15機(jī)械振動(dòng)習(xí)題解答

1、第十五章機(jī)械振動(dòng)一選擇題1. 對(duì)一個(gè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，下面哪種說法是正確的？（）A. 物體在運(yùn)動(dòng)正方向的端點(diǎn)時(shí)，速度和加速度都達(dá)到最大值；B. 物體位于平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度和加速度都為零；C. 物體位于平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度最大，加速度為零；D. 物體處負(fù)方向的端點(diǎn)時(shí)，速度最大，加速度為零。 解：根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度公式分析。答案選C。2. 下列四種運(yùn)動(dòng)（忽略阻力）中哪一種不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)？（）A. 小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)；B. 豎直懸掛的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)；C. 放在光滑斜面上彈簧振子的運(yùn)動(dòng)；D. 浮在水里的一均勻球形木塊，將它部分按入水中，然后松開，使木塊上下浮動(dòng)

2、。 解：A中小球沒有受到回復(fù)力的作用。答案選A。3. 一個(gè)輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，當(dāng)一物體系于彈簧的下端時(shí)，彈簧伸長了I而平衡。則此系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)振動(dòng)的角頻率為（）5.如圖所示，質(zhì)量為m的物體，由勁度系數(shù)為kl和k2的兩個(gè)輕彈簧連接，在光滑解 由kl=mg可得k=mg/l，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)振動(dòng)的固有角頻率為故本題答案為B。4. 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)（用余弦函數(shù)表達(dá)），若將振動(dòng)速度處于正最大值的某時(shí)刻取作 t=0，則振動(dòng)初相為（)A.nB. 0C.nD. n22解由xAcos( t )可得振動(dòng)速度為vdxA sin（ t）。速度正最大時(shí)dt有 cos(t )0 , sin( t)1，若 t=o.則n。2

3、故本題答案為A。導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為（）A.B.mkik2mkik2C.選擇題5圖D.2 n mkk21解：量分別為ki.k22 n m（kik2）設(shè)當(dāng)m離開平衡位置的位移為x,時(shí)，勁度系數(shù)為ki和k2的兩個(gè)輕彈簧的伸長Xi 和 X2,顯然有關(guān)系此時(shí)兩個(gè)彈簧之間、Xi X2 X第二個(gè)彈簧與和物體之間的作用力相等。因此有kixik2 x2d2x mrdt2k1x1由前面二式解出xik2xkik2，將X1代入第三式，得到d2x將此式與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程比較，并令選擇題6圖A. vC. vrki k21 ki k22 n , mki .k2B. vD. v1 kik22 n m1 ；ki

4、 .k22 n m(kik2)kik2xkik22ki.k2,-，即得振動(dòng)頻率m(kik2)i ；ki.k22 n m(ki k2) 所以答案選D。6.如題圖所示，質(zhì)量為 m的物體由勁度系數(shù)為 ki和k2的兩個(gè)輕彈簧連接，在光滑 導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，則該系統(tǒng)的振動(dòng)頻率為（）解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移是X,假設(shè)X0，則第一個(gè)彈簧被拉長 X,而第二個(gè)彈簧被壓縮X,作用在質(zhì)點(diǎn)上的回復(fù)力為（kix+ k2X）。因此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程d2x mpdt21k1k22 n , m(kik2)x令 2 k1k2m所以答案選B。7.彈簧振子在光滑水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，彈性力在半個(gè)周期內(nèi)所作的功為，即vA. k

5、A2 B. (1/2 )kA2C. (1/4) kA2D. 0解：每經(jīng)過半個(gè)周期，彈簧的彈性勢(shì)能前后相等，彈性力的功為0，故答案選D。8.加為原來的A. 2E彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總能量為E,若振幅增加為原來的4倍，則它的總能量為B. 4EC. E2倍，振子的質(zhì)量增()D. 16E解：因?yàn)? 2-kA2，所以答案選B。29.已知有同方向的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)表達(dá)式分別為0.25 cmx1 5cos(10t 0.75 ncm； x2 6cos(10t則合振動(dòng)的振幅為A. 61 cmB. -11 cmC.11cmD. 61cm解 A .A2 A；2A1A2 cos( 21) 52622 5 6 c

6、os(0.25n 0.7561所以答案選A。10.程應(yīng)為：一振子的兩個(gè)分振動(dòng)方程為X1 - 4 cos 3 t , X2 - 2 cos (3 t + n )，則其合振動(dòng)方( )A.C.解：x - 4 cos (3 t + n )B.x - 4 cos (3 tn )x - 2 cos (3 t n )D.x - 2 cos 3 tx -x 1+ x 2- 4 cos 3 t +2 cos (3 t+ n)- 4 cos 3 t 2cos 3 t- 2 cos 3 t所以答案選D。A和B ;先使頻率為 800Hz797Hz音叉B和C同)D.797 HzA和音叉C同時(shí)振動(dòng)時(shí),1H z，顯然音叉C

7、的頻率11.為測(cè)定某音叉C的頻率，可選定兩個(gè)頻率已知的音叉的音叉A和音叉C同時(shí)振動(dòng)，每秒鐘聽到兩次強(qiáng)音；再使頻率為 時(shí)振動(dòng)，每秒鐘聽到一次強(qiáng)音，則音叉C的頻率應(yīng)為：(A. 800 H zB. 799 H zC. 798 H z解：拍的頻率是兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。由題意可知：音叉 拍的頻率是2 Hz，音叉B和音叉C同時(shí)振動(dòng)時(shí)，拍的頻率是 應(yīng)為798 H z。所以答案選Co 二填空題n 2 x作用下沿 x軸運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的周期1. 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在力F =為 o2. 如圖，一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子振動(dòng)曲線如圖所示，振子處在位移為零，速度為3A、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)，對(duì)應(yīng)曲線上的 點(diǎn)，振子處在位移

8、的絕對(duì)值為A、速度為零、加速度為3 2A和彈性力為kA的狀態(tài)，則對(duì)于曲線上的 點(diǎn)。解：b ; a、e o填空題2圖3. 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，相應(yīng)的以余弦函數(shù)表示的該振動(dòng)方程為x =_ m o解：0.04 cos t ) o4. 一物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為 x = 0.04 cos (5 n t / 3 n / 2 ) m。(1) 此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T =(2) 當(dāng)t = 0.6 s時(shí)，物體的速度 v =o解：(1)由 5 n / 3 =2 n / T,得到 T= 1.2s; (2) v= 0.04 5n /3si n (5 n t / 3 n / 2 ), 當(dāng) t = 0.6 s

9、時(shí)，v = 0.209 m . s -。5. 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)中心點(diǎn)為x軸的原點(diǎn)。已知周期為T,振幅為A,(1)若t =0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)過x=0處且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則振動(dòng)方程為 ; (2)若t =0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于x=A/2處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則振動(dòng)方程為 oAcos(2/2); (2)A cos(2% T |)6. 圖中用旋轉(zhuǎn)矢量法表示了一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，旋轉(zhuǎn)矢量的長度為 0.04m ,旋轉(zhuǎn)角速度3 = 4n rad/s，此簡(jiǎn)諧振動(dòng)以余弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程為x=。 、解：t=0時(shí)x=0 , v0，所以振動(dòng)的初相位是n /2。故x | o廠Jxt = 0填空題6圖n= 0.04cos(4冗 t

10、 -) 7. 質(zhì)量為m的物體和一個(gè)彈簧組成的彈簧振子，其固有振動(dòng)周期為 T,當(dāng)它作振幅為A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，此系統(tǒng)的振動(dòng)能量E = 解：因?yàn)閗 m 2 m4，所以E 1 kA2 2冗2m篤。T22T28. 將質(zhì)量為0.2 kg的物體，系于勁度系數(shù)k = 19 N/m的豎直懸掛的彈簧的下端。假定在彈簧原長處將物體由靜止釋放，然后物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則振動(dòng)頻率為 振幅為解: 1.55 Hz ;2X0 v(2=0.103m(1)在s時(shí)速度為零；(2)在s時(shí)動(dòng)能取大；(3)在s時(shí)加速度取正的取大值。:(1)0.5(2n+1),n=0,1,2,3 ；9.已知一簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示，由圖確定:解(2) n, n=

11、0,1,2,3；(3) 0.5(4n+1) , n=0,1,2,3。x(m)填空題9圖10. 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A,當(dāng)它離開平衡位置的位移為x -時(shí),2t(s)其動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep的比值Ep解勢(shì)能E p如2-kA281 2,總機(jī)械能為E -kA2，動(dòng)能Ek23 kA28EkEp11.兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式分別為2x16.0 10 2 cos(- t ) (SI) , x2T 4動(dòng)的表達(dá)式為(SI)。解 本題為個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。(1)解析法合振動(dòng)為X為X2 ,22 n nx 6.0 10 2 cos( t )T 422 n210 5 cos( t) sin( t)TT

12、4.04.010 2 costT2,2 n,10 cos( tn(si)n42 n7.2 10 cos( t T，則其合振其中11.3(2)旋轉(zhuǎn)矢量法如圖所示，用旋轉(zhuǎn)矢量 Ai和A分別表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)xi和X2,合振動(dòng)為Ai和A2的合矢量A，按矢量合成的平行四邊形法則A 10 2. 62427.2 10 2 m，tanA1 sin 1A2 sin 21A1 cos 1A2 cos 2511.3故合振動(dòng)的表達(dá)式為22 n 一 小、x 7.2 10 cos( t 11.3 )三計(jì)算題1.已知一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅A = 2 cm，圓頻率3 = 4 n s 1,以余弦函數(shù)表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)的初相位 =n /

13、 2。試畫出位移和時(shí)間的關(guān)系曲線(振動(dòng)曲線) 。解：圓頻率3 = 4 n S 1,故周期T=2 n / 3 = 2 n /4 n =0.5s，又知初相位 =n / 2,故 位移和時(shí)間的關(guān)系為 x = 0.02COS (4 n t + n / 2) m，振動(dòng)曲線如下圖所示。x(m)0.020.250.50t(s)0.022. 一質(zhì)量為0.02kg的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x = 0.60 cos(5 t n /2) m。求：(1)質(zhì)點(diǎn)的初速度;(2)質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移一半處所受的力。解：(1)dx vdtn、3.0s in (5t)2nV03.0sin() 3.0 m/s2(2)F ma m

14、 xx=A/2=0.3 m 時(shí)，F(xiàn) 0.02 520.30.15 N。3. 一立方形木塊浮于靜水中，其浸入部分高度為a。今用手指沿豎直方向?qū)⑵渎龎合?，使其浸入水中部分的高度為b，然后放手讓其運(yùn)動(dòng)。試證明：若不計(jì)水對(duì)木塊的粘滯阻力，木塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)并求出周期及振幅。 證明：選如圖坐標(biāo)系：，靜止時(shí)：mg任意位置時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程為:mg gxSgaSdx2m2dt2將(1)代入 得 gS(x a)dx2m 2dt2(1).2,2d xd y令 y x a，貝U 22dt2dt2，上式化為:gSydyj2m一dt2令2 gS得：頭 2y 0-m dt上式是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，它的通解為：y Aco

15、s（ t 0）所以木塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)周期：Tt 0 時(shí)，Xo0振幅:Ab a8cm?，F(xiàn)在這根彈簧下端懸掛4. 在一輕彈簧下懸掛 mo=ioog的物體時(shí)，彈簧伸長m=250g的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（令這時(shí)t=0）.選x軸向下，求振動(dòng)方程解：在平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，由初始條件得出特征參量。彈簧的勁度系數(shù)k 叫g(shù) / l。當(dāng)該彈簧與物體 m構(gòu)成彈簧振子，起振后將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可設(shè)其振動(dòng)方程為:x Acos t 角頻率為 . k / m代入數(shù)據(jù)后求得7 rad s 1以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，有：x0 0.04 m, v00.21

16、m s 1據(jù) A . X。2 (V0 / )2 得：A 0.05 m據(jù) cos 1 X 得0.64 rad,由于 v0 0,應(yīng)取 0.64 radA于是，所求方程為：x 0.05cos(7t 0.64) m據(jù) cos 1 x得/ 2 ,由于v0 0,應(yīng)取 / 2A于是，其振動(dòng)方程為：x20.06cos(10t/2) m1）振動(dòng)5. 已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如題圖所示，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求（表達(dá)式，（2）與P點(diǎn)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的相位，（3）與P點(diǎn)狀態(tài)相應(yīng)的時(shí)刻。解（1 ）設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為x = A cos （ t+ ）由題圖可見，A=0.1m ,當(dāng)t = 0時(shí)，有X00.1 cos 0.05m,這樣得

17、到n。由振3動(dòng)曲線可以看到，在 t = 0時(shí)刻曲線的斜率大于零，故t =0時(shí)刻的速度大于零，由振動(dòng)表達(dá)式 可得V0 =2 sin 0即sin 0。所以V m = v 0,= 0此時(shí)小球的動(dòng)能 Ek0 = m vo2 / 2。經(jīng)過1 / 3秒后，速度為 v = v0 c o s 2 n / ( 3T) = vo /2。其動(dòng)能2 2Ek = m v / 2 = m v0 / 8 所以Ek / E0 = 1/ 4，即動(dòng)能是原來的1/ 4倍。9. 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為：x = 6.0 X 10-2 cos ( n t / 3 n / 4) m。(1) 當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半

18、？(2) 質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到此位置所需最短時(shí)間為多少？解：(1)勢(shì)能Ep=kx2/ 2，總能量E =kA2/2。根據(jù)題意，kx2/ 2 =kA2 /4,得到x A/ .24.24 10 2m，此時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半。(2)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期 T = 2 n /o = 6 s，根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，易知從平衡位 置運(yùn)動(dòng)到x A/ .2的最短時(shí)間t為T / 8，所以t = 6 / 8 = 0.75 s10. 如圖所示，勁度系數(shù)為 k,質(zhì)量為m0的彈 簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度 v1射入m0中，與之一起運(yùn)動(dòng)。 選m、m0開始共同運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻為t = 0，求振動(dòng)

19、的固有角頻率、振幅和初相位。解：碰后振子的質(zhì)量為m+ m0，故角頻率k設(shè)碰撞后系統(tǒng)的速度為v0碰撞過程中動(dòng)量守恒，故得到vomvi 。系統(tǒng)的初，m0 m11始動(dòng)能為（m m）v0，在最大位移處全部轉(zhuǎn)換為彈性勢(shì)能kA2，即振幅22Amomk vo2 mmv1. k(mom). k(mom)令振動(dòng)方程為xAcos( t),則速度v 空Asin(dtt)。當(dāng) t=o 時(shí)，A cosx o, v0Asi nnvo0，可解出初相位一211. 一個(gè)勁度系數(shù)為 k的彈簧所系物體質(zhì)量為 m0，物體在光滑的水平面上作振幅為 A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，一質(zhì)量為 m的粘土從高度h處自由下落，正好在（a）物體通過平衡 位置時(shí)，

20、（b）物體在最大位移處時(shí)，落在物體m0上。分別求：（1）振動(dòng)的周期有何變化？ （ 2）振幅有何變化？解：（1 ）物體的原有周期為To 2 n m/k ,粘土附上后，振動(dòng)周期變?yōu)? n （mo m）/k，顯然周期增大。不管粘土是在何時(shí)落在物體上的，這一結(jié)論都正 確。V0變?yōu)閂,根據(jù)動(dòng)量守（2）設(shè)物體通過平衡位置時(shí)落下粘土，此時(shí)物體的速度從 恒定律，得到又設(shè)粘土附上前后物體的振幅由 有1 2 mo Vo21(mo2A22 1m)v kA2由以上三式解出 AmomomA0，m2movvo物體在最大位移處時(shí)落下粘土,12.如題圖所示，一勁度系數(shù)為 為m1的物體，放在光滑的水平面上。 的定滑輪與m1相連

21、，求其系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率。kA 丄2 2k的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結(jié)一質(zhì)量將一質(zhì)量為m2的物體跨過一質(zhì)量為 m，半徑為R2kA，此時(shí)振幅不變。解 方法一：以彈簧的固有長度的端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正建立坐標(biāo) S。對(duì)m1和m2應(yīng)用牛頓第二定律、對(duì) m應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到TikS m1ad2Sm2gT2m2ad2S-mR22解上面的方程組得(mim2-m)筲 k(S2 dt2m2g嚴(yán))令x S寧，上式簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的振動(dòng)方程d2x dt2mikxm2 m /2系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率k,m1 m2m/2方法二：在該系統(tǒng)的振動(dòng)過程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因此該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。1 & kS2

22、1 2 m1v21 212Jm?v2 2m2gS 0將-和JR丄mR2代入，2得到-kS222dS、2m2m)()dtm2gS 0將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得到2(mi m2 如栄 k(S 于)0上式和解法一的結(jié)果一樣。同樣，圓頻率為mi m2m/2(T2TJR J加速度和角加速度之間具有關(guān)系a 1 d2SR R dF13. 一物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：xi= 0.04 cos (2 n t + n /2) m ; X2 = 0.03cos (2n t + n ) m。求此物體的振動(dòng)方程。解：這是兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，合成后的振動(dòng)仍為同頻率的簡(jiǎn)諧振 動(dòng)。設(shè)合成運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程為：x = A cos(3 t + )則A 2 = A i2 +A 22 +2 A iA 2 cos( 21)式中2 i = n n / 2 = n / 2。代入上式得22A 435 cm又A1 sin 1 A2 sin 24tan =A1 cos 1 A2 cos 23