中心力場第二講PPT課件

1、2021/6/71 中心力場的特征：中心力場是球?qū)ΨQ場，勢V(r) 幾種特殊中心力場 萬有引力場 庫侖場原子結(jié)構(gòu)中占有特別重要的地位 各向同性諧振子場 無限深球方勢阱 原子核結(jié)構(gòu)中占有重要的地位 中心力場中運(yùn)動(dòng)粒子的特征 1角動(dòng)量守恒，能量守恒 2能量必是簡單的（角動(dòng)量為零的態(tài)除外） 第二講第二講 中心力場中心力場 2021/6/72 哈密頓量 )( 2 )( 2 1 2 2 2 rVrVpH 角動(dòng)量 prL 對易關(guān)系 kijkji LiLL 0 2 pL 0)( rVL 0 HL （角動(dòng)量守恒） 0 2 HL 0 2 z LL , , 2 z LLH構(gòu)成守恒量的完全集合 能量的本征方程 Er

2、V )( 2 2 2 在球坐標(biāo)系下，方程可寫成 )( 1 2 22 2 2 2 2 VE r L r r rr 取為 , , 2 z LLH的共同本征態(tài) ),()(),( lm YrRr 一一 粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)的一般描述粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)的一般描述 2021/6/73 代入方程（2），得到徑向方程 0 ) 1( )( 21 2 2 2 2 2 R r ll rVE dr dR r dr d r 注：（1）不同的中心力場V(r)決定不同的波函數(shù)R(r)及能量本征值E。 （2）由于中心力場的球?qū)ΨQ，致使徑向方程中不含磁量子數(shù)m，因此能量與m無關(guān)。 令 r ru rR )( )( 代入（4），

3、則有 0)( ) 1( )( 2)( 222 2 ru r ll rVE dr rud 注：（1）方程（6）類似半壁無限高勢壘中粒子一維運(yùn)動(dòng)方程。 （2）方程（6）中出現(xiàn)一項(xiàng)由軌道角動(dòng)量引起的附加勢能離心勢能 2 2 2 ) 1( r ll 。角 動(dòng)量愈大，則離心勢能愈大能級愈高。離心勢能是正定的，因此，中心力場中粒 子的基態(tài)必屬于l=0的態(tài)。 一般說來，中心力場中粒子的能量是（2l+1）重簡并。 兩體問題兩體問題 實(shí)際問題中出現(xiàn)的中心力場問題，常為二體問題。 設(shè)二粒子的質(zhì)量分別為m1和m2，相互作用勢為|)(| 21 rrV 二粒子體系的能量本征方程 2021/6/74 )()(|)(| 2

4、2 2121212 2 2 1 1 2 rrErrrrV mm t (7) 引入質(zhì)心坐標(biāo)R 及相對坐標(biāo)r 21 2211 21 mm rmrm R rrr 222 2 2 2 1 1 1111 R Mmm 其中 M = m1+m2 （總質(zhì)量） )( 2121 mmmm （約化質(zhì)量） 2 2 2 2 2 2 2 XZY R 2 2 2 2 2 2 2 zyx 這樣，方程（7） 化為 tR ErV M )( 22 2 2 2 2 令 )()(rR 2021/6/75 代入（8）式，分離變量后，得 )()( 2 2 2 RER M cR （9） )()()( 2 2 2 rErrV （10） 其中

5、E = Et - Ec 說明：（9）式描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)自由粒子的波動(dòng)方程，Ec是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量，這一部分 與我們研究的體系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)無關(guān)，常常不考慮。 （10）式描述相對運(yùn)動(dòng)部分，E是相對運(yùn)動(dòng)能量，（10）式與單體波動(dòng)方程完全一樣， 只不過把理解為約化質(zhì)量。 附 21 21 21 21 zzz yyy xxx rrr M zmzm Z M ymym Y M xmxm X M rmrm R 2211 2211 2211 2211 XM m xXx X xx x x 1 111 XM m xXx X XM m xxx x x 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 11 2 2 2 XM m

6、 XxM m x 2021/6/76 同理： 2 2 2 2 11 2 2 2 1 2 2 YM m YyM m yy 2 2 2 2 11 2 2 2 1 2 2 ZM m ZzM m zz 2 2 2 112 2 1 2 1 2 1 2 1 2 RRrr M m M m zyx 同理： 2 2 2 2222 2 2 RRrr M m M m RrRrRrRr M m M m mM m M m m 22 2 2 22 2 2 12 2 2 12 1 2 2 2 2 2 ),(),()(rRErRrV t )()()( 22 2 2 2 2 rRErRrV M tRr 2021/6/77 二二

7、 球方勢阱球方勢阱 1無限深球方勢阱無限深球方勢阱 ar ar rV 0 )( 此種情況下，徑向方程 0 ) 1( )( 22 222 2 R r ll rVE dr dR rdr Rd 可寫成 0 ) 1(2 2 2 2 2 R r ll k dr dR rdr Rd V(r) a r Ek2 0)( ar rR （1） （2） 令 kr ，方程（1）改寫為 0 ) 1( 1 2 22 2 R ll d dR d Rd （3） 此為球貝塞爾方程，其兩個(gè)特解 球貝塞爾函數(shù) )( 2 )( 2 1 l l Jj 球諾伊曼函數(shù) )( 2 ) 1()( ) 2 1 ( 1 l l l Jn （4）

8、（5） 2021/6/78 這里， )( 2 1 l J 和 )( ) 2 1 ( l J 為半奇數(shù)階Bessel函數(shù)。（4）、（5）可寫成 sin1 )()( l ll l d d j cos1 )()( 1 l ll l d d n 當(dāng)0時(shí)，)( l j )( l n )()( lll jCR 因此在ra范圍內(nèi)的徑向波函數(shù)應(yīng)取為 即 )()(krjCrR lll （6） Cl為歸一化常數(shù)，k由（束縛態(tài)）邊界條件（2）確定 有限 無限 0)()(kajCaR lll （7） 3, 2, 1, 0 rln nxka r （1）當(dāng)球方勢阱的半徑為有限值時(shí)）當(dāng)球方勢阱的半徑為有限值時(shí) lnr 為l

9、階球Bessel函數(shù)的零點(diǎn)，由此得 3, 2, 1, 0 rlnln naxk rr （8） 2021/6/79 所以，徑向方程（1）滿足自然定解條件（有限性）及束縛態(tài)條件（2）的解： )(rkjCR lnllnln rrr （9） 按歸一化條件 1)( 2 0 2 drrrR a lnr 求出 （10） 此時(shí) （11） 在有限半徑a的無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量本征態(tài) 2 1 11 3 )()( 2 akjakj a C lnllnnln rrr a nnlnln rrrr drrrRrR 0 2 )()( （12） ),()(),( lmlnlmn YrRr rr 3, 2, 1, 0 r

10、 n 3, 2, 1l llllm, 1, 0,),1(, 能量本征值由 及（8）給出Ek2 2021/6/710 （13） 是(2l+1)重簡并 2 2 2 2 lnln rr x a E lnr E 由于 0)( r l krj 邊界條件 自然得到滿足，對k或能量E不再有任何限制，即能量取連續(xù)譜， 這相當(dāng)于自由粒子的情況，由（10） ，此時(shí)，波函數(shù)不能歸一化，但通常選擇 徑向波函數(shù)如下： 0)( a rR 0 a lnr C )( 2 )(krkjrR lkl 0 2 )()()(kkdrrrRrR lkkl （2） 當(dāng)球方勢阱半徑當(dāng)球方勢阱半徑 a時(shí)時(shí) 2021/6/711 2有限深球方

11、勢阱有限深球方勢阱 arV ar rV 0 0 )( V(r) a r 考慮束縛態(tài)（EV0）情況 將V(r)的表示式代入中心力場中 運(yùn)動(dòng)粒子的徑向方程 有 （14） 0 ) 1( )( 21 22 2 2 R r ll rVE dr dR r dr d r )(0 )1(2 2 2 arR r ll kR r R （15） 其中 （16） （17） 方程（14），（15）為球Bessel方程，在各自區(qū)域內(nèi)的有限解分別為 )(0 ) 1( )( 2 2 2 arR r ll k iR r R 22 2Ek 2 0 2 )(2EVk 2021/6/712 )()()(arkrjArR ll )()

12、()( )1( arkrhBrR ll 是球貝塞爾函數(shù)， 是虛宗量的球漢克爾函數(shù)，按照波函數(shù)及其微商 （或 ，或 ）在界面r = a上連續(xù)以及在全空間的歸一化條件，可以求出 粒子的能量本征值和歸一化條件Al、Bl。 若僅考慮能量本征值，以l=0為例 )(krjl)( )1( krhl dr dR R 1 )(rRnl dr d )( sin )()( 0 00 ar kr krA krjArR )()()( 0 ) 1 ( 00 ar rk i eiB krhBrR rk kctgkrkrrj dr d rR dr d )(ln()ln( 0 kkrrh dr d rR dr d )(ln)l

13、n( )1( 0 由 立即有 arar krrh dr d krrj dr d )(ln()(ln( )1( 00 2021/6/713 或 ka在、象限中，上式還可改為 kkctgka 0 k k ctgka )2(sin 2 000 mvkakkaka sin ka ka y=ka/k0a y=-ka/k0a 用圖解法作曲線 kaysin akkay 0 曲線的交點(diǎn)給出其在橫坐標(biāo)軸上 的坐標(biāo)值 ， 由此及（16）式，給出能量的本 征值 , 2, 1 rn nak r 2 2 2 2 rr nn x a E 2021/6/714 附：附： 1球球Bessel函數(shù)的正交性函數(shù)的正交性 球Bes

14、sel函數(shù)的模 0)()( 0 2 L nm djj )()()( 2 1 )( 11 23 0 22 LjLjLjLdj lll L n kkctgak 22222222 sin)(sincoskkakkkakkak 2 0 2 0 22 0 22 22)(2 k mVmEEVm kk 2 0 2 2 sin k k ka 0 sin k k ka 2 2021/6/715 三、維各向同性諧振子場三、維各向同性諧振子場 1在三維笛卡爾坐標(biāo)系中求三維各向同性諧振子問題在三維笛卡爾坐標(biāo)系中求三維各向同性諧振子問題 體系的哈密頓算符為 （1） schrdinger方程 )( 2 1 2 1 222

15、2222 zyxpppH zyx （2）),(),()( 2 1 2 1 2222222 zyxEzyxzyxppp zyx )( )( )( 321 zHyHxHH 我們用分離變量法解（2）式，首先（1）式的哈密頓算符可寫為 其中 令 （3） （4） ),(3, 2, 1 2 1 2 1 222 zyxixpH iii )()()(),(zyxuzyx 321 EEEE 則（2）式可分離成為以下三個(gè)方程 2021/6/716 （5） )()( 2 1 2 1 )()( 2 1 2 1 )()( 2 1 2 3 22 2 2 2 22 2 2 1 22 2 22 zEzz dz d yEyvy

16、 dy d xuExux dx d （5）式中的每個(gè)方程式的形式與一維線性諧振子的定態(tài)Scrdinger方程相同，這樣 可用一維線性諧振子的結(jié)果求解（這相當(dāng)于選擇 作為力學(xué)量的完全集） （6） 321 , , HHH )( !2 )( )( !2 )( )( !2 )( 22 22 22 2 12 1 2 1 2 1 2 12 1 zHe n z yHe n y xHe n xu z z z y y y x x x n z z n n n y y n n n x x n n 2021/6/717 （7） , 2, 1, 0 2 1 , 2, 1, 0 2 1 , 2, 1, 0 2 1 3 2

17、 1 zz yy xx nnE nnE nnE 故得三維各向同性線性諧振子的能量本征函數(shù)為 （8） 相應(yīng)的能量本征值為 )()()(),(zyxuzyx zyxzyx nnnnnn （9） （10） 2 3 321 NEEEEN ), 2, 1, 0(NnnnN zyx 2021/6/718 能級簡并度：能級簡并度： 由（10）式看出，滿足 的 的值事實(shí)上不止一組，這意味著三維 諧振子的能級具有簡并特點(diǎn)。 對于給定N，有 zyx nnnN zyx nnn, （ny, nz可能取值的數(shù)目） 0,1, 21 , 1, 210 NNNnn NNn yx x 12, 11NNN 即當(dāng)N 給定時(shí)，nx可

18、取0，1，2，N 等N+1個(gè)值。當(dāng)nx固定時(shí)，ny有0，1，2， 等 個(gè)取法，nx，ny都取定后，nz只有一種取法，即 。所 以 可能取值的數(shù)目，即量子態(tài)數(shù)目（簡并度）為 x nN 1 x nN yxz nnNn ),( zyx nnn N n xN x NNNnNf 0 123) 1() 1() 1( 2 )2)(1( NN 2021/6/719 2 2、在球極坐極系下求解三維各向同性線性諧振子問題、在球極坐極系下求解三維各向同性線性諧振子問題 三維各向同性線性諧振子勢 哈密頓量 22 2 1 )(rrV 222 2 2 1 2 rH 22 22 2 2 2 2 2 1 1 2 r r L

19、r r rr 定態(tài)Schrdinger方程 （11） 由于各向同性，勢能僅與r有關(guān)，而與角度及無關(guān)，故可用分離變量法求解（11）式 ，令 0),( 2 ),( 1 2 2 22 222 2 2 2 rrEr r L r r rr （12） 滿足方程 ),()(),( lm YrRr ),( lm Y 2, 1, 0),() 1(),( 22 lYllYL lmlm 2021/6/720 或 波函數(shù)中的徑向部分R(r)滿足微分方程 lm lmlm Yll YY ) 1( sin 1 sin sin 1 2 2 2 （13） 令 k與的量綱均為長度-1，此時(shí)，方程（13）化為 0 ) 1(21 2

20、2 222 2 2 2 R r llrE dr dR r dr d r , 2 , 2 22 22 4 2 2 E k E k （14） r=0與是微分方程的奇點(diǎn)，其余r為常點(diǎn)。現(xiàn)在研究當(dāng)r0及r 時(shí)，解R(r)的形式 當(dāng)r，方程（14）近似表為 0 ) 1(2 2 242 2 2 R r ll rk dr dR rdr Rd R(r)有兩個(gè)解： 0 24 RrR 22 2 1 r eR 但 不滿足波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的邊界條件（幾率為0），棄之，因此，只能取 22 2 1 r eR 2021/6/721 （15） 當(dāng)r0，方程（14）近似表為 )( 22 2 1 reR r R(r)有兩個(gè)解 但

21、因 ，解 不滿足波函數(shù)在r=0處的有界條件 因此，只能取 0 ) 1(2 2 R r ll R r R )1( ,)( ll rrrR 0l )1( l r （16） 綜合（15）與（16）式，可設(shè)方程（14）的一般解為 （17） 代入（14），經(jīng)計(jì)算化簡，得到u(r)滿足的微分方程為 )0(rrR l )()( 22 2 1 ruerrR r l （18） 引進(jìn)無量綱變數(shù)及參量 0)2/3(2)1( 2 2222 2 2 ulk dr du rl rdr ud （19） 22r 2021/6/722 E Ek s 2 2 2 22 2 （20） 代入（18）式，經(jīng)計(jì)算，可得出 （21） 此為

22、合流超幾何方程。 0 2 2/3 2 ) 2 3 ( 2 2 u ls d du l d ud 用冪級數(shù)法求解（21）式，=0點(diǎn)是方程的正則奇點(diǎn)，=是非正則奇點(diǎn)，其余 為常點(diǎn)，在=0點(diǎn)的鄰域內(nèi)，可令方程的解為 （22） 代入（21）有 0 )( r r r n n n au 21 11 2 3 ) 1( rr r r r r nn n nr n nrr anlann 10 0) 2 2 3 2 ( rr r r r r nn n n n nr a l s an 2021/6/723 由此，得出級數(shù)的系數(shù)遞推公式 （23） 或 )2/3)(1( 2 2 3 2 1 lnn nl s a rr r

23、 nr （24） )2/3)(1( 2 2 3 2 1 lnn nl E a rr r nr 在 的情況下，式（22）是一無窮級數(shù)。當(dāng) 時(shí)， ，這樣的無窮級數(shù)代入（17）式，所得到的徑向波函數(shù)在 時(shí)趨于， 不滿足在無窮遠(yuǎn)處幾率為零的邊界條件。因此，必須要求無窮級數(shù)解中斷為一多項(xiàng)式。 02 2 3 2 r nl E ea r r r n n n 0 當(dāng) （25） 02 2 3 2 r nl E 或 （26） 時(shí)，級數(shù)（17）成為一多項(xiàng)式，記為 , 2, 1, 0 2 3 2 rrln nlnE r 2021/6/724 , 2 3 ,)(lnFu r lnN r 2 稱為合流超比函數(shù)，令 將（2

24、6）式寫為 （27） 2 3 NEE N , 3, 2, 1, 0N 此為三維各向同性線性諧振子的能量本征值，其中 而 可見，諧振子的能量本征值不連續(xù)。 相應(yīng)于能量本征值（26）或（27）的徑向本征波函數(shù) )(, 5, 3, 1 )(, 4, 2, 0 2 奇 偶 N N nNl r （28） 其中 為歸一化常數(shù)，由徑向波函數(shù)的歸一化條件 22 2 1 , 2 3 ,)()( 22 rlnFerNrR r r l lnln rr lnr N 2021/6/725 求得： （29） nr=0,1,2的徑向波函數(shù)分別 0 22 1)(drrrR lnr 2 1 2 2 23 !)!12(! !)!

25、122(2 ln nl N r r nl ln r r 22 2 1 2 1 2 23 0 )( !)!12( 2 r l l l er l R 22 2 1 2 1 3 23 1 2 32 )( !)!32( 2 22 r l er l R r l l l 22 2 1 2 1 3 23 2 )( !)!52( 2 r l l l er l R 4422 )52( 4 )52)(32( rrl ll 以上各式中(2l+1)!或(2nr+2l+1)!等符號的定義是 ) 12(531!)!12(ll ) 122(531!)!122(lnln rr 2021/6/726 ex.1. 一質(zhì)量為一質(zhì)量

26、為 的粒子，在中心力場的粒子，在中心力場 中運(yùn)動(dòng)，求其基態(tài)（中運(yùn)動(dòng)，求其基態(tài)（s態(tài)）的能量及波函數(shù)態(tài)）的能量及波函數(shù) （1992北師大）北師大） 21 21 , 0 )( rrrr rrr rV 0r2r1 V(r) r solve： 波函數(shù)的徑向方程 考慮基態(tài)（s態(tài)）情況，上式可寫成 0 ) 1( )( 21 22 2 2 R r ll rVE dr dR r dr d r )(0 21 21 2 2 2 rrVR E dr dR r dr d r ),(0)( 21 rrrrrR 令 0 2 2 E k 0 2 2 2 2 Rk dr dR rdr Rd （1） 2021/6/727 或

27、（2） 此方程的解 0)( )( 2 2 2 rRk dr rRd ikrikr BeAerrR )( 當(dāng) r=r1時(shí)，（3） r=r2時(shí)，（4） 0)( 11 11 ikrikr BeAerRr 0)( 22 22 ikrikr BeAerRr 21 22krikri ee 0 )(2 12 rrki e nrrk2)(2 12 由此，有 或 能量本征值 （5） 相應(yīng)的徑向波函數(shù) , 3 , 2 , 1 , 0 )( 2 2 1212 n rr n rr n kn , 3 , 2 , 1 , 0 )(2 2 12 222 n rr n En （6） 由（3），并注意到 ，有 r e B r

28、e ArR rikrik n nn )( n kk 2021/6/728 （7） 代入（6）有 1 2rikn AeB )()( 11 1 )( rrikrrik rik n nn n ee r Ae rR 或 由歸一化條件 求得 )()( 11 )( rrikrrik n nn ee r C rR 2 1 1)()( 2* r r nn drrrRrR )( 2 12 rr C 波函數(shù) 可寫成),()(),( lmnlnlm YrRr ),()(),( oononoo YrRr ree rr rrikrrikn / )(2 1 )()( 12 11 )(sin 1 )( 2 1 12 rrk

29、 rrr n 2021/6/729 ex.2. 試求粒子束縛在三維勢場試求粒子束縛在三維勢場 中的中的S態(tài)波函數(shù)及能級（態(tài)波函數(shù)及能級（ 均均 為大于零的常數(shù)），并討論不存在束縛態(tài)能級的條件。為大于零的常數(shù)），并討論不存在束縛態(tài)能級的條件。 提示：作變換提示：作變換 a r eVrV 0 )( 0 ,Va ar e 2/ 哈密頓算符的本征方程在球?qū)ΨQ勢中的徑向方程為 r V(r) Solve： 0 ) 1( )( 21 22 2 2 R r ll rVE dr dR r dr d r 已知 （1） ar eVVl / 0 0 0)( 2 )( 1 0 2 2 2 ReVE dr dR r dr d r a r 令 （2） 代入上式，則有 （3） r ru rR )( )( 0)()( 2 0 22 2 rueVE dr ud a r 作變換 ，方程（3）變?yōu)?ar e 2/ 2021/6/730 （4） 考慮束縛態(tài) ：令 0 88 2 2 2 2 2 0 2 2 2 u EaaV d du d ud )0(E （5） 并作變換 （6） 方程（4）寫為