人教A版（2019）高中數(shù)學必修第一冊5.6.1勻速圓周運動的數(shù)學模型教案

1、5.6.1 勻速圓周運動的數(shù)學模型教學目標：1了解函數(shù)yAsin(x)的現(xiàn)實背景，經(jīng)歷勻速圓周運動的數(shù)學建模過程，進一步體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)2掌握參數(shù)，對函數(shù)yAsin(x)圖象的影響，理解參數(shù)，在圓周運動中的實際意義，掌握這個函數(shù)的性質，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理與直觀想象的素養(yǎng)教學重點：用函數(shù)yAsin(x)模型來刻畫一般的勻速圓周運動的建模過程；參數(shù)，對函數(shù)yAsin(x)圖象的影響教學難點：將實際問題抽象為數(shù)學問題的過程；通過實際意義理解參數(shù)，對函數(shù)yAsin(x)圖象的影響教學過程：（一）整體感知引導語：我們知道，單位圓上的點，以（1，0）為起點，以單位速度

2、按逆時針方向運動，其運動規(guī)律可用正弦函數(shù)加以刻畫對于一個一般的勻速圓周運動可以用怎樣的數(shù)學模型刻畫呢？設計意圖：承上啟下，讓學生感受到之前只是研究了一個特殊的問題，需要進一步研究一般的勻速圓周運動，從而明確目標，激發(fā)興趣（二）新知探究1模型的建立問題1：筒車是中國古代發(fā)明的一種灌溉工具，它省時、省力，環(huán)保、經(jīng)濟，現(xiàn)代農村至今還在大量使用明朝科學家徐光啟在農政全書中用圖示描繪了人們利用筒車輪的圓周運動進行灌溉的工作原理（用信息技術呈現(xiàn)筒車運動的實際情境）圖1假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都作勻速圓周運動如果將這個桶車抽象成一個圓，水筒抽象成一個質點，你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫

3、盛水筒距離水面的相對高度與時間的關系嗎？預設的師生活動：請學生敘述建模的構想追問：與盛水筒運動相關的量有哪些？它們之間有怎樣的關系？預設的師生活動：交流的過程中從圓周運動這個視角下進行整體分析：角速度、半徑、初始位置、圓心角及建系，同時幫助學生抽象出相應的數(shù)學問題預設答案：如圖2，相關的量有：設水車半徑為r，水車中心距水面的高度為h；水車轉動的角速度為；初始位置所對應的角；時間t；距離水面的相對高度H；變量t與H之間的等量關系是：Hrsin(x)h設計意圖：通過筒車模型引入和建立三角函數(shù)的數(shù)學模型，體現(xiàn)數(shù)學的實際價值，表示其上質點勻速圓周遠動，引出這一課時的核心內容2明確研究思路問題2：我們從

4、實際問題出發(fā)，抽象轉化成一個數(shù)學問題，并建立了一個新的函數(shù)根據(jù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的經(jīng)驗，你認為接下來應該研究什么？預設的師生活動：通過教師的啟發(fā)，與學生一起回顧預設答案：類比之前對函數(shù)的研究方法，接下來我們應該研究函數(shù)的圖象與性質回想一下，我們在“三角恒等變換”那一節(jié)中，已經(jīng)純粹地從形式上研究過它的性質，比如周期、單調性，所以接下來主要研究函數(shù)的圖象，有了圖象之后可以使我們更好地把握這個函數(shù)的性質顯然，這個函數(shù)由參數(shù)A，所確定因此關鍵是研究這些參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響設計意圖：讓學生清楚我們研究一個新函數(shù)的一般套路，得到函數(shù)解析式之后，需要研究其圖象及性質，而此函數(shù)的性質在之前已通

5、過代數(shù)方法進行過研究，因此，接下來的重點自然就是先研究圖象，進而利用圖象直觀地認識此函數(shù)的性質問題3：從解析式看，函數(shù)ysin x就是函數(shù)yAsin(x)在A1，1，0時的特殊情形（1）能否借助我們熟悉的函數(shù)ysin x的圖象與性質研究參數(shù)A，對函數(shù)yAsin(x)的影響呢？（2）函數(shù)yAsin(x)中含有三個不同參數(shù)，類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，對于含有多個參數(shù)的函數(shù)，你認為應按怎樣的思路進行研究？預設的師生活動：教師啟發(fā)，學生回顧初中已學過的二次函數(shù)研究路徑預設答案：類比對二次函數(shù)y=a(xh)+k圖象用“控制變量法”的研究過程，具體的操作辦法是：可以分別將其中的兩個變量特殊化，研究另一個變量

6、對圖象的影響，最后，綜合分析由一個特別簡單的二次函數(shù)如何一步一步通過變換得到一個較復雜的二次函數(shù)圖象的過程設計意圖：挖掘學生已有經(jīng)驗，并幫助學生梳理清楚初中研究的二次函數(shù)ya(xh)2k，一般思路和方法，并在此基礎上形成本小節(jié)從特殊到一般的研究方法3探究對函數(shù)ysin(x)圖象的影響問題4：觀察當參數(shù)變化時，函數(shù)ysin(x)的圖象有什么影響？預設的師生活動：學生獨立思考，然后回答大致思路：先取特殊值，進行觀察，進而猜想出一般結論追問1：的不同值表示什么含義？結合筒車說明預設答案：在筒車例子中，的不同值表示是初始位置所對應的角不同追問2：如圖3，如果在單位圓上將起點Q0繞O1旋轉到Q1，讓動點

7、P1以Q1為起點，按照與P0一樣的方式，運動到點P，需要多長時間？對應的函數(shù)ysin(x)圖象上的點G的坐標是多少？預設答案：在單位圓上，如果以Q0為起點的動點到達圓周上點P的時間為x s，那么以Q1為起點的動點相繼到達點P的時間是（x） s點G的坐標是(x，sin x)追問3：如上我們找到了兩個函數(shù)圖象上任意點的變化，那么如何從函數(shù)y=sin x的圖象得到函數(shù)ysin(x)的圖象？預設答案：函數(shù)y=sin(x+)圖象可以看作是函數(shù)y=sinx圖象上的所有點向左平移個單位后得到追問4：如果起點Q0繞O1旋轉，對應的函數(shù)圖象如何變化呢？預設答案：分別可以看作是函數(shù)y=sin x圖象上的所有點向右

8、平移、向左平移、向右平移個單位后得到圖3（2）追問5：根據(jù)上面的研究，你能歸納出對函數(shù)ysin(x)圖象影響的一般化結論嗎？結論：一般地，當動點M的起始位置Q對應的角為時，對應的函數(shù)是ysin(x) (0)，把正弦曲線上所有點向左(0)或向右(0)平移|個長度單位就得到y(tǒng)sin(x)的圖象追問6：前面采用了怎樣的研究方法呢？預設答案：特殊化，畫圖、觀察、猜想、驗證，歸納出一般結論設計意圖：具體探究，通過圖像上一個點的變化微觀地研究參數(shù)對函數(shù)ysin(x)圖象變化的影響并結合水車模型解釋這種變化的實際意義本環(huán)節(jié)是本課時的重點，借助信息技術并鼓勵學生進行小組合作實驗，探究參數(shù)對函數(shù)ysin(x)的

9、影響教師通過問題引導學生在觀察發(fā)現(xiàn)的基礎上進行理性的思考，提升直觀想象和邏輯推理能力4探究（0）對函數(shù)ysin(x)的圖象的影響問題5：觀察當參數(shù)變化時對函數(shù)ysin(x)圖象的變換有什么影響？預設的師生活動：教師引導學生對研究方案進行組內交流討論，啟發(fā)學生類比問題4中的思路分析得出如下的研究思路：并適當指導學生由學生回答互相補充追問1：結合筒車模型，的不同值表示什么含義？預設答案：的不同值表示動點的不同角速度追問2：如圖，不妨令2，那么以Q1為起點的動點P2，運動到點P，它需要的時間是多少？對應的函數(shù)圖象上的點K的坐標是多少？預設答案：運動時間是=1時運動時間的倍；對應的函數(shù)圖象上的點K的坐

10、標是K(x，y)追問3：如上我們找到了兩個函數(shù)圖象上任意點的變化，那么如何從函數(shù)y=sin(x)的圖象得到函數(shù)ysin(2x)的圖象？預設答案：函數(shù)y=sin(2x+)圖象是函數(shù)y=sin(x+)圖象上的所有點橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)得到的追問4：如果令，3，對應的函數(shù)ysin(x)圖象如何變化呢？預設的師生活動：先讓學生猜想，教師再借助GGB演示，讓學生直觀感知圖象間的關系預設答案：對應函數(shù)ysin(x)圖象可以分別看成是函數(shù)y=sin(x+)圖象上的所有點橫坐標伸長為原來的2倍、縮短為原來的倍、伸長為原來的3倍、(縱坐標不變)得到的圖4（1）圖4（2）追問5：根據(jù)上面的研究，你能

11、歸納出對函數(shù)ysin(x)圖象影響的一般化結論嗎？預設答案：一般地，函數(shù)ysin(x)的周期是，把ysin(x)圖象上所有點的橫坐標縮短（當1時）或伸長（當01時）到原來的倍（縱坐標不變），就得到y(tǒng)sin(x)的圖象設計意圖：通過前面對參數(shù)研究，學生已經(jīng)有了一定的實踐經(jīng)驗和理論基礎，通過研究參數(shù)的變化對函數(shù)ysin(x)的圖象的影響進一步提升了直觀想象和邏輯推理能力（三）歸納小結問題5：通過這節(jié)課的學習，請你談談我們采用什么方法來研究函數(shù)yAsin(x)的圖象？你獲得了怎樣的研究經(jīng)驗？預設的師生活動：學生自我總結，并交流分享預設答案：特殊化，研究函數(shù)圖象上任意一點的變化，由此歸納出參數(shù)取某個具體值時對函數(shù)圖象的變化再在此基礎上歸納出參數(shù)變化對整個圖象變化的影響類比研究，充分應用已有知識經(jīng)驗，比如類比二次函數(shù)圖象的研究得到本單元的研究思路，又比如運用前一個問題的研究成果設計意圖：通過歸納研究方法，積累學習的經(jīng)驗，提高分析問題、解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理與直觀想象等素養(yǎng)；（四）課后作業(yè)：完成問題6和7（見第二課時）（五）目標檢測設計（1）已知函數(shù)的圖象為C為了得到函數(shù)的圖象，只要把C上所有的點