?r?m?n，則（ D ） A A中r階子式全不為0； B A中所有階數(shù)小于r的子式都為0；

6、C A中至少有一個r?1階子式不為0； D A中r階子式不全為0。 14 . 設(shè)A、B為n階矩陣，下列命題正確的是( C ). A. 若AB?0且A?0，則B?0； B. A2?2AB?B2?A?B?； C. 若(AB)2?I，則AB?B?1A?1； D.?AB?T?ATBT a1115若行列式a21a12?ax?ax?b?0?1，則方程組?1111221的解是( A ) a22ax?ax?b?0?21122222 A. x1?b1b2b1b2a12a22,x2?a11b1a21b2a11 B. x1?b1b2b1b2a12a22a12a22,x2?a11b1a21b2a11 C. x1? a

7、12a22,x2?b1a21b2 D. x1?,x2?b1a21b2 二、填空題 1. 設(shè)?1?(1,0,?1),?2?(?2,2,0),?3?(3,?5,2)，則?1,?2,?3線性 相關(guān) 。 2設(shè)?1,?2,?,?t及?1?1?2?2?t?t都是AX?b(b?0)的解向量，則 ?1?2?t? 1 。 ?x1?23x2?33x3?43x4?7?222?x1?2x2?3x3?4x4?53.線性方程組 ?的系數(shù)行列式D等于 12 ， ?x1?2x2?3x3?4x4?3?x?x?x?x?1?1234此方程組有 唯一 的解。 ?1000?0100?。 4四階矩陣A的第三行乘以2，寫出相應(yīng)的四階初等矩

8、陣?0020?1000?5?1?2?4?5. 設(shè)方陣A?2x?2?與B?0?0?4?21?6. 00?y0?相似，則x= 4 , y= 5 。 0?4?1?(1,0,?1),?2?(?1,2,0),?3?(1,?1,2),?4?(0,1,2)則?1,?2,?3,?4線性 相關(guān) . 7四階行列式中含有因子a11a23的項有a11a23a32a43,a11a23a34a42。 ?x1?x2?x3?x4?1?x?2x?3x?4x?3?12348. 線性方程組 ?的系數(shù)行列式D等于 12 ， x?4x?9x?16x?5234?1?x1?8x2?27x3?64x4?7此方程組有 唯一 的解。 9四階矩陣

9、A的第三行乘以2加到第一行，寫出相應(yīng)的四階初等矩陣 0?102?0100?。 ?0010?1000?500?10. 方陣A與B?010?相似,則A的特征值為 5，1，-4 。 ?00?4?11. 設(shè)?1?(1,1,3,1),?2?(3,?1,2,4),?3?(2,2,7,?1)，則?1,?2,?3線性 無關(guān) 。 12設(shè)?1,?2,?3是齊次線性方程組AX?0的一個基礎(chǔ)解系，?1,?1?2,?1?2?3是AX?0的 基礎(chǔ)解系 。 ?3x1?kx2?x3?0?13. 如果?4x2?x3?0有非零解，則k?2?7 ?kx?5x?x?023?1?001?14交換四階矩陣A的第三行和第一行，寫出相應(yīng)的四

10、階初等矩陣?010?. ?100?100?15. 方陣A與B?020?相似,則A的特征多項式為 (?1)(?2)(?3)。 ?003? 三、計算 a00a00?0010a0?0000a?000a?00Dn?a?(?1)n?10a0?00?000?a000?0a00?a01.100?0aa00?0?a?an?1?(?1)n?1?1?(?1)n?1?10a0?0?an?(?1)2n?1an?2?an?an?2?00?0a00?01a0?00 ?x1?x2?x3?x4?1?x?x2?x3?x4?0 2. 用基礎(chǔ)解系表示線性方程組?1的全部解. ?1x?x?2x?2x?1234?2?解：作方程的增廣矩

11、陣（A|b），并對它施以行的初等變換： ?1?11?11?1?11?11?1?11?11?(A|b)?1?1?110?00?22?1?001?11/2?1?3?3?1?122?0013?0013? ?2?2?2?1?11?11?1?1001/2?1?1001/2?001?11/2?001?11/2?001 00?0004?2?0001?1/2?0001?1/2?即原方程組與方程組 ?1/2?x1?x2?x3 ?0 ?x4?1/2?同解，其中x2為自由未知量。 ?1/2?0? 讓自由未知量x2=0，得到方程的一個解?0?1/2?原方程組的導(dǎo)出組與方程組 ?x1?x2?x3?0同解，其中x2為自由

12、未知量。 ?x4?1/2?1?1? 讓自由未知量x2=1，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系?1?0?1/2?所給方程的全部解為：x?c1?1 3.用求逆矩陣的方法，解矩陣方程XA?3B?X，其中 ?11?1?12?A?220?,B?13?。 ?1?12?21?解：由XA?3B?X得 X?3B(A?I)?1 T百度搜索“就愛閱讀”,專業(yè)資料、生活學(xué)習(xí),盡在就愛閱讀網(wǎng),您的在線圖書館! 01?1?12?36?336?1(A?I)?21?2? 3B?3?13?39? 693?31?2?21?63?TT01?1336?219?15?X?21?2? 693?2112?18?31?2?1?20?4.設(shè)A?22?2?，

13、求正交矩陣Q，使Q?1并寫出對角矩陣. AQ為對角矩陣，?0?23?解：A的特征方程為 ?120?I?A?2?22?(?1)(?5)(?2)?0 02?3?1?1,?2?2,?3?5當(dāng)?1?1時解齊次線性方程組(?I?A)x?0，得到其基礎(chǔ)解系：?1?(2,2,1)T 當(dāng)?1?2時解齊次線性方程組(2I?A)x?0，得到其基礎(chǔ)解系：?1?(2,?1,?2)T 當(dāng)5時解齊次線性方程組(5I?A)x?0，得到其基礎(chǔ)解系：?1?(1,?2,2)T 不難驗證?1,?2,?3是正交向量組，把?1,?2,?3單位化得到： ?1?(2/3,2/3,1/3)T,?2?(2/3,?1/3,?2/3)T,?3?(

14、1/3,?2/3,2/3)T，則： ?2/3?Q?(?1,?2,?3)?2/3?1/3?1?Q?1AQ?QTAQ?0?0?2/31/3?1/3?2/3?2/32/3? 00?20?05?5.求下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示。 ?1?(1,1,3,1)T,?2?(?1,1,?1,3)T,?3?(5,?2,8,?9)T,?4?(?1,3,1,7)T TTTT解：對矩陣A?(?1,?2,?3,?4)實施行的初等變換 ?1?15?11?2?3?18?13?9?1?1?15?1?3?02?74?02?741?7?04?148?1?0?0?0?3271?200000?1

15、?2? ?0?0?則r(A)=2,極大無關(guān)組為：?1,?2 ?3?1?2,?4?1?2?2 ?x1?x2?x3?a?討論當(dāng)a為何值時，下列方程組有解，并求解?ax1?x2?x3?1 ?x?x?ax?123?1?x1?1?解：當(dāng)a?1時方程有唯一的解， ?x2?a?2 ?x?1?33722四、討論題 ?x1?1?c1?c2?當(dāng)a?1時方程有無窮多個解，?x2?c1 ?x?c2?3五、證明題 1設(shè)n階方陣A滿足A2?2A?4I?O（I為n階單位矩陣），證明：A?I可逆，并求它的逆矩陣 證明：由A2?2A?4I?O得：A2?2A?3I?I?(A?3I)(A?I)?I 由定義可得：A?I可逆，其逆矩陣為：(A?I)?1?(A?3I) 2設(shè)?1,?2,?3線性無關(guān)，?1?,?2?,?3?線性相關(guān)，證明?可由?1,?2,?3線性表示。 證明：由于?1?,?2?,?3?線性相關(guān)，則存在不全為0的三