2.4.1拋物線及其標準方程[稻谷書屋]

1、1教育 2教育 若若 （d為點為點M到直線到直線l的距離），的距離）， 則則M的軌跡叫做的軌跡叫做拋物線拋物線 ,dMF F M l N 焦點焦點 準線準線 符號語言：符號語言： ？如果定點正好在定直線上，如果定點正好在定直線上， 點點M的軌跡還是拋物線嗎？的軌跡還是拋物線嗎？ 平面內與一個定點平面內與一個定點F和一條定直線和一條定直線l( (l l不不 經(jīng)過點經(jīng)過點F)F)的距離相等的點的軌跡叫做的距離相等的點的軌跡叫做 拋物線拋物線。 定點定點F叫做拋物線的叫做拋物線的焦點焦點。 定直線定直線l 叫做拋物線的叫做拋物線的準線準線。 3教育 y O . x KF l 建系建系設點設點列式列式

2、化簡化簡 4教育 x y o F M l N K 設設KF= p 則則F（ ，0），），l：x = - p 2 p 2 設點設點M的坐標為（的坐標為（x，y），）， 化簡得化簡得 y2 = 2px（p0） 2 2) 2 ( p xy p x 2 5教育 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做 拋物線的標準方程。拋物線的標準方程。 其中其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是為正常數(shù)，它的幾何意義是 焦焦 點點 到到 準準 線線 的的 距距 離離 它表示拋物線的焦點在它表示拋物線的焦點在 x軸的右半軸軸的右半軸 上上. y xo 6教育 7教育 圖圖 形形焦焦 點點準準 線線標準方程標準方程 (,0)

3、 2 p F (,0) 2 p F (0,) 2 p F (0,) 2 p F 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 2 2ypx 2 2ypx 2 2xpy 2 2xpy y xo y x o y xo y x o P0 一次項定焦點，系數(shù)正負定半軸一次項定焦點，系數(shù)正負定半軸 8教育 例例1 1、求下列拋物線的焦點坐標和準線、求下列拋物線的焦點坐標和準線 方程：方程： (1)(1)y y2 21414x x； (2)5(2)5x x2 22 2y y0 0； (3)(3)y y2 2axax( (a a0)0) 應用一、相關量的計算應用一、相關量的計算 9教育 例例1、求下列拋物

4、線的焦點坐標和準線方程：、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： (1)y214x；(2)5x22y0；(3)y2ax(a0) 解析：解析：(1)因為因為p7，所以焦點坐標是，所以焦點坐標是 ， 準線方程是準線方程是x ； 7 2，0 7 2 (2)拋物線方程化為標準形式為拋物線方程化為標準形式為x2 y，因為，因為p ， 所以焦點坐標是所以焦點坐標是 ，準線方程是，準線方程是y ； 2 5 1 5 0， 1 10 1 10 (3)由由a0知知p ，所以焦點坐標是，所以焦點坐標是 ， 準線方程是準線方程是x a 2 a 4，0 a 4 歸納歸納1：求拋物線準線方程或焦點坐標須先將方程化為：求拋物線

5、準線方程或焦點坐標須先將方程化為 標準形式。標準形式。 10教育 例例2、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程： （1）焦點是）焦點是F（3，0）；）； （2）準線方程）準線方程 是是x = ； 4 1 （3）焦點到準線的距離是）焦點到準線的距離是2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或或 x2 = -4y 歸納歸納2：求拋物線方程先確定開口方向，再計算求拋物線方程先確定開口方向，再計算p值。值。 即先定型，再定量。即先定型，再定量。 應用二、求拋物線方程應用二、求拋物線方程 11教育 例例3 3、求過點求過點A

6、（-3，2）的拋物線的）的拋物線的 標準方程。標準方程。 A O y x 解：當拋物線的焦點在解：當拋物線的焦點在y軸軸 的正半軸上時，把的正半軸上時，把A（-3，2） 代入代入x2 =2py，得，得p= 4 9 當焦點在當焦點在x軸的負半軸上時，軸的負半軸上時， 把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得，得p= 3 2 拋物線的標準方程為拋物線的標準方程為x2 = y或或y2 = x 。 2 9 3 4 歸納歸納3：求解拋物線方程的兩種方法：求解拋物線方程的兩種方法: 1.待定系數(shù)法待定系數(shù)法;2.定義法。定義法。 12教育 應用三、利用拋物線定義解決相關問題應用三、利用拋物線定義

7、解決相關問題. 例例4.已知拋物線已知拋物線 的焦點為的焦點為F，準，準 線線l與與x軸的交點為軸的交點為K， C為拋物線上一點為拋物線上一點. （1）若）若CAl于點于點A ，且直線，且直線AF的斜率的斜率 為為 , 則則 |CF|=_ （2）若）若 ,則則 的面積為的面積為 _ CFCK2 KFC xy8 2 3 歸納歸納4：充分借助拋物線定義可將較復雜的拋物線問題：充分借助拋物線定義可將較復雜的拋物線問題 轉化為簡單幾何求解。轉化為簡單幾何求解。 13教育 課堂小結課堂小結 一、基本知識：一、基本知識： 1.拋物線定義及標準方程的推導拋物線定義及標準方程的推導. 2.標準方程的四種形式及

8、其特征標準方程的四種形式及其特征. 3.已知標準方程求焦點和準線已知標準方程求焦點和準線. 4.根據(jù)已知條件求拋物線標準方程根據(jù)已知條件求拋物線標準方程. 5.能運用拋物線定義解決有關問題。能運用拋物線定義解決有關問題。 二、思想方法二、思想方法：注重數(shù)形結合。：注重數(shù)形結合。 14教育 31頁 自學導引 預習測評1-4 例1，例2 作業(yè) 15教育 討論題：討論題： 1 若拋物線若拋物線y2=8x上一點上一點M到原點的距離到原點的距離 等于等于 點點M到準線的距離則點到準線的距離則點M的坐標是的坐標是 2 已知定點已知定點A(3,2)和拋物線和拋物線y2=2x, F是拋物線是拋物線 焦點，試在拋物線上求一點焦點，試在拋物線上求一點P,使使 PA與與PF 的的 距離之和最小，并求出這個最小值。距離之和最小，并求出這個最小值。 3、已知點、已知點M與點與點F（4，0）的距離比它到直）的距離比它到直 線線L：x+5=0的距離小的距離小1，求點，