《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》-第0章-習(xí)題課

1、例例 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為的均質(zhì)圓柱可在半徑為R的圓軌的圓軌 面內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地、以圓軌面最低位置面內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地、以圓軌面最低位置o為平衡位置左右微擺，為平衡位置左右微擺， 試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方程，并求其固有頻率。試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方程，并求其固有頻率。 第第0 0章習(xí)題課章習(xí)題課 解：系統(tǒng)的勢(shì)能為解：系統(tǒng)的勢(shì)能為 )cos1)(rRmgU 系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為 222 2 1 2 1 2 1 CCCAA JmvJT r rR mrJrRv CCC 2 2 1 )( 固有頻率常數(shù)，兩邊求導(dǎo)就可得由UT 例例一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的懸臂梁端部接一彈一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的懸臂梁端部接一彈

2、簧，彈簧下端有一質(zhì)量簧，彈簧下端有一質(zhì)量m，如圖所示，求該系，如圖所示，求該系 統(tǒng)的固有頻率。統(tǒng)的固有頻率。 解：解： 靜平衡時(shí)，梁和彈簧受力靜平衡時(shí)，梁和彈簧受力 如圖，懸臀梁自由端受一個(gè)集如圖，懸臀梁自由端受一個(gè)集 中力中力mg，由材料力學(xué)可知，梁，由材料力學(xué)可知，梁 端點(diǎn)的撓度為端點(diǎn)的撓度為 EI mgL 3 3 1 彈簧的伸長(zhǎng)量為彈簧的伸長(zhǎng)量為 k mg 2 重力作用下質(zhì)量重力作用下質(zhì)量m的靜位移是的靜位移是 ) 1 3 ( 3 21 kEI L mg 系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率為 )3( 3 3 2 EIkLm kEIg n 或者懸臂梁與彈簧是或者懸臂梁與彈簧是 串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)

3、 例例 如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量 m，另一端繞過(guò)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，另一端繞過(guò)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的滑輪與彈的滑輪與彈 簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無(wú)伸簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無(wú)伸 長(zhǎng)，繩索與滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。求該系統(tǒng)的長(zhǎng)，繩索與滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。求該系統(tǒng)的 固有頻率。固有頻率。 解：系統(tǒng)的勢(shì)能為解：系統(tǒng)的勢(shì)能為 系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為 22 2 1 krU 222 2 1 2 1 JmrT 常數(shù)由UT 兩邊求導(dǎo)得：兩邊求導(dǎo)得： 0 2 2 Jmr kr 從而可得固有頻率。從而可得固有頻率。 例例求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為r的半圓形環(huán)向兩側(cè)作微小角滾動(dòng)

4、的半圓形環(huán)向兩側(cè)作微小角滾動(dòng) (無(wú)滑動(dòng)無(wú)滑動(dòng))的固有頻率。的固有頻率。 解：系統(tǒng)的勢(shì)能為解：系統(tǒng)的勢(shì)能為 系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為 cosmgaU 2 2 1 A JT 常數(shù)，兩邊求導(dǎo)得由UT )(2arr ga n )cos(2 )cos2( )cos2( 2222 2222 armr raarmmamr raarmmaJmACJJ OCA 0 )(2 0sinsin)cos(2 2 arr ga mgamraarmr 或 動(dòng)能表達(dá)式有問(wèn)題動(dòng)能表達(dá)式有問(wèn)題 例例 如圖所示，如圖所示， 輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量為量為J，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量

5、為，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣的物體，繩與輪緣 之間無(wú)滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑之間無(wú)滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與與a 均已知，求微振動(dòng)的周期。均已知，求微振動(dòng)的周期。 例例 如圖所示，一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)從一傾斜角為如圖所示，一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)從一傾斜角為30 的光滑的光滑 斜面下滑。求彈簧與墻壁開始接觸到脫離接觸的時(shí)間。斜面下滑。求彈簧與墻壁開始接觸到脫離接觸的時(shí)間。 例例列出圖示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。列出圖示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。 例例重量重量G=35kN的發(fā)電機(jī)置于簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)上（如圖的發(fā)電機(jī)置于簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)上（如圖 1），已知梁的慣性矩），已知梁的

6、慣性矩I=0.000088m4，E=210GPa，發(fā)電機(jī)，發(fā)電機(jī) 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分量為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分量為Fsint，且，且F=10kN。若不。若不 考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時(shí)，時(shí)， 梁的最大彎矩和撓度（梁的自重可略去不計(jì)）。梁的最大彎矩和撓度（梁的自重可略去不計(jì)）。 解：在發(fā)電機(jī)重量作用下，解：在發(fā)電機(jī)重量作用下， 梁中點(diǎn)的最大靜力位移為：梁中點(diǎn)的最大靜力位移為： 333 3 95 35 104 2.53 10 4848 210 108.8 10 st Gl m EI 自振頻率自振頻率 (固有頻率固有頻率)為為:

7、 圖1 Fsint G 2m2m m (rad/s)3 .62 1053. 2 81. 9 3 st n g 干擾力的頻率為干擾力的頻率為: 動(dòng)力放大系數(shù)為：動(dòng)力放大系數(shù)為： (rad/s)3 .52 60 50014. 32 60 2 n 4 . 3 3 .62 3 .52 1 1 1 1 2 2 2 2 n 梁中點(diǎn)的最大彎矩為：梁中點(diǎn)的最大彎矩為： max 35 43.4 10 4 69 44 GF st MMMkN m 梁中點(diǎn)的最大撓度為：梁中點(diǎn)的最大撓度為： 3333 max 95 3 (353.4 10) 104 484848 210 108.8 10 4.98 104.98 F s

8、tst GlFl yy EIEI mmm 例例慣性式測(cè)振儀原理。慣性式測(cè)振儀原理。 慣性式測(cè)振儀是一個(gè)典型的慣性式測(cè)振儀是一個(gè)典型的“質(zhì)質(zhì) 量量阻尼阻尼彈簧彈簧”的單自由度系統(tǒng)。的單自由度系統(tǒng)。 假定其支承假定其支承(殼體殼體)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 設(shè)地面位移為設(shè)地面位移為y，質(zhì)量位移，質(zhì)量位移x，相對(duì)位移，相對(duì)位移z 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 )()(yxkyxcxm 或或用相對(duì)位移用相對(duì)位移z描述的運(yùn)動(dòng)微分方程：描述的運(yùn)動(dòng)微分方程： ymzkzczm 代入得令 ti Aey 方程的解為方程的解為： Z為相對(duì)位移的為相對(duì)位移的振幅振幅 ti eAmzkzczm 2 )( 2 )( )(

9、ti n ti eHAZez )( 2 HAZ n 動(dòng)力放大系數(shù) 2222 4)1 ( 1 )(H 當(dāng)當(dāng)/n1時(shí)，即激勵(lì)頻時(shí)，即激勵(lì)頻 率很高時(shí)，率很高時(shí)，Z可近似為可近似為: AHAZ n )( 2 測(cè)振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎保持不動(dòng)，與結(jié)構(gòu)相測(cè)振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎保持不動(dòng)，與結(jié)構(gòu)相 接的儀器殼體相對(duì)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)接的儀器殼體相對(duì)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng),儀器的相對(duì)振幅與激勵(lì)儀器的相對(duì)振幅與激勵(lì) 幅值相等，此時(shí)儀器用于測(cè)量振動(dòng)位移。幅值相等，此時(shí)儀器用于測(cè)量振動(dòng)位移。 當(dāng)當(dāng)/n1時(shí)，時(shí)，即激勵(lì)頻率即激勵(lì)頻率 遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率，有，有: 即即Z與測(cè)振儀殼體與測(cè)振儀殼體(地面地面)

10、的加速度幅值的加速度幅值YA2成比例，成比例， 此時(shí)測(cè)振儀可用做加速度計(jì)。此時(shí)測(cè)振儀可用做加速度計(jì)。 2 n AZ 例例推導(dǎo)圖示系統(tǒng)的頻率方程，推導(dǎo)圖示系統(tǒng)的頻率方程， 假定繩索通過(guò)圓筒時(shí)沒(méi)有滑動(dòng)。假定繩索通過(guò)圓筒時(shí)沒(méi)有滑動(dòng)。 解：質(zhì)量塊應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)圓解：質(zhì)量塊應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)圓 筒用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程筒用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 2 21 2 2 11 2 1 )( )( rmJrxrkrkJ rxkxm OO 0)( 0 2 211 111 rkkrxkJ rkxkxm O ，代入微分方程得令：tBtAxsinsin 0)( 0)( 22 2 2 11 1 2 11 BJrkrkrAk

11、rBkAmk O 0 22 21 212 1 1 2 214 mm kk m k m kk 例例圖示系統(tǒng)，凸輪外半徑為圖示系統(tǒng)，凸輪外半徑為R，內(nèi)半徑為，內(nèi)半徑為r，關(guān)，關(guān) 于質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為于質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，已知，已知m1，m2，k1，k2和和 k3，試建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。，試建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。 例例一個(gè)彈簧聯(lián)系兩個(gè)裝在相一個(gè)彈簧聯(lián)系兩個(gè)裝在相 同圓軸上的相同的轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣同圓軸上的相同的轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量為量為J。建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，。建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程， 并求固有頻率。并求固有頻率。 1 k 2 a 例例圖質(zhì)量為圖質(zhì)量為m、半徑為、半徑為r的兩個(gè)相同的圓柱體，它們之間的兩個(gè)相同

12、的圓柱體，它們之間 用彈簧用彈簧k1聯(lián)系，右側(cè)的圓柱體用彈簧聯(lián)系，右側(cè)的圓柱體用彈簧k2與固定面連接。設(shè)圓與固定面連接。設(shè)圓 柱體自由地在水平表面上滾動(dòng)，請(qǐng)推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。柱體自由地在水平表面上滾動(dòng)，請(qǐng)推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 1 k1 2 k2 0)( 2 3 0 2 3 221112 21111 kkk m kk m 答案：答案： 例例一質(zhì)量為一質(zhì)量為M、半徑為、半徑為r的均質(zhì)實(shí)心圓柱體在質(zhì)的均質(zhì)實(shí)心圓柱體在質(zhì) 量為量為m的車子上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)。車輛用彈簧常數(shù)為的車子上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)。車輛用彈簧常數(shù)為 k1、k 2的彈簧連接，并在水平表面自由滑動(dòng)。用拉的彈簧連接，并在水平表面自由滑動(dòng)。

13、用拉 格朗日方程求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。格朗日方程求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 解：系統(tǒng)的動(dòng)能為解：系統(tǒng)的動(dòng)能為 22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 OO JxMxmT r xx MrJ OO 122 2 1 例例 如圖所示懸臂梁，長(zhǎng)為如圖所示懸臂梁，長(zhǎng)為L(zhǎng)，抗彎剛度為，抗彎剛度為EJ在中點(diǎn)和在中點(diǎn)和 自由端分別有集中質(zhì)量自由端分別有集中質(zhì)量m，忽略梁本身的質(zhì)量，試寫出系統(tǒng)橫，忽略梁本身的質(zhì)量，試寫出系統(tǒng)橫 向振動(dòng)的微分方程，并求出固有頻率和畫出相應(yīng)的主振型。向振動(dòng)的微分方程，并求出固有頻率和畫出相應(yīng)的主振型。 P L c 梁的撓曲線方程為梁的撓曲線方程為 Lxccx EI Pc w)3( 6

14、2 例例圖圖示振動(dòng)系統(tǒng)，已知機(jī)器質(zhì)量示振動(dòng)系統(tǒng)，已知機(jī)器質(zhì)量m1=90kg，動(dòng)力消振，動(dòng)力消振 器質(zhì)量器質(zhì)量m2=2.25kg，若機(jī)器上有一偏心塊質(zhì)量，若機(jī)器上有一偏心塊質(zhì)量m=0.5kg，偏，偏 心距心距e =1cm，機(jī)器轉(zhuǎn)速，機(jī)器轉(zhuǎn)速n=1800 r/min。(1) 建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微 分方程；分方程；(2) 消振器的彈簧剛度消振器的彈簧剛度k2為多大時(shí)，才能使機(jī)器的為多大時(shí)，才能使機(jī)器的 振幅為零？振幅為零？ 解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程： 1 k 2 m m 1 m 2 k e 1 k 0 sin)2( 221222 2 2212111 xkxkxm tmexk

15、xkkxm 6060/2n 設(shè)設(shè) tXxtXxsinsin 2211 0)( )2( 2 2 2212 2 221 2 121 XmkXk meXkXmkk 要使機(jī)器振幅為零，應(yīng)使要使機(jī)器振幅為零，應(yīng)使X20，即有，即有 2 2 2 22 2 121 2 22 2 2 )()2( )( kmkmkk mkme X )/(79944)60(25. 2 22 22 mNmk 例求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。例求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。 2 m 3 m 4 m 5 m 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 m 例例寫出圖示系統(tǒng)的剛

16、度矩陣和柔度矩陣。寫出圖示系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。 例例圖示一平移系統(tǒng)，設(shè)所有接觸面光滑，圖示一平移系統(tǒng)，設(shè)所有接觸面光滑， 寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。 例例用第一瑞利商和第二瑞利商求圖示系統(tǒng)用第一瑞利商和第二瑞利商求圖示系統(tǒng) 的第一階固有頻率估值。的第一階固有頻率估值。 例例用矩陣迭代法求圖示系統(tǒng)的第一階固有用矩陣迭代法求圖示系統(tǒng)的第一階固有 頻率和振型，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字。頻率和振型，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字。 假設(shè)初始振型向量為假設(shè)初始振型向量為1 3 4。 例例 一長(zhǎng)度為一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的桿，一端緊固，另一端用常數(shù)為的桿，一端緊固，另一端用常數(shù)為k的的 彈簧

17、連結(jié)，如圖示。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。彈簧連結(jié)，如圖示。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。 x k 解：桿的縱向振動(dòng)一般表達(dá)式：解：桿的縱向振動(dòng)一般表達(dá)式： 邊界條件：邊界條件： Lx x u AEtLkutu ),(0), 0( tEtDx C Ax C Atqxtxu nn nn cossincossin)()(),( 21 L CC AEL C kA nnn cossin0 2 kC AEL C nn tan 考慮特殊情況：考慮特殊情況： k0和和k的固的固 有頻率和振型有頻率和振型 例例 推導(dǎo)一長(zhǎng)度為推導(dǎo)一長(zhǎng)度為L(zhǎng)、一端固支另一端鉸支的均勻梁、一端固支另一端鉸支的均勻梁 橫向振動(dòng)的頻率方程。橫向振動(dòng)的頻率方程。 解：梁橫向振動(dòng)振型函數(shù)一般解：梁橫向振動(dòng)振型函數(shù)一般 表達(dá)式：表達(dá)式： 邊界條件為：邊界條件為： x y xDxCxBxAxsincossh