數(shù)學(xué)理第一輪第14章第75講隨機(jī)變量及其概率分布、超幾

1、 1.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五 個(gè)號(hào)碼現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出 兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則所 有可能取值的個(gè)數(shù)是_. 解析：號(hào)碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9 種 9 48 63 2 1,2,36(2) . 2. c Pk k kcP 設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布列為， ， ，其中 為常數(shù)，則的值 為 1 64 ()1. 63 1148 (2)12() 2463 cc PPPc 因?yàn)?取每一值的概率之和為 ， 所以有，解得 所以 解析： 3.若一名射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布表如下： 則此射手“射擊一次所得環(huán)數(shù)X7”的概率為_.

2、0.88 4.已知隨機(jī)變量X的分布列為： 則P(|X-3|=1)=_. 5 12 1111 1. 3464 3124 115 . 4612 mm P XP XP X 由得， 所以 解析： 40 243 2 1 52 3 3 ( 5. ) 一次測量中出現(xiàn)正誤差和負(fù)誤差的概率分別 是，在 次測量中恰好 次出現(xiàn)正誤差的概 率是用分?jǐn)?shù)作答 232 5 1240 2C ( ) ( ) 33243 P X 解析： 古典概型的隨機(jī)變量古典概型的隨機(jī)變量 的概率分布的概率分布 . . 1 . 12 11 21 5 袋子中有 個(gè)白球和 個(gè)紅球 每次取 個(gè)球，不放回，直到取到白球?yàn)橹?求取球次數(shù) 的概率分布； 每

3、次取 個(gè)球，放回，直到取到白球?yàn)橹梗?但抽取次數(shù)不超過 次求取球次數(shù) 的 【例】 概率分布； (3)每次取1個(gè)球，放回，共取5次.求取到白球次 數(shù)的概率分布. 【解析】(1)=1,2,3. P(=1)=; P(=2)=; P(=3)=. 所以的概率分布表是 1 3 11 3A 1 2 2 3 11 3 A A 2 2 3 3 11 3 A A (2)射球次數(shù)的概率分布表是 123 P 1 3 1 3 1 3 12345 P 1 3 3 21 ( ) 33 2 21 ( ) 33 21 33 4 2 ( ) 3 (3)因?yàn)锽 (5,), 所以P(=k)=,其中k=0,1,2, 3,4,5. 1

4、3 5 5 12 ( )( ) 33 kkk C 求隨機(jī)變量的分布列，一要注意弄清什 么是隨機(jī)變量，建立它與隨機(jī)事件的關(guān)系； 二要把隨機(jī)變量的所有值找出，不要遺漏； 三是準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率.對于 抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別. * (N )3 .( 7 2) 30 1 2 1 口袋中有個(gè)白球， 個(gè)紅球 依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么 繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白 球，就停止取球記取球的次數(shù)為若 ，求： 【變式 的值； 的概率分布表 練習(xí)】n n XP X n X 11 31 2 3 2 * 1 37 P(X 2) 3230 7 -5542=0(7 -

5、6)( -7)0. N7. 由題意知， ， 化簡得，即 因 【解析】 為，所以 n AAn Ann nnnn nn 2X1, 2, 3, 4 1 A 77 7 P(X = 1) =P(X = 2) = 1 1030 A 10 21 AA 77 37 P(X = 3) =P(X = 4)1 - 3 12010 A 10 771 -. 30120120 X 【 解由 題 意 知 ，的 可 能 取 值 為， 所 以， ， 所 以 ，的 概 析 】 率 分 布 表 為 X1234 P 7 30 7 10 7 120 1 120 超幾何分布超幾何分布 . . 2 . X X 8 53 83 1 2 某校

6、組織一次冬令營活動(dòng)，有 名同學(xué)參加， 其中有 名男同學(xué)，名女同學(xué)因?yàn)榛顒?dòng)的需要，要 從這 名同學(xué)中隨機(jī)抽取 名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊 任務(wù)，記其中有 名男同學(xué) 求 的概率分布表； 求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男 【】 有女的概率 例 【解析】(1)XH(3,5,8)，X可取0，1， 2，3.P(X=0)=,P(X=1)=， P(X=2)=,P(X=3)=. 所以X的概率分布表為 3 3 3 8 1 56 C C 12 53 3 8 15 56 C C C 21 53 3 8 15 28 CC C 3 5 3 5 5 28 C C X0123 P 1 56 15 56 15 28 5 28 (2)去執(zhí)行任

7、務(wù)的同學(xué)中有男有女的概 率為P(X=1)+P(X=2)= . 151545 562856 超幾何分布中的概率問題屬于古典 概型的范疇，這類問題在古典概型中 占較大的比例，因而歸納為一種常用 的概率分布.用好超幾何分布的概率公 式有助于提高正確率，縮減思維量. 【變式練習(xí)2】老師要從10篇課文中隨機(jī)抽 取3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2 篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇， 試求： (1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率 分布表； (2)他能及格的概率. 【解析】(1)設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X， 則隨機(jī)變量X可取的值為0，1，2，3，且X服從 超幾何分布. 根據(jù)公式P(X=m)=算出其

8、相應(yīng) 的概率，得X的概率分布表為 mn m MN M n N C C C X0123 P 1 2 1 6 3 10 1 30 (2)他能及格的概率為 P(X2)=P(X=2)+P(X=3)= . 112 263 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 【例3】某工人生產(chǎn)的產(chǎn)品的正品率是0.9，從該 工人生產(chǎn)的產(chǎn)品中任抽3件檢驗(yàn)，記其中的正品的 件數(shù)為X. (1)求X的概率分布； (2)若X=3，2，1，0時(shí)，該工人將分別獲得 200，100，100，0元的獎(jiǎng)勵(lì)，求該工人所得獎(jiǎng)勵(lì) Y(元)的概率分布. 【解析】(1)XB(3,0.9), P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)= . 03

9、3 0.10.001C 12 3 0.9 0.10.027C 22 3 0.9 0.1 0.243C 33 3 0.90.720C 故X的概率分布表為 X0123 P0.0010.0270.2430.720 (2)Y可以取0，100，200. P(Y=0)=P(X=0)=0.001, P(Y=100)=P(X=1)+P(X=2)=0.27, P(Y=200)=P(X=3)=0.729. 故Y的概率分布表為： Y0100200 P0.0010.270.729 同樣是建立在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)上，X 服從二項(xiàng)分布，而Y不服從二項(xiàng)分布， 只有在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中反映事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的隨機(jī)變量才

10、服 從二項(xiàng)分布，注意區(qū)分. 1 2 12 12 15 . 1 2(0 1 ) 3 2 P P PP p pPP 將一枚硬幣連續(xù)拋擲次，每次拋擲 互不影響記正面向上的次數(shù)為奇數(shù)的概率為 ， 正面向上的次數(shù)為偶數(shù)的概率為 若該硬幣均勻，試求 與 ； 若該硬幣有 【變式練習(xí) 暇疵，且每次正面向上的概率為 ，試比較 與 】 的大小 1151515 11433121515 151515 21 1 1 2 1315 1 11111 ( )( ) ( )( ) 2 22222 1 1 2 P PPPP CCC PP 拋擲硬幣一次正面向上的概率為， 所以正面向上的次數(shù)為奇數(shù)的概率為 【解析】 =， 故=； 1

11、143312 11515 1515 15 001522131414 2151515 00151422 21151515 1314141515 1515 15 2=C p(1- ) +C p (1) C C p (1- ) +C p (1- )C (1- ) =C(1- ) -C p (1- ) +C(1 )C(1- )C (1)( Pp- p p Pppp p PPpppp pppp pp g g 因?yàn)?， ， 則 - = 【解析】 15 21 1 1 2 ) .0 2 1-20. pp pPP 而， 所以，所以 8 81 (4.) 3() 1XXB P X 已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ， ，

12、 則 用數(shù)字作答 33 4 1 18 3C (1)( ). 3 381 P X 解析： 5 6 7 81612 (614). 2. P 隨機(jī)變量 只能取 ， ， ， 這個(gè)值，且取每 一個(gè)值的概率均相等，則 1 (5 616) 12 82 (614)= 123 Pkk P 因?yàn)椋?， ， 故 【解析】 2 3 3.已知隨機(jī)變量的概率分布表如下： 12345678910 pm 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 3 8 2 3 9 2 3 則P(=10)=. 【解析】由, 得m=. 239 2222 1 3333 m 9 1 3 12 4 50 4 12 1

13、6 2 . 8 0 某學(xué)科的試卷中共有道單項(xiàng)選擇題，每個(gè)選 擇題有 個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的， 答對得 分，不答或答錯(cuò)得 分某考生每道題都 給出了答案，已確定有 道題答案是正確的，而 其余的題中，有兩道題每題都可判斷其兩個(gè)選項(xiàng) 是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的， 還有一道題因不理解題意只能亂猜對于這道 選擇題，試求： 該考生所得分為分的概率； 該考生所得分?jǐn)?shù) 的分布列 160 111 60P= 223 11 . 448 要得分，其余四道題必須全 做對，所以得分的 解析】 概率為 【 1 2 240, 45,50,55,60408 4 11231 P(40) 22348 45

14、11231123 P(45)C 22342234 112117 223448 依題意，該考生得分 的取值是 ，得分為表示只做對了 道題， 其余 題都做錯(cuò)， 故概率為 ； 同樣可求得得分為分的概率為 ； 17 50P(50) 48 7 55P(55) 48 1 60P(60). 48 得分是分的概率為； 得分是分的概率為； 得分是分的概率為 于是 的分布列為 4045505560 P 6 48 7 48 17 48 17 48 1 48 5.袋子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球. (1)每次取1個(gè)球，不放回，直到取到 白球?yàn)橹?求取球次數(shù)的概率分布表; (2)每次取1個(gè)球，放回，直到取到白 球?yàn)橹?，但抽取次?shù)不超過5次.求取球次 數(shù)的概率分布表; (3)每次取1個(gè)球，放回，共取5次.求 取到白球次數(shù)的概率分布表. 【解析】(1)=1,2,3.P(=1)=