拉普拉斯變換重點PPT學習教案

1、會計學1 拉普拉斯變換重點拉普拉斯變換重點 拉普拉斯（Laplace）變換在電學、光學、力學等工程技術 與科學領域中有著廣泛的應用由于它的像原函數 ( )f x 要求 的條件比傅里葉變換的條件要弱，因此在某些問題上，它比傅里葉變換的適用面要廣本部分首先從傅里葉變換的定義出發(fā)，導出拉普拉斯變換的定義，并研究它的一些基本性質，然后給出其逆變換的積分表達式復反演積分公式，并得出像原函數的求法，最后介紹拉普拉斯變換的應用 第1頁/共51頁 本節(jié)介紹拉普拉斯變換的定義、拉普拉斯變換的存在定理、 常用函數的拉普拉斯變換，以及拉普拉斯變換的性質 8.1.1 拉普拉斯變換的定義 傅里葉變換要求進行變換的函數在

2、無窮區(qū)間 , 有定義，在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并要求 第2頁/共51頁 ( ) df tt 存在這是一個比較苛刻的要求，一些常用的 函數，如階躍函數 )(tH ，以及 tttcos,sin, 些要求另外， 等均不滿足這 為自變量的函數，往往當 在物理、線性控制等實際應用中，許多以時間 0t 時沒有意義，或者不需要知道 0t 就限制了傅里葉變換應用的范圍 的情況因此傅里葉變換要求的函數條件比較強，這 第3頁/共51頁 為了解決上述問題而拓寬應用范圍，人們發(fā)現對于任意一 個實函數 ( ) t ，可以經過適當地改造以滿足傅氏變換的基本 條件 首先將函數 ( ) t ( ) t 乘以單位階躍

3、函數： 0 0 ( ) 1 0 t u t t 得到 ( )( ) ( )f tt u t ，則根據傅氏變換理論有 第4頁/共51頁 ii 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )d( )d tt f tt u tt u t etf t et FF 很顯然通過這樣的處理，當 0t 時， ( ) t 在沒有定 義的情況下問題得到了解決但是仍然不能回避 ( )f t 在 0,) 上絕對可積的限制為此，我們考慮到當 t 時，衰減速度很快的函數，那就是指數函數 , (0) t e 于是有 第5頁/共51頁 i(i ) 00 0 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i ) tttt

4、t pt f t et u t ef t eetf t et f t etp FF 上式即可簡寫為 0 ( )( )d pt F pf t et 這是由實函數 ( )f t 通過一種新的變換得到的復變函數， 這種變換就是我們要定義的拉普拉斯變換 第6頁/共51頁 定義8.1.1 設 實函數 ( )f t 在 0t 上有定義，且積分 0 ( )( )d pt F pf t et （ p 為復參變量） 上某一范圍 對復平面 p 收斂，則由這個積分所確定的函數 0 ( )( )d pt F pf t et （8.1.1） 稱為函數 ( )f t 的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（或稱為 像函數），記為

5、( ) ( )F pf tL 第7頁/共51頁 （說明：有的書籍記： ( )f p ( )f tL ，即 ( )f p 為函數 ( )f t 的拉氏變換） 綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數是一個 實自變量為 的復值函數，而拉氏變換的像函數則是一個復 變數 p 的復值函數，由式（8.1.1）式可以看出， ( ) (0)f tt 第8頁/共51頁 的拉氏變換實際上就是 ( ) ( ),(0) t f t u t e 的傅氏變換 （其中 ( )u t 為單位階躍函數），因此拉氏變換實質上就是 一種單邊的廣義傅氏變換，單邊是指積分區(qū)間從0到 廣義是指函數 ( )f t 要乘上 ( ) (0

6、) t u t e 之后再 作傅氏變換 例8.1.1 求拉氏變換 1L 第9頁/共51頁 Re0p ip 0 【解】 在 ,(按照假設 ) 即為 的半平面， 0 1 1d, pt et p 例8.1.2 求拉氏變換 .tL 【解】 在 Re0p 的半平面, 第10頁/共51頁 00 0 0 2 0 2 1 dd() 11 =d 11 =d, 1 = (Re0) ptpt ptpt pt tette p teet pp et pp tp p L 同理有 第11頁/共51頁 1 ! = n n n t p L 例8.1.3 求單位階躍函數 0, 0 ( ) 1, 0 t u t t 的拉氏變換 【

7、解】 由拉氏變換的定義，有 0 0 1 ( )d ptpt u tete p L 設 ip ，由于 第12頁/共51頁 (i) | | pttt eee ，所以，當且僅當 Re0p 時， lim0 p t t e ，從而有 1 ( ) (Re0)u tp p L 例8.1.4 求拉氏變換 , st esL 為常數. 【解】 在 ReReps 的半平面上 第13頁/共51頁 ()() 0 00 11 dd 1 (ReRe ) stptp s tp s t st e etete p sp s eps p s L 請記住這個積分以后會經常用到 例8.1.5 若 ( )sinf tt 或 cos (t

8、 拉氏變換 為實數），求 ( )f tL 第14頁/共51頁 【解】 (i )(i ) 00 1 sinsindd 2i ptptpt tteteet L 22 111 , Re0 2iii p ppp 同理 22 cos, Re0 p tp p L 第15頁/共51頁 例8.1.6 求拉氏變換 , st tesL 為常數. 【解】 在 ReReps 的半平面上， () 00 ()() 0 0 2 2 1 dd 1 d 1 = () 1 (ReRe ) () stptp s t p s tp s t st te ette ps teet ps ps teps ps L 第16頁/共51頁 同理

9、 1 ! () nst n n t e ps L 例8.1.7 若 at cetf)(a ( )f tL （為復數），求拉氏變換 【解】 () 0 0 d, ReRe p a t atatpt cec cece etpa p ap a L 第17頁/共51頁 8.1.2 拉氏變換的存在定理 定理 8.1.1 拉氏變換存在定理 若函數 )(tf 滿足下述條件： （1）當 0t)(tf0t )(tf 時， =0；當時， 在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)； （2）當 t 時， )(tf 的增長速度不超過某一 第18頁/共51頁 指數函數，即存在常數 M 及 0 0 ，使得 tMetf t 0,)( 0 則

10、( )( )f tF pL 在半平面 0 Rep 上存 在且解析 【證明】：證明 0 ( )( )d pt F pf t et 存在由 第19頁/共51頁 0 0 00 0 ( )dd, t pt M f t etMet 所以上述積分絕對收斂，且 )(pF 在右半平面 0 Rep 存在 然后證明 )(pF 解析為此，在積分號內對 p 導數，并取 求偏 101 ( 為任意實常數），則有 第20頁/共51頁 10 2 000 10 ()d()dd t ptpt M f t etf t etMtet pp 故積分 0 ( )d pt f t et p 在半平面 0 Rep 上一致收斂，可交換積分與微

11、商的次序，即 2 00 10 dd ( )( )d( )d dd ptpt M F pf t etf t et ppp 第21頁/共51頁 )(pF 0 Rep )(pF 0 Rep 故的導數在 且有限，可見 在半平面 內解析 上處處存在 8.2 拉普拉斯逆變換概念 定義8.2.1 拉氏逆變換 若滿足式： 0 ( )( )d pt F pf t et ，我們稱 ( )f t 第22頁/共51頁 為 ( )F p 的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為 原函數），記為 1 ( ) ( )f tF p L 為了計算拉氏逆 變換的方便，下面給出拉氏逆變換的具體表達式 實際上 ( )f t 的拉氏變

12、換，就是 ( ) ( ) t f t u t e (0) 的傅氏變換.因此，當 ( ) ( ) t f t u t e 滿足傅氏 積分定理的條件時，根據傅里葉積分公式， ( )f t 在連續(xù)點處 第23頁/共51頁 ii i(i ) 0 i 1 ( ) ( )( ) ( )d d 2 1 =( )d d 2 1 =(i )d (0) 2 tt t t f t u t efueee efe Fet 等式兩端同乘 t e ，并注意到這個因子與積分變量 無關， 故 0t 時 第24頁/共51頁 (i) 1 ( )(i )d 2 t f tFe 令 ip ，則有 i i 1 ( )( )d (0) 2

13、i pt f tF p ept （8.2.1） 上式為 ( )F p 的拉普拉斯逆變換式，稱為拉氏逆變換式 記為 1 ( ) ( )f tF p L 并且 ( )f t 稱為 第25頁/共51頁 ( )F p 的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函 數或原函數） （8.2.1）稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數求原函數 上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式 的一般公式 注意：公式 0 ( )( )d pt F pf t et 和公式 i i 1 ( )( )d , (0) 2i pt f tF p ept 構成一對互逆的 第26頁/共51頁 積分變換公式， ( )f t( )F p 也

14、稱 和 構成一組拉氏變換對。 8.3 拉氏變換的性質 雖然，由拉氏變換的定義式可以求出一些常用函數的拉氏變換但在實際應用中我們總結出一些規(guī)律：即拉氏變換的一些基本性質通過這些性質使得許多復雜計算簡單化 我們約定需要取拉氏變換的函數，均滿足拉氏變換存在定理的 條件 第27頁/共51頁 性質1 線性定理 若 , 為任意常數，且 1122 ( )( ),( )( )F pf tFpf tLL ，則 1212 111 1212 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f tf tf tf t F pF pF pF p LLL LLL (8.3.1) 【證明】 1212 0 ( )(

15、)( )( )d pt f tf tf tf t et L 第28頁/共51頁 12 00 12 ( )d( )d ( )( ) ptpt f t etf t et f tf t LL 根據逆變換的定義，不難證明第二式具體留給讀者去證明 例8.3.1 求 函數 3 ( )cos36 t f tte 的拉氏變換. 【解】 3 22 6 ( )cos3 6 33 t p f tte pp LLL 第29頁/共51頁 例8.3.2 求函數 1 ( ) (0,0,) ()() F pabab pa p b 的拉氏逆變換 【解】 因為 111 11111 ( ) ()() 1111 ( ) 1 () a

16、tbt atbt F p papbabpabapb F p abpabapb ee ee abbaab LLL 第30頁/共51頁 例8.3.3求 sh,atLchatL 【解】 22 111 sh 22 atat eea at p apapa LL 22 111 ch 22 atat eep at papapa LL 性質2 延遲定理 第31頁/共51頁 若設 為非負實數， ( )( )f tF pL ，又當 0t 時， ( )0f t ，則 ()( ) ( ) pp f teF pef t LL (8.3.2) 或 1 ( )() p eF pf t L 【證明】由定義出發(fā)，隨后令 tu

17、，可得 () 0 ()()d( )d ptp u f tf tetf u eu L 第32頁/共51頁 u)(uf 利用0時， =0，積分下限可改為零，故得 0 ()( )d ( ) ppup f tef u euef t LL 例8.3.4 已知 0 0 0, (0) ( ), (0) 0, () t f tctt tt ，求 ( )f tL 【解】用階躍函數表示 )(tf )()()( 0 ttcHtcHtf 第33頁/共51頁 再利用線性定理及延遲定理，有 00 0 ()()()1 ptpt ccc f tcH tcH t tee ppp LLL 性質3 位移定理 若 ( )( )f t

18、F pL ，則有 0 ( )(), (Re() at e f tF papapL (8.3.3) 0 p ( )f t 其中是的增長指數 證明 根據定義 第34頁/共51頁 0 () 0 ( )( )d ( )() atatpt p a t e f te f t et f t edtF pa L 例8.3.5 求 t te L 【解】令 )(tft( ) ( ) F pf ttLL =，則由 得 2 1 t p L = )(pF 利用位移定理 ( )() at e f tF paL ，即有 第35頁/共51頁 2 1 () () t teF p p L 性質4 相似定理 設 ( )( )f t

19、F pL ，則對于大于零 的常數 c ，有 1 ()() p f ctF cc L （8.3.4） 【證明】由定義出發(fā)，隨后作變量代換 ctu ，則 00 ( )( )d( )d u p pt c u f ctf ct etf u e c L 第36頁/共51頁 0 11 ( )() p u c p f u eduF ccc 性質5 微分定理 設 ( )( )f tF pL ( ) ( ) (1,2,) n ftn 存在且分段連續(xù)，則 ( 2 ( )12(1)2) ( ) ( )(0) ( ) ( )(0)(0) ( ) ( )(0)(0)(0)(0) nnnnnn f tpf tf f tp

20、f t pf pff ftpf tpfpff LL LL LL （8.3.5） 第37頁/共51頁 【證明】 由定義出發(fā)，隨后用分部積分，可得 0 00 ( )( )d( )( )d ptptpt f tf t etf t epf t et L (0)()( )(0)fpF ppf tf L )(t f )(tf 同理，用取代上述的 ，可得 ( )( )(0)ftpftfLL 2 ( )(0)(0) ( )(0)(0) p pf tff pf tpff L L 第38頁/共51頁 繼續(xù)作下去，即得所證 特別地，當 () (0)0 (0,1,2,1) k fkn 則 ( ) ( ) nn ftp

21、f tLL 性質6 像函數的微分定理 d ( )()( ) d n n n F ptf t p L (8.3.6) 【證明】在拉氏變換定義式兩邊對 p 求導 第39頁/共51頁 00 dd ( )( )d ( )d dd ptpt f pf t etf t et ppp 0 () ( )d() ( ) pt t f t ett f t L 2 2 00 dd ( )() ( )d() ( )d dd ptpt F pt f t ett f t et ppp 22 0 ()( )d()( ) pt tf t ettf t L 繼續(xù)作下去，即得所證 第40頁/共51頁 性質7 積分定理 設 ( )

22、( )f tF pL ，則 0 11 ( )d ( )( ) t ff tF p pp LL (8.3.7) 【證明】設 0 ( )( )d t g tf ，則 0)0(),()(gtftg 由微分定理，有 ( ) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLLL 即 1 ( )( )g tg t p LL 第41頁/共51頁 由 )()(tftg 可得 0 111 ( )d ( )( ) ( )( ) t fg tg tf tF p ppp LLLL 一般地對應n重積分，我們有 000 1 dd( )d ( ) ttt n ttfF p p L 性質8 像函數的積分定理 第42頁/共51頁

23、 ( ) ()d p f t F pp t L (8.3.8) 【證明】由拉氏變換的定義式出發(fā)，隨后交換積分次序 00 d()d( )dd( )d p tp t ppp F ppf t etpepf tt 00 ( ) ( )d( )d p tpt pp eef t f ttf tt ttt L 上面交換積分次序的根據是 0 ( ) p t f t edt 在滿足 第43頁/共51頁 0 Re p 條件下是一致收斂的 性質9 拉氏變換的卷積定理 (1) 定義 8.3.1 拉氏變換的卷積 前一章我們學習了傅氏變換的卷積概念和性質，當 12 ( ),( )f tft 是 (,) 上絕對可積函數時，它們的卷積是 1212 ( )*( )( )()df tf tff t 第44頁/共51頁 0t 12 ( )( )0f tft 如果當 時，有 ，則上式可寫為 1212 0 0 1212 ( ) ()* ()( ) ()d( ) ()dd t t ff tf t f tff tff t 1212 0 ( )* ( )( ) ()d (10.3.9) t f tf tff t 因為在拉氏變換中總認為 0t 時，像函數 ( )f t 因此把上式（8.3.9）定義為拉氏變換的卷積 恒為零， 第45頁/共51頁 （2）拉氏變換的卷積定理 1212 ( )( )( )( )f