新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第11章第63講空間位置關(guān)系向量解法

1、新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 4 (1,22)1 ( 24 . ). ab kk 設(shè)平面 的一個(gè)法向量是，平面 的一 個(gè)法向量是， ， ，若，則 ( 24)(1,22) 224. k kk 因?yàn)椋?所以， ， 所以，所以 解析： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 12 2 () 33 3 ， 2,2,14,5,3 . 2.ABAC ABC 已知向量，則 平面的單位法向量為 () 220 4

2、530 2 .1(12,2) 12 2 () 33 3 xyz xyz xyz yxx 設(shè)法向量為， ， ， 則， 得令，得， 所以單位法向量為， 解析：n n 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 10 3 12 (21,3)( 4,2). 3.ll xx 已知兩互相垂直的直線 ， 的方向向量分別為 ， ，則實(shí)數(shù)ab 00,241230 10 3 x x 兩條直線垂直，即是它們的方向向量垂直， 數(shù)量積等于 ，即 析 ， 解之得 解： a b 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 0 xyz 0,0,01,1,1. . 4 () aO

3、 M xyza xyz 已知平面 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是平 面 的法向量， ， 是平面 內(nèi)的任意一 點(diǎn)，則 ， ， 滿足的關(guān)系是 e a () 1,1,1 0. OM exyz xyz 依題意得， ，解析： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 平行 11111 1 11 5 22 . .ABCDABC DEAB FACAEEBCFAF EFABCD 如圖，正方體中， 是上 的點(diǎn)， 是上的點(diǎn)，且， 則與平面的位置關(guān)系是 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 11 11 11 1 3 . ABa ADb AAc EF DBEFDB EFABC

4、D EFABCD 取，為基底， 易得 而，即， 且平面， 所以平面 解析： abc abc 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 用向量方法證明平用向量方法證明平 行與垂直問(wèn)題行與垂直問(wèn)題 111 1 1 11 3 454 1 2 1 . ABCABCAC BCABAADAB ACBC ACCDB 在直三棱柱中， ，點(diǎn) 是的中點(diǎn) 求證：； 平面 【例 】 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 1 345 90 . ABCACBCAB ACB CACBCC CCACB CCxyz 在中， 故由勾股定理知， 所以、兩兩垂直 如圖，以點(diǎn)

5、 為 證明： 坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、 分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 1 1 1 1 11 1 0,0,03,0,00,0,4 0,4,00,4,4( 2,0) 13,0,0(04,4) 0. 20,2,2 3 (0,2)3,0,4 2 CAC BBD ACBC AC BCACBC CBC BEE DEAC 則、 、， 因?yàn)椋?所以，所以 設(shè)與的交點(diǎn)為 ，則 因?yàn)椋?新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 11 111 11 1 . 2 . DEACDEAC DECDBACCDB ACCDB

6、 所以，所以 又因?yàn)槠矫?，平面?所以平面 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以解決線線垂 直、線面平行與垂直問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建立坐 標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)和需要向量的坐標(biāo).本題主 要考查線線垂直、線面平行的有關(guān)知識(shí)及思維 能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量解決幾何 問(wèn)題的能力. 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 如圖，四邊形 ABCD為矩形，PA平 面ABCD，PA=AD，M、 N分別為PC、AB的中 點(diǎn). 用向量的運(yùn)算方法 證明: (1)MN平面PAD； (2)MN平面PCD. 1【變式練習(xí) 】 新課標(biāo)高

7、中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 ,0,0(,0)(0,0)(0,0) ABaPAADb B aC abDbPb PDHAH 建立如圖所示坐標(biāo)系， 設(shè)， 則， 取的中點(diǎn) ， 明 連接 證： ， 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 22 (0,0)()(0) 22 2 22 2 (0)(0) 2 22 2 1 . 2(0),0,0 00 22 aa b bb b NMH b bb b NMAH NMAHMNPAD AHPADMNPAD bba bb NM PDNM DC NMPD 則， ， ， 所以， ， 因?yàn)?，且平面?平面，所以平面

8、因?yàn)椋?， 所以， 所以. . NMDC PDDCDMNPDC ， 又因?yàn)?，所以平?新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 用向量方法解探索用向量方法解探索 性問(wèn)題性問(wèn)題 1111 1 11 12ABCDABC D EFABBCBB MD MEFB M 在棱長(zhǎng)為 的正方體中， 、 分別為棱和的中點(diǎn)，試問(wèn)在棱 上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存 在，指出點(diǎn)的位置；若不存在， 【例 】 說(shuō)明理由 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 1 . 1 11 0,0,1(10)(1,0) 22 1,1,1 D Dxyz DEF B 以為 原 點(diǎn) ，

9、 建 立 如 圖 所 示 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 因 為 正 方 體 的 棱 長(zhǎng) 為 ， 所 以， ， ， 解 析 ： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 11 1 11 1111 (1,1)(01) 1 (1,11)(01) 2 1 (0,1) 2 “” MBB M D MEB FB D MEFB D MFBD MEB 因?yàn)辄c(diǎn)在棱上， 所以可設(shè)， 所以， ， 因?yàn)槠矫娴某湟獥l件為 且， 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 11 11 11 1 1 (1,11) (01) 2 1 10 2 1 (1,11) (0,1)

10、 2 1 10 2 11 0,1 22 D M EB D M FB MD MEFB MBB 所以， ， 且， ， 解得，且 因此，存在點(diǎn)，使得平面， 且是的中點(diǎn) 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 從本例可以看出，在解決一些立體幾何探 索性問(wèn)題時(shí)，利用空間向量，能夠避免繁瑣的 “找”“作”“證”，只需通過(guò)定量計(jì)算，就 可解決問(wèn)題，降低了思維難度，易于把握，體 現(xiàn)了空間向量解題的優(yōu)越性. 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 正方體ABCD-A1B1C1D1中， 在對(duì)角線A1C上是否存在這樣的一點(diǎn)E， 使BEA1D？若存在，指出點(diǎn)E的

11、位置； 若不存在，說(shuō)明理由. 1【變式練習(xí) 】 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 1 ,0,0(0,0)(0,0) (,0) AABAD AAxyz B aDaAa C aa 以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、 所在直線為 軸、 軸、 軸建立坐標(biāo)系 設(shè)， ， ， 解析： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 11 1 1 11 2 1 () () (0,0)() () (0) 0 1 ()0. 2 AEACaaa aa la AaE aaaa BEaaaaa ADaa BEADBE AD aa aa EEAC 由題意，可設(shè)， ， ，

12、又， ，得， 從而， ， ， 若，則， 所以，解得 故存在點(diǎn) ，且點(diǎn) 是的 1 .BEAD中點(diǎn)，使 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 用向量方法解探索與用向量方法解探索與 平行有關(guān)的問(wèn)題平行有關(guān)的問(wèn)題 602 21. PABCDPAABCDABCD ABCPAACaPBPDa EPDPE EDPCF BFAEC 空間圖形中，平面， 是菱形，點(diǎn) 在上，且在上是否存在一點(diǎn) ，使 平面？并證明你 【例3】 的結(jié)論 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 31 0,0,0(,0) 22 3121 (,0)(0,0)(0,0)(0) 2233

13、 AADAP yzAPADx ABaa CaaDaPaEaa 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為 軸、 軸，過(guò) 點(diǎn)垂直于平面的直線為 軸，建 立空間直角坐標(biāo)系如圖所示由題設(shè)條件可得，相 關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ， ， ， 解析： ， 2131 (0)(,0) 3322 3131 (0,0)(),() 2222 AEaa ACaa APa PCaaa BPaaa FPC 所以， ， ， ， ， ， 設(shè)點(diǎn) 是棱上的點(diǎn)， 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 12 1 1 31 ()01 22 3131 ()() 2222 31 (1)(1)(1) 22 33 (1) 22

14、 11 (1) 22 PFPCaaa BFBPPFaaaaaa aaa BFACAE aa aa ，其中， 則， ， ， 令， 得，即 1 212 22 1 24 1 33 11 (1)1 33 a aa ，即， 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 13 113 222 113 . . 222 . . BFACAE FPCBF AC AE BFAECFPCBF AEC 解得， 即， 亦即 是的中點(diǎn)時(shí)， ， ， 共面 又平面，所以當(dāng) 是棱的中點(diǎn)時(shí)， 平面 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存 在”的形式

15、出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要 找出來(lái)；可能不存在，則需要說(shuō)明理 由解答這一類問(wèn)題時(shí)，先假設(shè)結(jié)論存在， 若推證無(wú)矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛 盾，則結(jié)論不存在利用共面向量定理建 立方程是本題得以解決的關(guān)鍵這種“以 求代證”的方法值得仔細(xì)品味 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1111 111111 1 0 3ABCDABC D EFABC DDDC C EFAD 如圖，已知正方體 中，點(diǎn) ， 分別是底面和側(cè)面的 【變 中 心，若，求實(shí)數(shù) 式練習(xí) 】 的值 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 1 1 21,1,2 0,1,12,0

16、,2 ( 1,01)( 2,02) 0120 1 . 2 E FAEF AD EFAD 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 ，則點(diǎn)， ，所以向量 ， 由，得， 解得 解析： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 0,1,0 ( 1,01) 2,1 1. ,1( ,0) ABC PxyPAABC P 已知點(diǎn) ， ， 的坐標(biāo)分別為， ，點(diǎn) 的坐標(biāo)是， 若平面， 則點(diǎn) 的坐標(biāo)是_. 1,0,2 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 (,1)( 11 1)2,0,1 , 1020 121,0,2 PAxyAB AC PAABCP

17、AABPAAC PAABxyPAACxy xyP 依題意得， ， ， ， 若平面，則且 ， 即，且 ， 所以，故 點(diǎn)的坐標(biāo)是 解析： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 (12,11)4,2,3(61,4)2. . ABC ABC 已知點(diǎn)， 則的形狀是_ (5,17)(23,1)ACBC ACBC ABC 求得， 所以， 所以的形狀是直角 解析： 三角形 直角三角形 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 111 11 1 90 3013 3. . ABCABCACB BACBCA AMCC ABAM 在直三棱柱中， ，是 的中點(diǎn)求證： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)第 11章第63講空間位置關(guān)系向量解法 1 1 11 6 ( 3 06)0,1,0( 0,0)(0,0) 2 (3 06)(316) 0. ABAM AMAB AM ABABAM 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， ， 所以， ， ， 所以，所 證 以 明： 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)