《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》教材分析

1、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)教材分析 浙江省諸暨市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)陳菊娣（初稿）浙江省諸暨市教育局教研室湯驥（統(tǒng)稿）本單元的主要內(nèi)容有：分?jǐn)?shù)的意義、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（約分、通分）、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化。其中分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是整個(gè)單元的重點(diǎn)，“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”和后面“分?jǐn)?shù)的加法和減法”是學(xué)生開始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的起始，在系統(tǒng)認(rèn)識了小數(shù)和初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，概括出分?jǐn)?shù)的意義，比較完整地從分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等方面加深對分?jǐn)?shù)意義的理解，進(jìn)而學(xué)習(xí)并理解與分?jǐn)?shù)有關(guān)的基本概念，掌握必要的約分、通分、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化等技能；真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)意義的引申；約

2、分和通分則是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的運(yùn)用；分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，則是溝通了兩者在形式上的相互聯(lián)系，得出小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化方法。整個(gè)單元的內(nèi)容，基本是由概念到性質(zhì)，再到方法、技能這樣的遞進(jìn)發(fā)展關(guān)系編排的。一、與實(shí)驗(yàn)教材（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級，下同）的主要區(qū)別 （一）分?jǐn)?shù)大小比較，不再設(shè)置在第1節(jié)中單列一段，而是充分利用前面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識時(shí)打下的基礎(chǔ)，把有關(guān)內(nèi)容與通分結(jié)合在一起學(xué)習(xí)。這樣既簡化了第1節(jié)的內(nèi)容，也體現(xiàn)出通分的作用。（二）增加了帶分?jǐn)?shù)的概念。雖然義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）規(guī)定，分?jǐn)?shù)運(yùn)算中不含帶分?jǐn)?shù)，但考慮到把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)，容易看出這個(gè)假分?jǐn)?shù)的大小在哪兩個(gè)整數(shù)之間，以及便

3、于比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，從而有利于數(shù)感的形成。因此，教材增加了帶分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。（三）最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)先給出概念和求法，再應(yīng)用到解決問題中。原來將解決問題與概念引入結(jié)合在一起，學(xué)生理解起來難度較大，所以，教材先給出最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索它們的求法，最后在解決問題的應(yīng)用中體會它們的現(xiàn)實(shí)意義，加深對概念的理解。二、教材例題分析（一）分?jǐn)?shù)的意義本節(jié)由分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法三個(gè)層次的內(nèi)容組成，幫助學(xué)生比較完整地建立起分?jǐn)?shù)的概念。1分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。首先，從歷史的角度、從現(xiàn)實(shí)生活中等分量的需要出發(fā)，呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)來源，讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景和過程。使學(xué)生感受到在進(jìn)

4、行測量或分物時(shí)，往往不能剛好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)就需要用分?jǐn)?shù)來表示，有了分?jǐn)?shù)，這些結(jié)果就能準(zhǔn)確地表示出來。教材這樣通過測量與分物的實(shí)例，引入分?jǐn)?shù)的編排目的，就是為了使學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)是適應(yīng)現(xiàn)實(shí)需要而產(chǎn)生的，從而提高學(xué)習(xí)的積極性，促進(jìn)對分?jǐn)?shù)意義的理解，并受到歷史唯物主義觀點(diǎn)的教育。2分?jǐn)?shù)的意義。通過舉例說明的含義，它可以是一個(gè)物體（如一張正方形紙、一張圓形紙、一條線段）的，也可以是一個(gè)整體（如一把4根的香蕉、一盤8個(gè)面包）的，引出分?jǐn)?shù)概念的描述。教學(xué)中，應(yīng)注意結(jié)合實(shí)例理解、歸納分?jǐn)?shù)的意義，并重點(diǎn)理解單位“1”和分?jǐn)?shù)單位的含義。3分?jǐn)?shù)與除法。前面是從部分與整體的關(guān)系揭示分?jǐn)?shù)的意義。這里，分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)

5、整數(shù)相除的商揭示分?jǐn)?shù)另一方面的意義，以加深和擴(kuò)展對分?jǐn)?shù)意義的理解，為學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)化為整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)做好準(zhǔn)備。例1和例2都是把一個(gè)物體（如1個(gè)蛋糕、3個(gè)月餅）平均分成若干份，求每份是多少。學(xué)生根據(jù)整數(shù)除法的含義，列出除法算式，容易理解為什么用除法算，但根據(jù)圖示或分?jǐn)?shù)的意義說出結(jié)果，將除法與分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來，要相對困難些。因此，教學(xué)中要結(jié)合操作和直觀圖示，幫助學(xué)生加深對計(jì)算結(jié)果的理解。特別要提醒學(xué)生注意弄清誰是單位“1”，如例2，這里要求每人分得多少個(gè)，是看每人分得的月餅是1塊月餅的幾分之幾，就是把1塊月餅看作單位“1”。學(xué)生容易出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：把3個(gè)月餅平均分成4份，就是12小塊，每人3小塊，得到錯(cuò)誤的

6、結(jié)果，就是把12小塊也就是3個(gè)月餅看作了單位“1”。正確的是把1個(gè)月餅也就是4小塊看作單位“1”，3小塊是1個(gè)月餅的。最后在兩個(gè)實(shí)例的基礎(chǔ)上概括出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，并讓學(xué)生用字母表示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系（強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的分母不能為0）。例3教學(xué)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的實(shí)際問題。教材編排此例的目的主要有兩個(gè)：一是讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程；二是利用分?jǐn)?shù)意義以及分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系，來解決實(shí)際問題，加深對分?jǐn)?shù)意義的理解。例如：在分析與解答環(huán)節(jié)，教材首先借助圖示引導(dǎo)學(xué)生分析解答“把10只看作一個(gè)整體，平均分成10份，每份是1只，7只就是10只的”，所以鵝的只數(shù)是鴨的。再根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，求7只是10只的

7、幾分之幾，可以用除法計(jì)算。所以算式是710=。最后，回顧求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或幾倍）這兩個(gè)問題，溝通它們之間的聯(lián)系：都是用除法解決。顯然，教材特別注重加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生促進(jìn)知識的遷移，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（二）真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)本小節(jié)對分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，增加了帶分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。通過學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)以及帶分?jǐn)?shù)，可以使學(xué)生比較全面地理解分?jǐn)?shù)的概念，也有利于培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)的數(shù)感。例1、例2：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，突出了單位“1”，并且將原教材的例2（假分?jǐn)?shù)）和例3（帶分?jǐn)?shù)）整合在一起，很好地溝通了假分?jǐn)?shù)和整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的關(guān)系，為后面例3把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)作了鋪墊。兩個(gè)例題的內(nèi)容都是

8、依次呈現(xiàn)直觀涂色、比較辨析、歸納抽象這樣一個(gè)編排過程。特別是例2教學(xué)引出假分?jǐn)?shù)概念后，接著由涂色的直觀圖對假分?jǐn)?shù)進(jìn)行分拆，引出帶分?jǐn)?shù)的概念。同時(shí)加強(qiáng)了對化法的道理的理解，并明確：假分?jǐn)?shù)的分子是分母的倍數(shù)，是整數(shù)；假分?jǐn)?shù)的分子不是分母的倍數(shù)，是帶分?jǐn)?shù)。例3：教學(xué)把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)。轉(zhuǎn)化的方法是根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系用除法計(jì)算。利用圖示結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義說明算理：如7/3，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系用73計(jì)算。結(jié)合圖示和分?jǐn)?shù)的意義，可以看出：3份是1個(gè)整圓，73=21表示7份里面有2個(gè)3份余1份，2個(gè)3份是2個(gè)整圓也就是2，余1份就是，所以結(jié)果就是。在理解算理的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分

9、數(shù)的一般方法及兩種情況。（三）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)例1：探索分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。教材重點(diǎn)呈現(xiàn)了展開合情推理的全過程。首先，借助動手操作和直觀圖示發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的相等關(guān)系，接下來進(jìn)一步觀察相等的分?jǐn)?shù)中分子和分母的變化規(guī)律，引發(fā)猜想，再舉例加以驗(yàn)證，最后概括總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。整個(gè)過程滲透了不完全歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。緊接著，教材提示學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律，自主完成分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的演繹推理過程。兩種推理相互印證，加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解。例2：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母不同，大小不變的分?jǐn)?shù)。本例是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的初步運(yùn)用，目的在于幫助學(xué)生運(yùn)用和掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。同時(shí)為后面

10、的約分和通分做好準(zhǔn)備。（四）約分先給出最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的概念和求法，再應(yīng)用到解決問題中。原來將解決問題與概念引入結(jié)合在一起，學(xué)生理解起來難度較大，所以，教材先給出最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索它們的求法，最后在解決問題的應(yīng)用中體會它們的現(xiàn)實(shí)意義，幫助學(xué)生加深對概念的理解。例1：最大公因數(shù)。本例教學(xué)公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念。教材直接提出：“8和12公有的因數(shù)是哪幾個(gè)？公有的最大因數(shù)是多少？”并直接給予解答提示：“我先分別找出8和12的因數(shù)?！币龑?dǎo)學(xué)生分別找出8和12的因數(shù)；在小精靈的提示下，“還可以這樣表示”，用集合圈直觀呈現(xiàn)8、12各自的因數(shù)，從而引出公因數(shù)、最大

11、公因數(shù)的概念。例2：求最大公因數(shù)。教材首先呈現(xiàn)了兩種求最大公因數(shù)的方法。一種是根據(jù)定義，即先找出18和27各自的因數(shù)，再從中找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)；另一種是先寫出18（兩數(shù)中較小數(shù)）的因數(shù)，再從中圈出27的因數(shù)，再看哪個(gè)最大。教學(xué)中，學(xué)生可以有不同的方法。并通過交流，逐步形成適合自己的方法。最后，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和它們的最大公因數(shù)之間有什么關(guān)系？以進(jìn)一步揭示公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念。例3：公因數(shù)和最大公因數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。教材選取鋪地磚的相同情境，讓學(xué)生在解決問題的應(yīng)用中體會公因數(shù)和最大公因數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，加深對概念的理解。教材通過創(chuàng)設(shè)用整塊的正方形地磚鋪滿長方形地面

12、的問題情境，應(yīng)用公因數(shù)、最大公因數(shù)的概念求方磚的邊長及其最大值。首先，通過畫圖理解題意，特別是“整塊”“正好鋪滿”的含義，也就是用正方形的地磚去鋪，要用整數(shù)塊完整的地磚正好鋪滿地面。接下來，通過分析找出解決問題的方法。結(jié)合實(shí)際情境，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵，通過分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的地磚的邊長必須“既是16的因數(shù)，又是12的因數(shù)”，后面自然就是利用公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念解決問題了。最后利用畫圖驗(yàn)證的策略來檢驗(yàn)。例題的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)是讓學(xué)生體會解決這類問題的關(guān)鍵就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。例4：約分。約分依據(jù)的原理是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。方法是找分子和分母的公因數(shù)。教材在小精靈的提示、提

13、問引領(lǐng)下，即“可以用分子和分母的公因數(shù)（1除外）去除”“每一步都是用分子、分母的哪一個(gè)公因數(shù)去除？”呈現(xiàn)可以逐步約，也可以直接找到最大公因數(shù)一步約的約分過程以及簡便書寫形式。在經(jīng)歷約分的過程中，引出約分和最簡分?jǐn)?shù)的概念，并將最簡分?jǐn)?shù)作為約分的一般要求。（五）通分例1：最小公倍數(shù)。最小公倍數(shù)的編排與最大公因數(shù)的編排相似，在此不再展開敘述。例2：求最小公倍數(shù)。求最小公倍數(shù)的編排與求最大公因數(shù)的編排類似，在此也不再展開敘述。例3：公倍數(shù)、最小公倍數(shù)在生活中的實(shí)際應(yīng)用。例3延續(xù)前面的素材，創(chuàng)設(shè)了用長方形墻磚鋪正方形的實(shí)際問題情境，用公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的知識求正方形的邊長及其最小值。同樣先通過畫圖初步理

14、解題意，感受鋪出正方形的不確定性。接下來，找出解決問題的方法。也就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“正方形的邊長必須既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)”。這樣就可以利用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)來解決了。最后，利用畫圖驗(yàn)證的策略來檢驗(yàn)。這個(gè)例題的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)是讓學(xué)生體會解決這類問題的關(guān)鍵就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。例4：同分母、同分子分?jǐn)?shù)大小的比較。教材呈現(xiàn)分兩個(gè)層次展開。首先，由現(xiàn)實(shí)問題“地球上陸地多還是海洋多？”引出同分母分?jǐn)?shù)大小的比較。其次，安排同分母或同分子分?jǐn)?shù)的大小比較。在此題解答的過程中，借助小精靈提出的問題“分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)怎樣比較大??？分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)呢？”引導(dǎo)學(xué)生回憶與思考比較的方法和經(jīng)驗(yàn)

15、，并進(jìn)一步結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義加深理解和鞏固，最終概括總結(jié)出一般方法。并由此引出異分母分?jǐn)?shù)的大小比較。例5：通分及異分母分?jǐn)?shù)大小的比較。在例4學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，自然引出比較異分母分?jǐn)?shù)的大小。同時(shí)，運(yùn)用遷移類推的思想，引出通分的概念，并探索通分的一般方法。（六）分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化本小節(jié)是教學(xué)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化的方法，溝通小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，加深對分?jǐn)?shù)、小數(shù)意義的理解。例1：小數(shù)化分?jǐn)?shù)。本例教材是按如下思路編排的。首先根據(jù)除法的意義列出除法算式，然后分別用小數(shù)和分?jǐn)?shù)表示計(jì)算結(jié)果，第三，讓學(xué)生思考：怎樣能較快地把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)？聯(lián)系小數(shù)的意義，直接給出小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的一般方法，最后通過“試一試”，小精靈問題“把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)需要注意什么？”的引領(lǐng)，再讓學(xué)生自主概括與總結(jié)。例2：分?jǐn)?shù)化小數(shù)。教材直接給