流體力學-(8)匯編

1、 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導數(shù) B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程 B4.3 伯努利方程及其應用伯努利方程及其應用 B4.4 積分形式的動量方程及其應用積分形式的動量方程及其應用 B4.5 積分形式的動量矩方程積分形式的動量矩方程 B4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程 B4 積分形式的基本方程 B4.3.3 伯努利方程的水力學意義伯努利方程的水力學意義 沿總流的伯努利方程可改寫為： 該式表示無粘性不可壓縮流體作定常流動時單位質(zhì)量流體沿總流 機械能守恒，該式是水力學中常用的形式。 如圖，在水力學中： 將相應的水頭高度連成線稱為水頭線。水面線為測壓管水頭

2、線， 總水頭線保持定值。 B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程 對于粘性不可壓縮流體的不定常流動，由歐拉一元 運動方程沿流線從位置1到位置2積分可得： 上式為不定常流伯努利方程。式中最后一項表示單 位質(zhì)量流體的非定常慣性力沿流線從位置1到位置2 所做的功。 B4.4 積分形式的動量方程及其應用積分形式的動量方程及其應用 設 ，流體系統(tǒng)的動量為vr)t ,( 根據(jù)牛頓第二定律 上式稱為流體系統(tǒng)的動量方程， 為作用在流體系統(tǒng) 上的合外力。 B4.4.1 固定控制體固定控制體 如下圖，在流場中取固定不變形 的控制體CV，控制面CS。 設在 t 時刻，作用在流體系統(tǒng)上的合外力與作用在控制體上

3、 的外力也重合。 上式為對固定不變形控制體的流體動量方程, 式中v均取絕對 速度。 設在 t 時刻，流體系統(tǒng)與控制體相重 合，利用輸運公式可得系統(tǒng)動量在控 制體上的隨體導數(shù)： 當流動為定常時，動量方程中的當?shù)仨棡榱?，方程變?yōu)椋?上式為對固定不變形控制體的定常流動動量方程， 該式表明: 定常流動中作用在 控制體上的合外力等于從控制 面凈流出的動量流量（見圖） B4.4.1 固定控制體固定控制體 p 沿流管的定常流動 B4.4.1 固定控制體固定控制體 圖示為一維流管控制體，出入口截面為A1, A2，平均速度 為 V1, V2，凈流出流管的動量流量為 這里 , ，為出入口質(zhì)量流 量大小，式中負號是

4、因為入口端 的(v n) 0。 1 m 2 m 上式稱為沿流管的定常流動動量方程或一維定常流動動 量方程。 運用可壓縮流體定常流動連續(xù)性方程 B4.4.1 固定控制體固定控制體 mmm 21 FVV)(m 12 由動量方程可得 它表明: 流出流管的動量流量減去流入流管的動量流量 等于作用在流束上的合外力。 p 在具有多個一維出入口的控制體上的定常流動 B4.4.1 固定控制體固定控制體 當控制面上有多個一維出入口時，由不定常流動動量 方程可得： FVV inout )()( iiii mm 式中：out代表是出口，in代表是 入口， 應滿足連續(xù)性方程要求。 令 ， vr為運動坐標系中的相對速度

5、。由動量定律 和輸運公式可得 B4.4.2 勻速運動控制體勻速運動控制體 當控制體作勻速運動時，固結(jié)于控制體上的坐標系 仍是慣性系。 上式為勻速運動控制體的流體動量方程。 r v FnvvvA t rrr d)(d CSCV 當流動為定常時： 如下圖，對具有多個一維出入口的控制體中的定常流動： B4.4.2 勻速運動控制體勻速運動控制體 ()() rrrr outin mm vvF 式中： 為運動坐標系中的質(zhì)流量 r m 已知:一車廂以 的速度做勻速直線運動，一般由固 定噴管流出的自由射流沿車廂前進方向沖入固結(jié)于車廂上的 導流片，水流截面積 ，速度 ，水流沿導流 片偏轉(zhuǎn)一角度 后流出，忽略質(zhì)量

6、力和粘性影響。 求：射流對固定導流片的沖擊力F 與 的關(guān)系。 解：建立圖示坐標系和控制體，按一 維流動處理，在坐標系中，入口 和出口的速度分別為 ,由伯 努力方程： 2 1 40cmA smVe/15 smV/45 21 , rr VV 例題B4.4.2 自由射流沖擊運動的導流片：相對運動的影響 因 ，故 ，由 不可壓縮條件 ，質(zhì)流量為 例題B4.4.2 自由射流沖擊運動的導流片：相對運動的影響 12 0pp 121 (45 15)/30/ rrre VVVVVm sm s 12 AAA 12 3342 (10g/)(30/ )(40 10)120/ rrrrr mmmQV A kmm smk

7、g s 作用在控制體上的外力為 ，由動量方程 21 () rr m V VF 12 () rrr AFVVV或 2 (cos )(1 cos ) (120/ )(30/ )(1 cos ) 3600(1 cos ) xrrrr FV A VVV A kg sm s 2 sinsin3600sin yrrr FV AVV A 例題B4.4.2 自由射流沖擊運動的導流片：相對運動的影響 討論：計算結(jié)果表明與例B4.4.1C相比，除了沖擊 力減小外，其余結(jié)果相似，相當于用絕對速 度 v=30m/s，沖擊固定導流片情況一樣。 結(jié)果相似 1 (/)sin/(1 cos ) yx arctg FFtg 2

8、2 3600 2(1 cos ) xy FFF（a） （b） 作用力大小和方向 B4.5 積分形式的動量矩方程積分形式的動量矩方程 B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 根據(jù)動量矩定律，流體系統(tǒng)的動量矩方程為： 設 ，r為從原點到流體元的矢徑，v為流體元 的速度。由系統(tǒng)廣延量定義，流體系統(tǒng)的動量矩為 )()t ,(vrr sys sys dvrL sys sys d d d d d Mvr L tt M為作用在流體系統(tǒng)上的合外力矩。 （a） 如圖，在流場中取固定不變形的控制體 CV，控制面為CS。設在 t 時刻流體系統(tǒng) 與控制體相重合，利用輸運公式，可得 系統(tǒng)動量矩在控制體上的隨體導數(shù)： 設

9、在t時刻作用在流體系統(tǒng)上的合外力矩與作用在控制 體上的合外力矩也重合: B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 CSCVsys sys d)(d)(d d d A tDt D t nvvvrvr L r（b） 上式為對固定不變形控制體的流體動量矩方程。式中v 為絕對速度。合外力包括重力、表面力等全部外力對原 點的力矩： B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 由（a）式和（b）式可得： CSCV d)(d)( t MnvvrvrAt )(FrM B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 當流體繞定軸旋轉(zhuǎn)時常單列出由轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的力矩，稱為 軸矩Ts, 即 將動量矩方程應用于定軸轉(zhuǎn)動的流體機械時，在一

10、般情況 下，重力和表面力對轉(zhuǎn)軸的力矩與軸矩相比可以忽略，而 且正常運行時流動可視為定常的，方程可簡化為 p 定軸旋轉(zhuǎn)流場動量矩方程 s TFrM )( 上式為定軸勻速轉(zhuǎn)動流場的動量矩方程一般式，常用于 渦輪機械。 p 歐拉渦輪機方程 右圖為渦輪機轉(zhuǎn)子示意圖，轉(zhuǎn)子繞z軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)， 流體以均勻分布的絕對速度V1 流入內(nèi)圓面（半徑為r2）， 質(zhì)流量為 ；以均勻分布的絕對速度V2流出外圓面（半 徑為 r1），質(zhì)流量守恒質(zhì)流量守恒。 m B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 定義軸功率 ，由上式可得： ss WT mVrVrW 2 )( 112s 考慮到牽

11、連速度 ，上式又可表示為Ur mVUVUWs )( 1122 由定軸勻速轉(zhuǎn)動流場的動量矩方程得： mVrVrTs)( 1122 上式稱為歐拉渦輪機方程，式中V1 , V2 為轉(zhuǎn)子內(nèi)外圓上 切向速度分量，負號是因為在內(nèi)圓上(vn)0 。該式適用 于各類定軸旋轉(zhuǎn)流體機械。 思考題: 請指出下列說法中正確的說法：（ ） （A） 歐拉渦輪機方程僅適用于渦輪機，即輸出 功的機械； （B） 歐拉渦輪機方程既適用于輸出功的機械 （Ts0 ， 如泵類）； （C） 歐拉渦輪機方程僅適用于不可壓縮流動。 B4.5.1 固定的控制體固定的控制體 mVrVrTs)( 1122 已知:如圖一小型離心泵（軸向進水，徑向出

12、水），入口直 徑 , 出口直徑 ，葉輪寬 , 葉輪 轉(zhuǎn)速 ,出流徑向速度為 。 試求：（1）輸入葉輪的軸距 ； （2）輸入軸功率 解：取包圍整個葉輪的固定控制體 如圖中虛線所示，忽略體積力 和表面力。設流動是定常的， 由連續(xù)性方程可得: smVn/3 2 mmd30 1 mmd100 2 mmb10 min/4000 rn )(mNTs () s W W 例題B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動量矩方程 )kg/s9.425(30.011 . 010mm 3 2221 n bVd 例題B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動量矩方程 葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為 = 2n / 60 = 24000 /

13、 60 = 418.88 (rad/s ) V2 = R2 = d2 /2 = 418.880.1 / 2 = 20.94 (m/s) 流體的出口切向速度為 因入口為軸向流動，V1= 0，由歐拉渦輪機方程，軸矩為 )mN(9.869.42520.94 2 0.1 2 )( 2 1 12 -mV d mVrVrT 12s 輸入功率為 )kw(4.139.86418.88)( 2122s s TmVrVrW B4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程 設 (r, t)=e，e為單位質(zhì)量流體的儲存能： B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 2 2 v eegz sys sys Ee d 式中:

14、 e為單位質(zhì)量流體的內(nèi)能，v2/2為單位質(zhì)量流體的 動能，gz為單位質(zhì)量流體的重力勢能。 由系統(tǒng)廣延量的定義式，流體系統(tǒng)的能量為 (1) 設在 t 時刻流體系統(tǒng)與控制體相重 合，利用輸運公式，可得系統(tǒng)能量在 控制體上的隨體導數(shù)： D dd()d D sysCVCS eeeA tt vn 如圖，在流場中取固定不變形的控制 體CV，控制面為CS。 B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 d d d dd sys sys E eQW tt 根據(jù)熱力學第一定律，流體系統(tǒng)的能量方程為 (2) (3) B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 設在 t 時刻, 單位時間外界傳入系統(tǒng)的熱能與外界傳入 控制體的

15、熱能相同，系統(tǒng)對外界所做的功與控制體內(nèi)流體 對外界所做的功也相同，由(2)和(3)式，可得： d()d CVCS eeAQW t vn 上式中， 包括在控制面上流體壓強所作功率 和通過旋轉(zhuǎn)軸表面所作的功率（軸功率） , 及粘性切應力 所作摩擦功 ： W CS Apd)(nv s W v W CS vs WWApW d)(nv (4) (5) 上式為對固定不變形控制體的流體能量方程。 u 若流動為定常的，上式可變?yōu)椋?2 d()()d 2 sv CVCS vp eegzAQWW vn B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 將（5）式代入（4）式中，并利用（1）式，可整理得： 2 ()()d 2

16、 sv CS vp egzAQWW vn u 當控制體有多個一維出入口 時（如圖），忽略粘性切應力 所做功率，由定常流動能量方 程可得： B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 sinin 2 outout 2 ) 2 () 2 (WQm p gz V em p gz V e ) 2 ( 2 p gz V e上式中 取出入口截面上的平均值。 u 若只有一個出口（如圖） ： B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 由連續(xù)性方程 ， 上式可化為 mmm inout sin 2 out 2 ) 2 () 2 (wq p gz V e p gz V e 式中： 為單位時間內(nèi)外界傳給單位質(zhì)量流體的熱能；

17、 為單位時間內(nèi)單位質(zhì)量流體對外所做的軸功。 mQq / ss wWm 思考題： 以下哪個條件不適合下面的能量方程（ ） （A）粘性流體； （B）定常與不定常流動； （C） 取出入口截面上的平均值；) 2 ( 2 p gz v e B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 sin 2 out 2 ) 2 () 2 (wq p gz V e p gz V e 已知:下圖為一渦輪機示意圖，出入口面積相同A1= A2=0.0182m2。 其它條件為V1=30.48m/s, 1=8.556kg/m3, T1=760K; 2=3.5kg/m3, T2=495K。 渦輪機軸功率為 馬力，氣體熱力學方程為 試求

18、：（1）出口平均速度V2 ； （2）渦輪機傳熱率 700 s W )/(558,/KkgJcTcpe pp Q 例題B4.6.1 渦輪機傳熱：能量方程(1) 例題B4.6.1 渦輪機傳熱：能量方程(1) 設 , z1= z2, e+p/ = cpT，根據(jù)有多個一維出入口 的定常流動能量方程, 0 v W 22 21 21 () 22 pps VV mc Tc TQW sinin 2 outout 2 ) 2 () 2 (WQm p gz V em p gz V e 可得: 解： 連續(xù)性方程 outin mmm 渦輪機質(zhì)量流量為: 11 1222 32 (8.556kg/m )(0.0182m

19、)(30.48m/s)4.75kg/s mAVAV 例題B4.6.1 渦輪機傳熱：能量方程(1) （1）出口平均速度V2 將以上兩式代入前面的方程 （2）渦輪機傳熱率為: 例題B4.5.1 渦輪機傳熱：能量方程(1) 負號說明渦輪機吸收熱量。 B4.6.2 能量方程與伯努利方程比較能量方程與伯努利方程比較 p 伯努利方程推廣形式一 同伯努利方程相比，上式多了一項能量損失 ， 它可用于分析粘性流動，因此是伯努利方程的一種推廣 形式。 LL ghe 對不可壓縮流體一維定常流動，忽略摩擦功，若無外界 輸入軸功，ws=0，可得： 22 ()() 22 inoutL VpVp gzgze 式中 ，稱為能

20、量損失，包括向外傳熱 和內(nèi)能變化。 Loutin eqee 22 ()() 22 inoutLs in VpVp gzgzew 上式不僅適用于粘性流動而且允許在流動中有能量輸入， 是伯努利方程的第二種推廣形式。 B4.6.2 能量方程與伯努利方程比較能量方程與伯努利方程比較 p 伯努利方程推廣形式二 對不可壓縮粘性流體一維定常流動，若有外界輸入軸功 ws.in, 則 上式適用于可壓縮無粘性流體一維定常絕熱流動， 是伯努利方程的第三種推廣形式。 B4.6.2 能量方程與伯努利方程比較能量方程與伯努利方程比較 p 伯努利方程推廣形式三 對可壓縮無粘性流體一維定常流動，通常指高速氣體流 動，忽略重力影響，但內(nèi)能變化必須考慮，與外界無熱