線性代數(shù)論文衛(wèi)來應數(shù)二班120902203

1、行列式計算方法論文 行列式的歷史背景 行列式出現(xiàn)于線性方程組的求經(jīng)計算,它最早是一種速記的表達式,現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學中一種非常有用的工具. 行列式是因為萊布尼茨和日本數(shù)學家關孝和發(fā)明的. 1693 年 4 月,萊布尼茨在寫給洛比達的一封信中使用并給出了行列式,并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件. 同時代的日本數(shù)學家關孝和1683年在其著作經(jīng)計算伏題元法中也提出了行列式的概念與算法. 1750 年,瑞士數(shù)學家克萊姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作線性代數(shù)分析導引中,對行列式的定義和展開法則給出了比較完整,明確的闡述,并給出了現(xiàn)在我們所稱的經(jīng)計算線性方程組的克萊姆法則稍后,數(shù)學家貝

2、祖 (E.Bezout,1730-1783) 將確定行列式每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化,利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零經(jīng)計算. 總之,在很長一段時間內(nèi),行列式只是作為經(jīng)計算線性方程組的一種工具使用,并沒有人意識到它可以獨立于線性方程組之外,單獨形成一門理論加以研究. 在行列式的發(fā)展史上,第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述,也就是把行列式理論與線性方程組求經(jīng)計算相分離的人,是法國數(shù)學家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) . 范德蒙自幼在父親的知道下學習音樂,但對數(shù)學有濃厚的興趣,后來終于成為法蘭西科學院院士.特別地,他給出了用二階子式和它

3、們的余子式來展開行列式的法則.就對行列式本身這一點來說,他是這門理 論的奠基人. 1772 年,拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則,推廣了他的展開行列式的方法繼范德蒙之后,在行列式的理論方面,又一位做出突出貢獻的就是另一位法國大數(shù)學家柯西. 1815 年,柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的,幾乎是近代的處理.其中主要結果之一是行列式的乘法定理.另外,他第一個把行列式的元素排成方陣,采用雙足標記法;引進了行列式特征方程的術語;給出了相似行列式概念;改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等. 19 世紀的半個多世紀中,對行列式理論研究始終不渝的作者之一是詹姆士.西爾維斯

4、特 (J.Sylvester,1814-1894) .他是一個活潑,敏感,興奮,熱情,甚至容易激動的人,然而因為是猶太人的緣故,他受到劍橋大學的不平等對待.西爾維斯特用火一般的熱情介紹他的學術思想,他的重要成就之一是改進了從一個 次和一個 次的多項式中消去 x 的方法,他稱之為配析法,并給出形成的行列式為零時這兩個多項式 方程有公共根充分必要條件這一結果,但沒有給出證明. 繼柯西之后,在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ,他引進了函數(shù)行列式,也就是雅可比行列式,指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用,給出了函數(shù)行列式的導數(shù)公式.雅可比的

5、著名論文論行列式的形成和性質(zhì)標志著行列式系統(tǒng)理論的建成. 因為行列式在數(shù)學分析,幾何學,線性方程組理論,二次型理論等多方面的應用,促使行列式理論自身在 19 世紀也得到了很大發(fā)展. 整個 19 世紀都有行列式的新結果.除了一般行列式的大量定理之外,還有許多有關特殊行列式的其他定理都相繼得到。計算n階行列式的若干方法舉例 1利用行列式的性質(zhì)計算例： 一個n階行列式的元素滿足 則稱Dn為反對稱行列式， 證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明：因為知，也就是故行列式Dn可表示為，因為行列式的性質(zhì)， 當n為奇數(shù)時，得Dn =Dn，因而得Dn = 0.2化為三角形行列式例2 計算n階行列式經(jīng)計算 這個行列

6、式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結構相似，因此n列之和全同將第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例3 計算n階行列式 經(jīng)計算：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得例4：浙江大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的經(jīng)計算答中需要計算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的

7、性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。經(jīng)計算：4降階法（按行（列）展開法）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是根據(jù)行列式的特點，先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例1、計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*201次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何

8、況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：經(jīng)計算：例2 計算n階行列式經(jīng)計算 將Dn按第1行展開.例3 計算n（n2）階行列式經(jīng)計算 按第一行展開，得 再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則所以到5遞（逆）推公式法遞推法是根據(jù)行列式的構造特點，建立起Dn與Dn+1的遞推關系式，逐步推下去，從而求出Dn的值。 有時也可以找到 Dn與Dn+1的遞推關系，最后利用Dn求出Dn和Dn+1的值。 注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，也就是很難找出遞推關系式，從而不能使

9、用此方法。例1 計算行列式.經(jīng)計算：將行列式按第列展開,有,得 。同理得 , 例2 計算經(jīng)計算同理聯(lián)立經(jīng)計算得當時,例3 計算n階行列式經(jīng)計算 首先建立遞推關系式按第一列展開，得：這里與有相同的結構，但階數(shù)是的行列式現(xiàn)在，利用遞推關系式計算結果對此，只需反復進行代換，得：因，故最后，用數(shù)學歸納法證明這樣得到的結果是正確的當時，顯然成立設對階的情形結果正確，往證對n階的情形也正確因為可知，對n階的行列式結果也成立根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結論成立例4 證明n階行列式證明 按第一列展開，得其中，等號右邊的第一個行列式是與有相同結構但階數(shù)為的行列式，記作；第二個行列式，若將它按第一列展開就得

10、到一個也與有相同結構但階數(shù)為的行列式，記作這樣，就有遞推關系式：因為已將原行列式的結果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關系式來證明這個結果是正確的當時，結論正確當時，結論正確設對的情形結論正確，往證時結論也正確因為 可知，對n階行列式結果也成立 根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結論成立例5、2003年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式： 分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，也就是知Dn-1與Dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。證明：Dn按第1列展開，再將展

11、開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：這是因為Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關系式。若因為上面的遞推關系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是因為n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復用低階代替高階，有：同樣有：因此當時因為（1）（2）式可經(jīng)計算得：，證畢。6利用范德蒙行列式根據(jù)行列式的特點，適當變形（利用行列式的性質(zhì)如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當?shù)臄?shù)加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。 例1 計算行列式經(jīng)計算 把第1行的1倍

12、加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2 計算階行列式其中經(jīng)計算 這個行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n也就是按降冪排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個轉置的范德蒙行列式，也就是例3 計算行列式.經(jīng)計算：例4 計算行列式 經(jīng)計算 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系數(shù)的相反數(shù),而中 的系數(shù)為 ,因此, 例5、 計算n階行列式經(jīng)計算：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與

13、第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結果得： 7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。它要求：1 保持原行列式的值不變； 2 新行列式的值容易計算。根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分別為 n-1 個元素的倍數(shù)的情況。

14、例1 計算n階行列式 經(jīng)計算： 例2 計算n（n2）階行列式，其中經(jīng)計算 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個行列式第一列加第i（，）列的倍，得：8數(shù)學歸納法當 與 是同型的行列式時，可考慮用數(shù)學歸納法求之。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例1 計算n階行列式經(jīng)計算：用數(shù)學歸納法. 當n = 2時， 假設n = k時，有 則當n =

15、k+1時，把Dk+1按第一列展開，得因為此，對任意的正整數(shù)n，有例2 計算行列式.經(jīng)計算：,于是猜想 .證明：對級數(shù)用第二數(shù)學歸納法證明.時,結論成立.假設對級數(shù)小于時，結論成立.將級行列式按第行展開，有.例3 計算行列式經(jīng)計算：猜測：證明（1）n = 1, 2, 3 時，命題成立。假設nk 1 時命題成立,考察n=k的情形：故命題對一切自然數(shù)n成立。9拆開法拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，把一個復雜的行列式簡化成兩個較為簡單的。使問題簡化以利計算。例1 計算行列式 經(jīng)計算：=例2 計算n（n2）階行列式經(jīng)計算 將按第一

16、列拆成兩個行列式的和，也就是再將上式等號右端的第一個行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的公因子，則所以到當n3時，當時，例3 計算n階行列式 ，（）經(jīng)計算 將第一行的元素都表成兩項的和，使變成兩個行列式的和，也就是將等號右端的第一個行列式按第一行展開，得： 這里是一個與有相同結構的階行列式；將第二個行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項之和： 仿上所以： （2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然后相減以消去，得：5.消去法求三對角線型行列式的值例6 求n階三對角線型行列式的值： （1）的構造是：主對角線元

17、全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其余的元全為0。經(jīng)計算 用消去法，把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)槠浯螐牡谌袦p去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變?yōu)樵購牡谒男袦p去第三行的倍，則第四行變?yōu)轭愃频刈鱿氯?，直到第n行減去第n 1行的倍，則第n行變?yōu)樽詈笏玫男辛惺綖?（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為 93）又主對角線下方的元全為0。故的值等于（3）中各數(shù)的連乘積，也就是。注3 一般的三對角線型行列式 （4）也可以按上述消去法把次對角線元全部消去，得到一個三角型行列式，它的值

18、等于該三角型行列式的主對角線元的連乘積。10. 因式分經(jīng)計算法如果行列式是某個變數(shù)的多項式，可對行列式施行某些變換，求出的互不相同的一次因式，設這些一次因式的乘積為，則，再比較與的某一項的系數(shù)，求出值.例8 計算行列式.經(jīng)計算:注意時，所以，. 同理均為的因式又與各不相同 所以 但的展開式中最高次項的系數(shù)為1，所以注：此題也可將的第行減去第一行化為三角形行列式計算.行列式： 定理1：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性 推論：奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù) 定理2：n階行列式也可定義為D（-1）tap1ap2ap3apn其中t為行排列p1 p2p

19、n的逆序數(shù) 性質(zhì)1：行列式與它的轉置行列式相等 性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號 推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零 性質(zhì)3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式 推論：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面 性質(zhì)4：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零 性質(zhì)5：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則等于兩個行列式之和 性質(zhì)6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一個數(shù)然后加到另一行（列）對應的 元素上去，行列式不變 引理：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aij外都為零，那么這行列式等于ai