線性代數(shù)課件

1、 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量） 所組成的集合叫做向量組所組成的集合叫做向量組 例如例如 維維列列向向量量個個有有矩矩陣陣mnaijA nm )( aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj 21 222221 111211 a1 . , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組A a1a2an a2ajana1a2ajan 維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nm ij a A nm )( , aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T 1 T

2、 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T 1 T 2 T m 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu) 成一個矩陣成一個矩陣. 矩陣構(gòu)成一個 組維列向量所組成的向量個 mn nm m , 21 矩陣矩陣構(gòu)成一個構(gòu)成一個 的向量組的向量組 維行向量所組成維行向量所組成個個 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 ),( 21m A b xaxaxa nn 2211 線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 . , , 2211 22222121 11212

3、111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng) ，組實數(shù)組實數(shù) ，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組 m m kkk A , ,: 21 21 定義定義 . , 21 個個線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù) 稱稱為為這這， m kkk，稱稱為為向向量量組組的的一一個個 向向量量 2211mm kkk 線性組合線性組合 mm b 2211 ，使使，一一組組數(shù)數(shù) 如如果果存存在在和和向向量量給給定定向向量量組組 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有有解解 即即線線性性方

4、方程程組組 bxxx mm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能 由向量組由向量組 線性表示線性表示 b A .),( ),( 21 21 的的秩秩， 的的秩秩等等于于矩矩陣陣，條條件件是是矩矩陣陣 線線性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量組組向向量量 bB A Ab m m 定理定理1 1 定義定義 . .,:,: 2121 這兩個這兩個能相互線性表示，則稱能相互線性表示，則稱量組量組 與向與向若向量組若向量組稱稱 線性表示，則線性表示，則向量組向量組組中的每個向量都能由組中的每個向量都能由若若 及及 設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組

5、B A AB BA sm 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示 向量組等價向量組等價 BA 使使在數(shù)在數(shù) 存存量量線性表示，即對每個向線性表示，即對每個向能由能由 （和和（若記若記 , ), 2 , 1( ).,), 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 2 1 21 mj j j m k k k （ ), 21s bbb（ 從而從而 msmm s s m kkk kkk kkk 21 22221 11211 21 ), （ . )(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣 ijsm k

6、K 矩矩陣陣： 為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組線線性性表表示示，矩矩陣陣 的的列列向向量量組組能能由由，則則矩矩陣陣若若 BA CBAC nssmnm snss n n sn kkb bbb bbb ccc 21 22221 11211 2121 ),), （ T s T T msmm s s T m T T aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 2 1 ：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣 的的行行向向量量組組線線性性表表示示的的行行向向量量組組能能由由同同時時，ABC, . . 的的行行向向量量組組等等價價的的行行向向量量組組與與于于是是

7、 的的行行向向量量組組線線性性表表示示，的的行行向向量量組組能能由由可可知知， 由由初初等等變變換換可可逆逆性性的的行行向向量量組組線線性性表表示示組組能能由由 的的行行向向量量，即即的的行行向向量量組組的的線線性性組組合合向向量量都都是是 的的每每個個行行，則則經(jīng)經(jīng)初初等等行行變變換換變變成成設(shè)設(shè)矩矩陣陣 BA BA A BA BBA .的列向量組等價的列向量組等價列向量組與列向量組與 的的，則，則經(jīng)初等列變換變成經(jīng)初等列變換變成類似，若矩陣類似，若矩陣 B ABA . 價的方程組一定同解價的方程組一定同解 這兩個方程組等價，等這兩個方程組等價，等能相互線性表示，就稱能相互線性表示，就稱 與

8、方程組與方程組的解；若方程組的解；若方程組的解一定是方程組的解一定是方程組 線性表示，這時方程組線性表示，這時方程組能由方程組能由方程組稱方程組稱方程組 的線性組合，就的線性組合，就的每個方程都是方程組的每個方程都是方程組程組程組 的一個線性組合；若方的一個線性組合；若方一個方程就稱為方程組一個方程就稱為方程組 所得到的所得到的的各個方程做線性運算的各個方程做線性運算對方程組對方程組 B ABA AB AB A A 0 , ,: 2211 21 21 mm m m kkk kkk A 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù) 如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組 注意注意 .0 ,0 , 1. 2211

9、1 21 成成立立 才才有有時時 則則只只有有當(dāng)當(dāng)線線性性無無關(guān)關(guān)若若 nn n n . , 2. 線線性性相相關(guān)關(guān) 性性無無關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對對于于任任一一向向量量組組 定義定義 則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān) A ., 0, 0, 3. 線線性性無無關(guān)關(guān)則則說說若若線線性性相相關(guān)關(guān) 則則說說若若時時向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量 . ,. 5 量對應(yīng)成比例充要條件是兩向量的分 它線性相關(guān)的量組對于含有兩個向量的向 定理向量組定理向量組 （當(dāng)（當(dāng)

10、 時）線性相關(guān)時）線性相關(guān) 的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向 量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示 m , 21 2 m m , 21 1 m 證明證明 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ） 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示. m aaa, 21 m a 即有即有 112211 mmm a 故故 01 112211 mmm a 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1, 121 m m 故故 線性相關(guān)線性相關(guān). m , 21 必要性必要性 設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)， m , 21 則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,

11、 21m kkk . 0 2211 mm kkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0， m kkk, 21 不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有, 0 1 k . 1 3 1 3 2 1 2 1m m k k k k k k 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示. 1 證畢證畢. . 性性獨獨立立） 線線個個方方程程）線線性性無無關(guān)關(guān)（或或程程，就就稱稱該該方方程程組組（各各 方方；當(dāng)當(dāng)方方程程組組中中沒沒有有多多余余個個方方程程）是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的 各各余余的的，這這時時稱稱方方程程組組（合合時時，這這個個方方程程就就是是多多 是是其其余余方方程程的的線線性性組組若若方方程程組組中中有

12、有某某個個方方程程 線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用 ).,( . 0 A, 0 21 2211 m mm A xxxx A 其其中中有有非非零零解解 即即 方方程程組組線線性性相相關(guān)關(guān)就就是是齊齊次次線線性性向向量量組組結(jié)論結(jié)論 .)( ; ),( , 21 21 mAR m A m m 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個個數(shù)數(shù) 的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的 線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組 定理定理4 4 下面舉例說明定理的應(yīng)用下面舉例說明定理的應(yīng)用. 證明證明（略）（略） 維維向向

13、量量組組n T n TT eee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1 21 ， .,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組稱稱為為n 解解 . ),( 21 階單位矩陣階單位矩陣是是 的矩陣的矩陣維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成 n eeeE n n .)(01 nERE ，知知由由 . 2)( 向向量量組組是是線線性性無無關(guān)關(guān)的的 知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量組組中中向向量量個個數(shù)數(shù)即即ER 例例 ， 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 . 21321 的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性，及及，試試討討論論向向量量組組 解解

14、 .2 , 21 321 321 即即可可得得出出結(jié)結(jié)論論）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（ ），可可同同時時看看出出矩矩陣陣（成成行行階階梯梯形形矩矩陣陣 ），施施行行初初等等行行變變換換變變，對對矩矩陣陣（ 已已知知例例 分析分析 751 421 201 ),( 321 23 2 5 rr ， 000 220 201 ., 2),( ,2),( 2121 321321 線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組 線線性性相相關(guān)關(guān)；，向向量量組組可可見見 R R 751 220 201 12 rr 13 12 rr rr 550 220 201 . , , , 321133322 211321 線線性性

15、無無關(guān)關(guān)試試證證 線線性性無無關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組 bbbbb b 例例3 3 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使設(shè)有設(shè)有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即 線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因 321 . 0 , 0 , 0 32 21 31 xx xx xx 證證 02 110 011 101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行 ., 0 321 321 線線性性無無關(guān)關(guān) 向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解 bbb xxx . , ,. ,: , (1)

16、11 21 也也線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組則則線線性性無無關(guān)關(guān)量量組組 若若向向反反言言之之也也線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量組組 則則線線性性相相關(guān)關(guān)：向向量量組組若若 AB B A mm m 定理定理5 5 .2 , 11)()()(2 ,. 1)()( ),(),( 1 111 線線性性相相關(guān)關(guān)知知向向量量組組根根據(jù)據(jù)定定理理 因因此此，從從而而，有有 則則根根據(jù)據(jù)定定理理線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組 ，有有記記）（ B mARBRmAR AARBR aaaBaaA mmm 證明證明 . . . :1 關(guān)關(guān)的任何部分組都線性無的任何部分組都線性無向量組線性無關(guān)，則它向量組線性無關(guān)，則它

17、反之，若一個反之，若一個線性相關(guān)線性相關(guān)含有零向量的向量組必含有零向量的向量組必 特別地，特別地，量組線性相關(guān)量組線性相關(guān)相關(guān)的部分組，則該向相關(guān)的部分組，則該向 一個向量組若有線性一個向量組若有線性）可推廣為）可推廣為結(jié)論（結(jié)論（ 說明說明 . 2 時一定線性相關(guān)于向量個數(shù) 小當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，個）（ m nnm ., ,: ,: (3) 1 21 且表示式是唯一的線性表示 必能由向量組向量則線性相關(guān)組 而向量線性無關(guān)設(shè)向量組 A bbB A m m ., ,)(,.)(),( ,2 21 21 21 線性相關(guān)個向量故 則若，有 構(gòu)成矩陣維向量個）（ m m mnm m mARmnnAR Anm .)(1 )(. 1)( ;)().()( ),(),() 3( 2121 mBRm BRmmBRB mARABRAR bBA mm ，即有 所以組線性相關(guān)，有因 組線性無關(guān)，有因有 記 . ),( ,)()( 21 一一線線性性表表示示，且且表表示示式式唯唯組組 能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量 知知方方程程組組由由 A bbx mBRAR m . 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方 程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；程組的向量表示；線性組