從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素按照一定的順序排成一列

1、 從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的 順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素的一個(gè)排列. 2.2.組合的定義組合的定義: :從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組, 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè) 組合. 3.3.排列數(shù)公式排列數(shù)公式: : 4.4.組合數(shù)公式組合數(shù)公式: : 1.1.排列的定義排列的定義: : )!( ! )1()2)(1( mn n mnnnnA m n 排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系: :與順序有關(guān)的與順序有關(guān)的 為排列問(wèn)題為排列問(wèn)題, ,與順序無(wú)關(guān)的為組合問(wèn)題與順序無(wú)關(guān)的為組合問(wèn)題. . )!( ! ! ! )1()2)(1(

2、mnm n m mnnnn A A C m m m n m n 例例1.由由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù)五位奇數(shù). 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安應(yīng)該優(yōu)先安 排排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置 先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_ 最后排其它位置共有最后排其它位置共有_ 1 3 C 1 3 C 1 4 C 1 4 C 3 4 A3 4 A 由分步計(jì)數(shù)原理得由分步計(jì)數(shù)原理得=288 1 3 C 1 4 C 3 4 A 7 7種不同的花種在排成一列的

3、花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里, ,若兩若兩 種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆 里里，問(wèn)有多少不同的種法？問(wèn)有多少不同的種法？ 25 45 1440 A A 練習(xí)題練習(xí)題 例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, , 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. . 甲甲乙乙丙丙丁丁 由分步計(jì)數(shù)原理可得共有由分步計(jì)數(shù)原理可得共有 種不同的排法種不同的排法 5 5 A 2 2 A 2 2 A=480 解：解： 練習(xí)題練習(xí)題 5個(gè)男生個(gè)男生3個(gè)女生排成一排個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生個(gè)女生 要排在一起要

4、排在一起,有多少種不同的排法有多少種不同的排法? 3 3 6 6 AA共有 =4320種不同的排法. 5 5 A第二步將第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排 好的好的6 6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有 種種 不同的方法不同的方法 4 6 A 由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的 不同順序共有 種 5 5 A 4 6 A 相相相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú) 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)個(gè)節(jié)目已排成節(jié) 目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目. .如果如果 將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩 個(gè)新節(jié)

5、目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù) 為（為（ ） 30 練習(xí)題練習(xí)題 四四. .定序問(wèn)題倍縮空位插入策略定序問(wèn)題倍縮空位插入策略 例例4.74.7人排隊(duì)人排隊(duì), ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 少種不同的排法少種不同的排法 解: （ （空位法空位法）設(shè)想有）設(shè)想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)種方法，其余的三個(gè) 位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 種坐法，則共有種坐法，則共有 種種 方法方法 4 7 A 1 4 7 A 思考思考: :可以先讓甲乙丙就坐嗎可以先讓甲乙丙就坐嗎?

6、? （插入法插入法) )先排甲乙丙三個(gè)人先排甲乙丙三個(gè)人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7 練習(xí)題 期中安排考試科目9門(mén),語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前 考,有多少種不同的安排順序? 9 9 2 1 A ( (倍縮法倍縮法) )對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列 問(wèn)題問(wèn)題, ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起 進(jìn)行排列進(jìn)行排列, ,然后用總排列數(shù)除以然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元這幾個(gè)元 素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不

7、同排法種數(shù) 是：是： 7 7 3 3 A A 定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 入模型處理入模型處理 五五. .重排問(wèn)題求冪策略重排問(wèn)題求冪策略 例例5.5.把把6 6名實(shí)習(xí)生分配到名實(shí)習(xí)生分配到7 7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí), ,共有共有 多少種不同的分法多少種不同的分法 解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名實(shí)習(xí)生分配把第一名實(shí)習(xí)生分配 到車(chē)間有到車(chē)間有 種分法種分法. .7 7 把第二名實(shí)習(xí)生分把第二名實(shí)習(xí)生分 配配 到車(chē)間也有到車(chē)間也有7 7種分法，種分法， 依此類(lèi)推依此類(lèi)推, ,由分步由分步 計(jì)計(jì) 數(shù)原理共有數(shù)原理共有 種不同

8、的排法種不同的排法 6 7 一般地一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在不同的元素沒(méi)有限制地安排在m 個(gè)位置上的排列數(shù)為個(gè)位置上的排列數(shù)為 種種 n n m m 某某8 8層大樓一樓電梯上來(lái)層大樓一樓電梯上來(lái)8 8名乘客人名乘客人, ,他們他們 到各自的一層下電梯到各自的一層下電梯, ,下電梯的方法下電梯的方法 （ ） 8 7 練習(xí)題練習(xí)題 例例6.6.有有5 5個(gè)不同的小球個(gè)不同的小球, ,裝入裝入4 4個(gè)不同的盒內(nèi)個(gè)不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝一個(gè)球每盒至少裝一個(gè)球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. . 解解: :第一步從第一步從5 5個(gè)球中選出個(gè)球中選出2 2個(gè)組成復(fù)合元共個(gè)組成

9、復(fù)合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個(gè)元素個(gè)元素( (包含一個(gè)復(fù)合包含一個(gè)復(fù)合 元素元素) )裝入裝入4 4個(gè)不同的盒內(nèi)有個(gè)不同的盒內(nèi)有_種方法種方法. . 2 5 C 4 4 A 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_ 2 5 C 4 4 A 練習(xí)題練習(xí)題 一個(gè)班有一個(gè)班有6 6名戰(zhàn)士名戰(zhàn)士, ,其中正副班長(zhǎng)各其中正副班長(zhǎng)各1 1人人 現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選4 4人完成四種不同的任務(wù)人完成四種不同的任務(wù), ,每人每人 完成一種任務(wù)完成一種任務(wù), ,且正副班長(zhǎng)有且只有且正副班長(zhǎng)有且只有1 1人人 參加參加, ,則不同的選法有則不同的選法有_ _ 種種 192192

10、 七.元素相同問(wèn)題隔板策略 例例7.有有1010個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7 7個(gè)班，每個(gè)班，每 班至少一個(gè)班至少一個(gè), ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成 一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。 在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板， 可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè) 班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法 共有共有_種分法。種分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 6 9 C 1 1 m nC 練習(xí)題

11、練習(xí)題 10 10個(gè)相同的球裝個(gè)相同的球裝5 5個(gè)盒中個(gè)盒中, ,每盒至少一每盒至少一 個(gè)，有多少裝法？個(gè)，有多少裝法？ 4 9C 八八. .平均分組問(wèn)題除法策略平均分組問(wèn)題除法策略 例8. 6本不同的書(shū)平均分成本不同的書(shū)平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？ 解解: 分三步取書(shū)得分三步取書(shū)得 種方法種方法,但這里出現(xiàn)但這里出現(xiàn) 重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記不妨記6本書(shū)為本書(shū)為ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 該分法記為該分法記為(AB,CD,EF),則則 中還有中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),

12、(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 種取法種取法 ,而而 這些分法僅是這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,故共故共 有有 種分法。種分法。 222 642CCC 222 642CCC 3 3A 222 642CCC 3 3A 平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一都是一 種情況種情況,所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以 (n為均為均 分的組數(shù)分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。避免重復(fù)計(jì)數(shù)。 n nA 1. 將將13個(gè)球隊(duì)分成個(gè)球隊(duì)分成3組組,一組一組5個(gè)隊(duì)個(gè)隊(duì),其它兩組其它兩組4 個(gè)隊(duì)個(gè)隊(duì), 有多少分法？有多少

13、分法？ 544 1384 2 2 C C C A 2.2.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入入4 4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每 班安排班安排2 2名，則不同的安排方案種數(shù)為名，則不同的安排方案種數(shù)為_(kāi) 222 642 2 2 90 A CC A 練習(xí)題練習(xí)題 九. 合理分類(lèi)與分步策略 例例9.9.在一次演唱會(huì)上共在一次演唱會(huì)上共1010名演員名演員, ,其中其中8 8人能人能 夠唱歌夠唱歌,5,5人會(huì)跳舞人會(huì)跳舞, ,現(xiàn)要演出一個(gè)現(xiàn)要演出一個(gè)2 2人唱人唱 歌歌2 2人伴舞的節(jié)目人伴舞的節(jié)目, ,有多少選派

14、方法有多少選派方法? ? 解： 10演員中有演員中有5人只會(huì)唱歌，人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞人只會(huì)跳舞 3人為全能演員。人為全能演員。 以只會(huì)唱歌的以只會(huì)唱歌的5 5人是否人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研 究究 只會(huì)唱只會(huì)唱 的的5 5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有_ 種種, ,只會(huì)唱的只會(huì)唱的5 5人中只有人中只有1 1人選上唱歌人人選上唱歌人 員員_種種, ,只會(huì)唱的只會(huì)唱的5 5人中只有人中只有2 2人人 選上唱歌人員有選上唱歌人員有_ _ 種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)種，由分類(lèi)計(jì)數(shù) 原理共有原理共有_種。種。 22 33CC 112 534CCC 22 5

15、5C C 22 33CC 112 534CCC 22 55C C+ + + 解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素 的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分 步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不 漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的 始終。 從從4 4名男生和名男生和3 3名女生中選出名女生中選出4 4人參加某個(gè)座人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這談會(huì)，若這4 4人中必須既有男生又有女生，則人中必須既有男生又有女生，則 不同的選法共有不同的選法共有_ _ 練習(xí)題練習(xí)題 十十. .構(gòu)造模型策略構(gòu)造模型策略 例例1 10.0.馬路上有編號(hào)為馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5

16、,6,7,8,9的的 九只路燈九只路燈, ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的現(xiàn)要關(guān)掉其中的3 3盞盞, ,但不能關(guān)但不能關(guān) 掉相鄰的掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能關(guān)掉兩端的也不能關(guān)掉兩端的2 2 盞盞, ,求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6 6盞盞 亮燈的亮燈的5 5個(gè)空隙中插入個(gè)空隙中插入3 3個(gè)不亮的燈個(gè)不亮的燈 有有_ _ 種種 3 5C 一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì) 模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀(guān)解決 練習(xí)題練習(xí)題 某排共有某排共有1010個(gè)座位，若個(gè)座位

17、，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右 兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？?jī)蛇叾加锌瘴?，那么不同的坐法有多少種？ 120 十一十一. .實(shí)際操作窮舉策略實(shí)際操作窮舉策略 例例15.15.設(shè)有編號(hào)設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)的五個(gè)球和編號(hào) 1,21,2 3,4,53,4,5的五個(gè)盒子的五個(gè)盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個(gè)球投入這五個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi)個(gè)盒子內(nèi), ,要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：從從5個(gè)球中取出個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有個(gè)

18、與盒子對(duì)號(hào)有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)， 利用實(shí)際 操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒號(hào)盒 3號(hào)球裝號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有號(hào)球有只有1種種 裝法裝法 3 3號(hào)盒號(hào)盒 4 4號(hào)盒號(hào)盒 5 5號(hào)盒號(hào)盒 34 5 2 5C 十一十一. .實(shí)際操作窮舉策略實(shí)際操作窮舉策略 例例15.15.設(shè)有編號(hào)設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)的五個(gè)球和編號(hào) 1,21,2 3,4,53,4,5的五個(gè)盒子的五個(gè)盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個(gè)球投入這五個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi)個(gè)盒子內(nèi), ,要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編