等比數(shù)列前n項和第二課時

1、2021/3/111 普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5 2021/3/112 一、實例探究 例例1. 如圖，畫一個邊長為如圖，畫一個邊長為2cm的正方形，再的正方形，再 將這個正方形各邊的中點相連得到第二個正將這個正方形各邊的中點相連得到第二個正 方形，依此類推，這樣一共畫了方形，依此類推，這樣一共畫了10個正方形個正方形. 求：求： （1）第）第5個正方形的邊長；個正方形的邊長； （2）第）第10個正方形的面積；個正方形的面積； （3）這）這10個正方形的面積之和個正方形的面積之和. 2021/3/11 3 問題1：第一個正方形的邊長和第二個正方形的邊長有 什么關系？你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？ 問

2、題2：第一個正方形的面積和第二個正方形的面積有 什么關系？你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？ 設這10個正方形的邊長構成數(shù)列 ，則數(shù)列 是等比數(shù)列 設這10個正方形的面積構成數(shù)列 ，則數(shù)列 是等比數(shù)列 n a n a n b n b 問題3：怎樣求這10個正方形的面積之和？ 這10個正方形的面積之和就是數(shù)列 的前10項的和. n b 2021/3/114 復習回顧 等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與項起，每一項與 它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列 叫做等比數(shù)列叫做等比數(shù)列. 等比數(shù)列的通項公式等比

3、數(shù)列的通項公式 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項和公式項和公式 1 1 nn m nm aa qa q 1 11 ,(1) (1) ,(1) 11 n n n naq S aa qaq q qq 2021/3/11 5 解：（1）設這10個正方形的邊長構成數(shù)列 ， n a 第五個正方形的邊長 4 4 51 21 2 22 aa q 第10個正方形的面積 9 9 101 11 4 2128 bbq （2）設這10個正方形的面積構成數(shù)列 ，且 則數(shù)列 是等比數(shù)列，且 n b 2 nn ba n b 22 11 1 4, 2 baqq （3）這10個正方形的面積之和即數(shù)列 n b的前10項之和 10 1

4、 10 1 1 bq S q 如圖，畫一個邊長為如圖，畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連 得到第二個正方形，依此類推，這樣一共畫了得到第二個正方形，依此類推，這樣一共畫了10個正方形個正方形.求：求： （1）第）第5個正方形的邊長；個正方形的邊長； （2）第）第10個正方形的面積；個正方形的面積； （3）這）這10個正方形的面積之和個正方形的面積之和. n a則數(shù)列 是等比數(shù)列， 1 2 2, 2 aq且 10 1 4 1 2 1 1 2 10 1 81 2 1023 128 2021/3/11 6 公式再應用 例2.求和： 2 12

5、 n aaan 問題問題4：能看成等比數(shù)列的前：能看成等比數(shù)列的前n項和嗎？項和嗎？ l等比數(shù)列中不能有等比數(shù)列中不能有“0”這樣的項；這樣的項； l等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項和公式需要對公比項和公式需要對公比q是否等于是否等于1進行進行 分類討論分類討論. 2021/3/11 7 例2.求和： 2 12 n aaan 解： 22 121 2 nn aaana aan （1）當 時， 0a 1 2 n n （2）當 時， 1a 1 2 n n （3）當 時， 10aa且 綜上，當 時，原式 1a1 2nn 1 2 n n 當 時，原式1a 1 1 12 n aa n n a 1 2n 原式

6、1 2nn 原式 1 1 12 n aa n n a 原式 分組求和 2021/3/118 公式的實際應用 例例3.某商場今年銷售計算機某商場今年銷售計算機5000臺臺.如果平如果平 均每年的銷售量比上一年的銷售量增加均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10 ，那么從今年起，大約幾年可使總銷售，那么從今年起，大約幾年可使總銷售 量達到量達到30000臺（結果保留到個位）？臺（結果保留到個位）？ 問題問題5：怎樣理解：怎樣理解“平均每年的銷售量比上一年的銷售量平均每年的銷售量比上一年的銷售量 增加增加10”？ 如果把每年的銷售量看成一個數(shù)列，則這個數(shù)列如果把每年的銷售量看成一個數(shù)列，則這個數(shù)列 是

7、一個等比數(shù)列是一個等比數(shù)列. 2021/3/119 例3.某商場今年銷售計算機5000臺.如果平均每年的銷售量比上 一年的銷售量增加10，那么從今年起，大約幾年可使總銷售 量達到30000臺（結果保留到個位）？ 解：根據(jù)題意，每年銷售量比上一年增加的百分率相同. 1 5000,1 101.1,30000 n aqS 于是得到 5000 1 1.1 30000 1 1.1 n 整理得：1.1 1.6 n 兩邊取對數(shù)，得lg1.1lg1.6n 由計算器算得 答：大約5年可使總銷售量達到30000臺 1, , , , nn a q a n S 知三求二 n a所以，從今年起，每年的銷售量組成一個等比

8、數(shù)列 其中 0.202 0.041 n （年）5 lg1.6 lg1.1 n 即 2021/3/11 10 類比推理，歸納性質 例例4.如果一個等比數(shù)列前如果一個等比數(shù)列前5項的和等于項的和等于10，前，前10項的和項的和 等于等于50，求它的前，求它的前15項的和項的和. 當當 1q 時，時，5 111 51052Saaa此時，此時， 101 102050Sa 故故1q n S解：設該等比數(shù)列的首項為解：設該等比數(shù)列的首項為 1 a，公比為，公比為q，前，前n項和為項和為 5 1 5 1 10 1 aq S q 兩式相除得：兩式相除得： 10 1 10 1 50 1 aq S q 10 5

9、1 5 1 q q 5 15q 5 4q 15 1 3 15 1 10 1 4210 13 aq S q 1 10 13 a q 用整體思 想求解 2021/3/1111 為其前為其前n項和，則項和，則問題問題6：在等差數(shù)列：在等差數(shù)列 n a中，中， n S 232 , nnnnn SSSSS 具有怎樣的性質？具有怎樣的性質？ 232 , nnnnn SSSSS也成等差數(shù)列也成等差數(shù)列 問題問題7：你能類比在等比數(shù)列中，也有類似的性質嗎？：你能類比在等比數(shù)列中，也有類似的性質嗎？ 并用該性質重新解答例題并用該性質重新解答例題4 當當 1q 時，時， 2321nnnnn SSSSSna 顯然是

10、等比數(shù)列；顯然是等比數(shù)列； 當當1q 時，時， 12nn Saaa 1 1 1 n aq q 2122nnnnn SSaaa 1 1 1 n n aq q 3221223nnnnn SSaaa 21 1 1 n n aq q 2 1121nn aa a 232 , nnnnn SSSSS 是等比數(shù)列是等比數(shù)列 232 , nnnnn SSSSS 是等比數(shù)列是等比數(shù)列 2021/3/11 12 例例4.如果一個等比數(shù)列前如果一個等比數(shù)列前5項的和等于項的和等于10，前，前10項的和項的和 等于等于50，求它的前，求它的前15項的和項的和. 另解：另解： 5105 10,50 1040SSS而而 51051510 ,S SS SS也成等比數(shù)列也成等比數(shù)列 2 1510 40 160 10 SS 1551051510 SSSSSS1040 160210 練：已知一個等比數(shù)列前練：已知一個等比數(shù)列前6項的和與前項的和與前3項的和的比等項的和的比等 于于3，求前，求前6項的和與前項的和與前12項的和的比項的和的比.1:5 2021/3/1113 錯位相減法求和 2021/3/1114