離散型隨機(jī)變量的期望完整版

1、 對于離散型隨機(jī)變量，確定了它的分布列，對于離散型隨機(jī)變量，確定了它的分布列， 就掌握了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在實(shí)際問題就掌握了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在實(shí)際問題 中，我們還常常希望通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的中，我們還常常希望通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的 某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差。某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差。 某射手射擊所得環(huán)數(shù)某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：的分布列如下： 45678910 P0.020.040.060.090.280.290.22 引例引例： 根據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)根據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，在的分布列，在 n次射擊中，預(yù)計(jì)有大約次射擊中，預(yù)計(jì)有大

2、約0.02n次的次的4環(huán)環(huán) 1、期望、期望 類似地，對任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)類似地，對任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)的的 分布列，即已知各個(gè)分布列，即已知各個(gè)P（ =i)(i=0,1,2,3,10），則），則 可預(yù)計(jì)他任意可預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)是次射擊的平均環(huán)數(shù)是 E=0P（ =0）+ 1P（ =1）+ 10P（ =10） 稱稱E為此射手射擊所得環(huán)數(shù)為此射手射擊所得環(huán)數(shù)的的期望期望，它刻劃了隨機(jī)變量，它刻劃了隨機(jī)變量所取的平所取的平 均值，從一個(gè)方面反映了射手的射擊水平。均值，從一個(gè)方面反映了射手的射擊水平。 若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量的概率分布為的概率分布為 x1 x2

3、 xi P p1 p2 pi 則稱則稱E=x1p1+ x2p2+ + xnpn+ 為為的數(shù)學(xué)期望或的數(shù)學(xué)期望或 平均數(shù)、均值平均數(shù)、均值，又稱，又稱期望期望。 問：若問：若為上述離散型隨機(jī)變量，則為上述離散型隨機(jī)變量，則=a +b的分的分 布列怎樣？布列怎樣？ E 呢？呢？ 因?yàn)橐驗(yàn)镻（ =a xi+b）=P（ =xi），），i=1，2，3 所以，所以， 的分布圖為的分布圖為 a x1+b a x2+baxn+b Pp1p2pn 于是于是E =（a x1+b)p1+ （a x2+b)p2+ （a xn+b)pn+ =a（ x1 p1+ x2p2+ + xnpn+ ）+b（p1+p2+ +pn

4、+ ） =a E +b E（a +b）=a E +b 2、例題、例題 例例1： 隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子， 求所得骰子的點(diǎn)數(shù)求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的期望。的期望。 例例2 有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%。 對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，如果抽出件，如果抽出 次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次 品，但抽查次數(shù)最多不超過品，但抽查次數(shù)最多不超過10次。求抽查次數(shù)次。求抽查次數(shù) 的期望。（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）的期望。（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字） 解：解：抽查次數(shù)抽查次數(shù)取取11

5、0的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品 中每次抽取一件檢驗(yàn)的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取中每次抽取一件檢驗(yàn)的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取 出次品的概率是出次品的概率是0.15，取出正品的概率是，取出正品的概率是0.85，前，前k-1次次 取出正品而第取出正品而第k次（次（k=1，2，9）取出次品的概率）取出次品的概率 P（ =k）=g(k,0.15)=0.85k-10.15， （k=1，2，9）；）； 需要抽查需要抽查10次即前次即前9次取出的都是正品的概率次取出的都是正品的概率 P（ =10）=0.859 （為什么？）（為什么？） 3、結(jié)論、結(jié)論(1)：若：若B(n，p)

6、，則，則E= np E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0 P(=k)= Cnkpkqn-k證明：證明： =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0 ( k Cnk =n Cn-1k-1) 例例4 一次英語單元測驗(yàn)由一次英語單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題構(gòu)成，每 個(gè)選擇題有個(gè)選擇題有4

7、個(gè)選項(xiàng)。其中有且僅有一個(gè)是正個(gè)選項(xiàng)。其中有且僅有一個(gè)是正 確答案，每題選擇正確答案得確答案，每題選擇正確答案得5分。不作出選分。不作出選 擇或選錯(cuò)不得分，滿分擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對任分。學(xué)生甲選對任 一題的概率為一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都 從從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué) 生乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望。生乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望。 服從服從二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望的隨機(jī)變量的期望 若若B(n,p)，則，則E=np 例例5 5：一次英語單元測驗(yàn)由：一次英語單元測驗(yàn)

8、由2020個(gè)選擇題構(gòu)個(gè)選擇題構(gòu) 成，每個(gè)選擇題有成，每個(gè)選擇題有4 4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅 有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答 案得案得5 5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿 分分100100分。學(xué)生甲選對任一題的概率為分。學(xué)生甲選對任一題的概率為0.90.9 ，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4 4個(gè)選項(xiàng)個(gè)選項(xiàng) 中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在 這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望。這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望。 解解： 設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗(yàn)中

9、設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗(yàn)中 選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是 和和 ，則，則 B(20B(20，0.9)0.9)， B(20B(20，0.25)0.25)， EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5 由于答對每題得由于答對每題得5 5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這 次英語測驗(yàn)中的成績分別是次英語測驗(yàn)中的成績分別是55和和55。所以，。所以， 他們在測驗(yàn)中的成績的期望分別是他們在測驗(yàn)中的成績的期望分別是 E(5)E(5)5E5E5 518189090， E(5)E(5)5E5E5 55 52525 結(jié)論結(jié)論(2)：若

10、：若p(=k)=g(k，p)，則，則E=1/p 服從服從幾何分布幾何分布的隨機(jī)變量的期望的隨機(jī)變量的期望 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 E =p+2pq+3pq2+kpqk-1+ qE =pq+2pq2+3pq3+kpqk+ (1-q)E =p+pq+pq2+pq3+pqk+ 1 1 q p Pq E 1 1 1 例例5 在獨(dú)立重復(fù)的射擊試在獨(dú)立重復(fù)的射擊試 驗(yàn)中，某人擊中目標(biāo)的概驗(yàn)中，某人擊中目標(biāo)的概 率為率為0.2，則他在射擊時(shí)擊，則他在射擊時(shí)擊 中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù) 的期望是多少？的期望是多少？ 小結(jié)小結(jié)：1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。 2、公式、公式 3、若、若B(n,p)，則，則E=np E（a +b）=a E +b 練習(xí)練習(xí)：P14 16。 作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題1.2 P16 16 4：公式：公式 若若p(=k)=g(k，p)，則，則E=1/p 講評作業(yè)講評作業(yè):P9 習(xí)題習(xí)題3, 6 3 、某射手射擊擊中目標(biāo)的概率為、某射手射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，求從開始射，求從開始射 擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)的概率分布。的概率分布。 解：射擊次數(shù)解：射擊次數(shù)的概率分布為的概率分布為 123n P0.90.090.009 0.1n