面面垂直的判定與性質匯編

1、 二、直線與平面垂直的判定定理二、直線與平面垂直的判定定理 , , mn mnOa am an 線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直 1.圖形表示圖形表示 2.符號表示符號表示 a m n O 關鍵：線不在多，關鍵：線不在多，相交相交則行則行 一、直線與平面垂直的定義一、直線與平面垂直的定義 復習回顧：復習回顧： （一）請同學們回憶（一）請同學們回憶“如何判定直線和平如何判定直線和平 面垂直？面垂直？” 一、平面幾何知識： 等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊 勾股定理 圓直徑所對的圓周角是直角 菱形對角線互相垂直 矩形鄰邊互相垂直 二、空間直線和平面垂直的定義。 復習回顧：復習回顧： （二）判斷空間

2、垂直關系的關鍵是線線垂直，（二）判斷空間垂直關系的關鍵是線線垂直， 你能想起多少種判斷線線垂直的方法？獨立思考你能想起多少種判斷線線垂直的方法？獨立思考 后舉手回答，其他同學可作補充。后舉手回答，其他同學可作補充。 一、直觀感知，導入新課：一、直觀感知，導入新課： （一）、生活中面面垂直的例子無處不在，（一）、生活中面面垂直的例子無處不在， 你能舉幾個例子嗎？請獨立思考后舉手發(fā)言，你能舉幾個例子嗎？請獨立思考后舉手發(fā)言， 其他同學可作補充。其他同學可作補充。 門扇所在的平面和地面所在的平面之間的位門扇所在的平面和地面所在的平面之間的位 置關系置關系 墻所在的平面和地面所在的平面之間的位置墻所在

3、的平面和地面所在的平面之間的位置 關系關系 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一 條垂線，則這兩個平面互相垂直條垂線，則這兩個平面互相垂直 A B 返回 ：如果一個平面經(jīng)過另一個：如果一個平面經(jīng)過另一個 平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 l l l l 2.符號表示：符號表示： l 線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直線線垂直線線垂直 面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理 1.圖形表示：圖形表示： 探究探究1 1： A C B D A1 C1 B1 D1 （二）在如圖正方體（二）在如圖正方體, ,請問正方體的哪些面與請問正方體

4、的哪些面與 垂直垂直? ? 1 ABAC面面 11 BCBA面面 111 CABA面面 11 ADBA面面 1 AB面 ,ABBCD BCCD已知面 ABCBCD面面 ABCACD面面 ABDBCD面面 ABBCD面 CDABC面 ABBCD面 （三）（三） A B C D ，判斷在該判斷在該 幾何體中哪些面互相垂直？幾何體中哪些面互相垂直？ A B O P （四）、在獨立思考的基（四）、在獨立思考的基 礎上，在練習本上寫出礎上，在練習本上寫出 證明過程，注意符號準證明過程，注意符號準 確，邏輯合理。確，邏輯合理。 例例1 如圖，如圖，AB是是 O的直徑，的直徑， PA垂直于垂直于 O所在的所

5、在的 平面，平面，C是圓周上不同于是圓周上不同于A, B的任意一點。的任意一點。 求證：平面求證：平面PAC平面平面PBC. 證明證明: :設已知O平面為,PABC面面 BCPA 為圓的直徑又AB BCAC PAACA BCPAC面 PACPBC面面 BCPBC面 PABC ACBC PAPAC ACPAC 面 面 例例2 2：正方體：正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中 求證求證: : 111 AACCABD面面 證明證明: 1 AAABCD面 ABCDBD面又 1 AABD BDAC 1 ACAAA且 11 BDAACC面 1 BDABD面 111

6、AACCABD面面 A C B D A1 C1 B1 D1 練習練習3： ABCD是正方形，是正方形，O是正方形的是正方形的 中心，中心，PO平面平面ABCD，E是是PC的中點，的中點， 求證求證：(1) AP平面平面BDE； (2)平面平面PACBDE. P O A B C D E 找線面垂直，用判定定理找線面垂直，用判定定理 計算二面角為計算二面角為90，用定義，用定義 . . . . , . BCEDFGA BDEADE GDEAF ABCa PBCPAC BAC OPAOAB 平面平面求證：平面求證：平面 折成二面角折成二面角 ，將此三角形沿，將此三角形沿相交于點相交于點與中位線與中位

7、線 的中線的中線的正三角形的正三角形如圖，已知邊長為如圖，已知邊長為 平面平面求證：平面求證：平面 的任意一點，的任意一點，是圓周上不同于是圓周上不同于的平面，的平面， 所在所在垂直圓垂直圓的直徑，的直徑，是圓是圓如圖，如圖， 2 1 找線面垂直，用判定定理找線面垂直，用判定定理 計算二面角為計算二面角為90，用定義，用定義 . , ,. . , ,. BCDABD aACCDCBADAB aBDABCD BGDBEF ACDADCGFEDACD BCABABDC 平面平面求證：平面求證：平面 中，中，如圖，在四面體如圖，在四面體 平面平面求證：平面求證：平面 的中點的中點分別是分別是， 中，

8、中，如圖，在空間四邊形如圖，在空間四邊形 24 3 已知黑板面與地面垂直，你能在黑板面內找到一條已知黑板面與地面垂直，你能在黑板面內找到一條 直線與地面平行、相交或垂直嗎？這樣的直線分別直線與地面平行、相交或垂直嗎？這樣的直線分別 有什么性質？有什么性質？ 類比：面面平行類比：面面平行線面平行，線面平行， 面面垂直面面垂直線面垂直？線面垂直？ 判定定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線判定定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線 的直線與另一個平面垂直的直線與另一個平面垂直. 簡記：簡記：垂直，則垂直，則垂直垂直 符號語言：符號語言： 圖形：圖形： ., mlmml則則若若 l m 1.

9、求證求證:如果兩個平面互相垂直如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內那么經(jīng)過第一個平面內 的一點垂直于第二個平面的直線的一點垂直于第二個平面的直線,在第一個平面內在第一個平面內. .:.,: aaaPP求求證證已已知知 c P b a cP b a . , ,. 并并證證明明 的的位位置置關關系系，與與平平面面判判斷斷直直線線 滿滿足足，直直線線平平面面已已知知平平面面 aa aa 2 線線垂直 面面垂直 線面垂直 線線平行 all則則，若若, ., , lPnm nmnlml 則則 若若 則則若若,ll ., mlmml則則若若 bab/,則則，若若 . )( ;)( ., ,. . ,

10、. 直角三角形直角三角形 是是的垂心時，求證：的垂心時，求證：為為當當 平面平面求證：求證： 為垂足為垂足平面平面面面 平平平面平面平面平面如圖，平面如圖，平面 直角三角形直角三角形 都是都是和和，求證：，求證：且使且使 ，平面平面作作的垂心的垂心過銳角過銳角 ABCPBCE ABCPA EPBCAEABC PACABCPAB APCBPCAPB ABCPHHABC 2 1 2 90 1 .)( ;/)( . , . .,)( ;)( ., ,. 111 11 1 1111 2 1 60 4 452 1 3 AACCAFC ABCDMF ACMBB FAAADDAB DCBAABCD PCDM

11、NPDA CDMN PCAB NMABCDPA 平面平面求證：平面求證：平面 平面平面求證：求證： 的中點的中點為線段為線段的中點，的中點， 為棱為棱面是菱形，且面是菱形，且 的底的底如圖，已知直四棱柱如圖，已知直四棱柱 面面求證：求證：若若 求證：求證： 中點中點別是別是 分分所在平面，所在平面，矩形矩形如圖，如圖， ., , , . ./, . 的長的長求線段求線段 內，內，和平面和平面 分別在平面分別在平面上取線段上取線段 的交線的交線與與，在，在平面平面如圖，平面如圖，平面 都垂直相交，求證：都垂直相交，求證： 與異面直線與異面直線中，中，正方體正方體 CDcmBD cmAClBDlA

12、C BDACcmABl BDEFDAAC EFDCBAABCD 12 3 4 6 5 11 1111 已知：直線已知：直線AB 平面平面 ，直線，直線AB 平面平面 。 求證：求證：平面平面 平面平面 。 證明：設證明：設 =CD =CD，則，則AB AB =B =B ， 在平面在平面內過內過B B點作點作BECDBECD。 A B C D E C CD D A AB B CDCDABAB CDCDBEBE CDCDABE是二面角ABE是二面角 的的平平面面角角 B BE EA AB B 9090ABEABE 。為為直直二二面面角角C CD D二二面面角角 平面平面。平面平面 BEBE ABA

13、B 已知：平面已知：平面 平面平面，平面，平面 平面平面=CD=CD， 求證：直線求證：直線ABAB平面平面。 ABCDABCD且且ABAB交交CDCD于于B B。A平面平面 ， A B C D E 證明：證明：在平面在平面內過內過B B點作點作BECDBECD， CDCDBEBE CDCDABAB CDCDABE是二面角ABE是二面角 的的平平面面角角 。 9 90 0A AB BE E BEBEABAB CDCDABAB CDCD BEBE B BC CD DB BE E 。ABAB 1 1 二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角 平面的一條直線把平面分為平面的一條直線把平面分為兩兩

14、部分，部分， 其中的每一部分都叫做一個其中的每一部分都叫做一個半平面半平面。 從一條從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組直線出發(fā)的兩個半平面所組 成的圖形叫做成的圖形叫做二面角二面角。 （1 1）半平面半平面 （2 2）二面角二面角 l l l l l l 按此繼續(xù) l A B 二面角二面角 AB l 二面角二面角 l 二面角二面角CAB D A B C D 5 O B A AOB 二面角的認識二面角的認識 注 意 二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足： 3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱 1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上 2）角的兩邊分別在兩個面內角的兩邊分別在兩個面內 以二面角的以二面角的棱上任意一點棱上任意一點為端點，為端點，在在 兩個面內兩個面內分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線，這的兩條射線，這 兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 10 l O A B A O B 二面角的平面角二面角的平面角 1、定義法定義法 根據(jù)定義作出來根據(jù)定義作出來 2、垂面法垂面法 作與棱垂直的平面與作與棱垂直的平面與 兩半平面的交線得到兩半平面的交線得到 l A B O 12 l O