清華大學微積分PPT學習教案

1、會計學1 清華大學微積分清華大學微積分 2021-8-92 第十三講第十三講 泰勒公式泰勒公式 二、帶皮亞諾余項的泰勒公式二、帶皮亞諾余項的泰勒公式 三、帶拉格朗日余項的泰勒公式三、帶拉格朗日余項的泰勒公式 四、五個常用函數的四、五個常用函數的泰勒泰勒公式公式 一、函數逼近、泰勒多項式一、函數逼近、泰勒多項式 五、五、泰勒泰勒公式的應用公式的應用 第1頁/共31頁 2021-8-93 （二）函數近似（二）函數近似 用用多項式多項式逼近函數逼近函數. 逼近有兩種看法：逼近有兩種看法： （1）在一點附近近似這個函數好；）在一點附近近似這個函數好； 泰勒公式泰勒公式 （2）在區(qū)間上整體逼近得好。）在

2、區(qū)間上整體逼近得好。 傅立葉級數、正交多項式傅立葉級數、正交多項式 )()()( 00 xxfxfxf )()()()( 0000 xxoxxxfxfxf （一）（一） 比較比較 一、函數逼近、泰勒多項式一、函數逼近、泰勒多項式 第2頁/共31頁 2021-8-94 )()()()( , 0000 00 xxoxxxfxfxf xxxf 有有 時時則則當當可可微微在在點點如如果果函函數數 的一次多項式的一次多項式右端是右端是)( 0 xx )(, 00 xxxx 誤誤差差是是時時當當 在討論函數的微分時，已經得出在討論函數的微分時，已經得出: :,1 0 有有一一階階近近似似公公式式時時當當

3、xx )()()( 000 xxxfxfxf 第3頁/共31頁 2021-8-95 )()()(xRxPxf nn ).( ,)( 0 0 xfx xx 的的附附近近可可以以近近似似表表示示使使它它在在 的的高高次次多多項項式式希希望望找找一一個個關關于于 )()(xPxf n 如何提高近似公式的精度如何提高近似公式的精度 ？ )(:xR n 誤誤差差 n nn xxaxxaxxaaxP)()()()( 0 2 02010 （1）怎樣確定系數？）怎樣確定系數？ （2）怎樣確定誤差？）怎樣確定誤差？ 第4頁/共31頁 2021-8-96 要要求求： )()( 00 xfxP n )()( 00

4、xfxP n . )()( 0 )( 0 )( xfxP nn n x y 0 xo )(xfy )( 0 xf )()( 00 xfxP n 第5頁/共31頁 2021-8-97 n nn xxaxxaxxaaxP)()()()( 0 2 02010 1 0021 )()(2)( n nn xxnaxxaaxP 2 0032 )() 1()(232)( n nn xxannxxaaxP n n n annnxP12)2)(1()( )( . 代入上述條件得到代入上述條件得到 ),( 00 xfa ),( 01 xfa ),(2 02 xfa . )(! 0 )( xfan n n 第6頁/共

5、31頁 2021-8-98 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP )( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 即即 ),( 00 xfa ),( 01 xfa , ! 2 )( 0 2 xf a . ! )( , 0 )( n xf a n n 于是于是 階階泰泰勒勒多多項項式式點點的的在在nxxf 0 )( 第7頁/共31頁 2021-8-99 有有時時當當 則則階階導導數數有有在在點點若若函函數數 , , 0 0 xx nxf )()( ! )( )( ! 2 )( )()()( 00 0 )( 2 0 0 000 nn n xx

6、oxx n xf xx xf xxxfxfxf )()()(, 00 xxxRxx n n 其其中中 )(皮皮亞亞諾諾余余項項 二、帶皮亞諾余項的泰勒公式二、帶皮亞諾余項的泰勒公式 定理定理1:1: 第8頁/共31頁 2021-8-910 有有時時當當,0 0 x 階階麥麥克克勞勞林林公公式式n )0()( ! )0( !2 )0( )0()0()( )( 2 xxx n f x f xffxf nn n 第9頁/共31頁 2021-8-911 證證 )( ! )( )( ! 2 )( )()()()( 0 0 )( 2 0 0 000 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxf

7、xR n n xx xx xR )( )( lim 0 0 1 0) ( )( lim 0 n n xx xxn xR 2 0) )(1( )( lim 0 n n xx xxnn xR )( ! )( lim 0 )1( 0 xxn xR n n xx )( )( )()( lim ! 1 0 )( 0 0 )1()1( 0 xf xx xfxf n n nn xx 應用應用 羅必達法則羅必達法則 0 只須證明只須證明 能否再用能否再用 羅比達法則？羅比達法則？ 應用導數定義應用導數定義 不能再用不能再用 羅必達法則羅必達法則 ！ 0)()( ! 1 0 )( 0 )( xfxf n nn

8、第10頁/共31頁 2021-8-912 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 000 )( ! )1( )( )( ! )( )( !2 )( )()()( n n n n xx n f xx n xf xx xf xxxfxfxf 1 0 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n f xR )( 0 之之間間與與在在xx 拉拉格格朗朗日日余余項項 有有則則導導數數 階階的的各各階階到到內內有有開開區(qū)區(qū)間間 在在內內的的在在某某個個包包含含點點若若函函數數 ),(, )1(1),( 0 bax nba xf 三、帶拉格朗日余項的泰勒公式三、帶拉格朗日余項的泰勒公式 定理定

9、理2:2: 第11頁/共31頁 2021-8-913 ! )1( )( )( )( )1( 1 0 n f xx xR n n n )( ! )( )( !2 )( )()()()( 0 0 )( 2 0 0 000 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxfxR 證明思路分析證明思路分析 帶拉格朗日余項的泰勒公式變形為帶拉格朗日余項的泰勒公式變形為 )(: )1( n n R右右端端分分子子為為 x nn xx )1(1 0 )(:右右端端分分母母為為 應用應用 柯西中值定理柯西中值定理 第12頁/共31頁 2021-8-914 證證作輔助函數作輔助函數 )( ! )( )(

10、!2 )( )()()()()( 0 0 )( 2 0 0 000 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxfxRxF 1 0 )()( n xxxG , 0)( 0)( 0 0 xG xF , 0)( 0)( 0 0 xG xF 0)( 0)( 0 )( 0 )( xG xF n n 第13頁/共31頁 2021-8-915 連續(xù)使用（連續(xù)使用（n+1）次柯西中值定理）次柯西中值定理 )( )( )()( )()( )( )( )( )( 1 1 0 0 1 0 G F xGxG xFxF xG xF xx xR n n )()( )()( )( )( )()( )()( 02

11、 02 2 2 01 01 xGG xFF G F xGG xFF )()( )()( )( )( 0 )()( 0 )()( )( )( xGG xFF G F n n n n n n n n n n ! )1( )( )( )( )1( )1( )1( n f G F n n n 證畢證畢 第14頁/共31頁 2021-8-916 1 0 00 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n xxxf xR )10( 注意注意1 拉格朗日余項的其他形式拉格朗日余項的其他形式 注意注意2 拉格朗日中值定理可以看成是拉格朗日中值定理可以看成是 0 階階 拉格朗日余項泰勒公式。拉格朗日

12、余項泰勒公式。 注意注意3 兩種形式余項的泰勒公式，各自成立兩種形式余項的泰勒公式，各自成立 的條件不同。應用范圍不同。的條件不同。應用范圍不同。 )()()()( 00 xxfxfxf )( 0 之之間間與與在在xx 第15頁/共31頁 2021-8-917 )0( )!1( )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( 1 )1()( 2 之之間間與與在在xx n f x n f x f xffxf n n n n 注意注意4 . )(, 00 冪冪展展開開 的的就就用用點點的的泰泰勒勒公公式式xxx 0 0 x )10( )!1( )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()(

13、 1 )1()( 2 n n n n x n xf x n f x f xffxf 或者或者 麥克勞林公式麥克勞林公式 第16頁/共31頁 2021-8-918 四、五個常用函數的麥克勞林公式四、五個常用函數的麥克勞林公式 0)()1( 0 xexf x 12 )!1(! 1 !2 1 1 nnx x n e x n xxe xnxnx exfexfexf )(,)(,)( )1()( 1)0(, 1)0(, 1)0( )( n fff ef n )( )1( xx,0之之間間與與在在 )0( 0 的的泰泰勒勒公公式式 x 第17頁/共31頁 2021-8-919 0sin)()2( 0 xx

14、xf ,), 2 sin(cos)(,sin)( xxxfxxf 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff 12,)1( 2, 0 2 sin)0( 1 )( kn kn n f k n ), 2 sin()( )( nxxf n 2 ) 1(sin)( )1( nxxf n 2 ) 1(sin)( )1( n nf n ), 2, 1( k 第18頁/共31頁 2021-8-920 )( ! ) 12( ) 1( !5!3 sin 12 12 1 53 xR k xxx xx k k k )sin( ! )2( )( 2 12 k k x xR k k x x 之之間間與與在在

15、0 0cos)()3( 0 xxxf )( ! )2( ) 1( !4!2 1cos 2 242 xR k xxx x k k k ) 2 12 cos( ! ) 12( )( 12 2 k k x xR k k x x 之之間間與與在在0 第19頁/共31頁 2021-8-921 0)1ln()()4( 0 xxxf , 1 1 )( x xf , )1( 1 )( 2 x xf , )1( 2 )1()( 3 2 x xf n nn x n xf )1( ! )1( )1()( 1)( 1 )1( )1( ! )1()( n nn x n xf !2)0(, 1)0(, 1)0(, 0)0

16、( ffff ! )1()1()0( 1)( nf nn 1 )1( )1( ! )1()( n nn n f 第20頁/共31頁 2021-8-922 )() 1( 32 )1ln( 1 32 xR n xxx xx n n n 1 1 )1)(1( )1()( n n n n n x xR x x 1 0之之間間與與在在 0)1()()5( 0 xxxf )( ! ) 1() 1( !2 ) 1( 1)1 ( 2 xRx n n xxx n n xx1,0之之間間與與在在 27 第21頁/共31頁 2021-8-923 五個常用函數的麥克勞林公式五個常用函數的麥克勞林公式 12 )!1(!

17、 1 !2 1 1 nnx x n e x n xxe 122 12 1 53 ! ) 12( ) 12(sin ! ) 12( ) 1( !5!3 sin k k k x k k k xxx xx )( ! 1 !2 1 1 2nnx xox n xxe )( ! ) 12( ) 1( !5!3 sin 2 12 1 53 k k k xo k xxx xx 第22頁/共31頁 2021-8-924 22 242 ! )22( ) 1(sin ! )2( ) 1( !4!2 1cos k k k x k k k xxx x )( ! )2( ) 1( !4!2 1cos 12 242 k k

18、 k xo k xxx x n xxx xx n n 1 32 ) 1( 32 )1ln( 1 1 )1)(1( )1( n n n n x )() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n xo n xxx xx 第23頁/共31頁 2021-8-925 11 2 )1 ( ! ) 1( )() 1( ! ) 1() 1( !2 ) 1( 1)1 ( nn n x n n x n n xxx )( ! )1()1( !2 )1( 1)1( 2 nn xox n n xxx 第24頁/共31頁 2021-8-926 )()1(1 1 1 32nnn xoxxxx x 1 )( ! ! )2

19、( ! ! )32( )1( 2 1 11 2 1n n k kk xox k k xx 2 1 )( ! ! )2( ! ! )12( )1( 2 1 1 1 1 2 n n k kk xox k k x x 2 1 第25頁/共31頁 2021-8-927 . 1ln)(1 0 3 余余項項的的四四階階泰泰勒勒公公式式 處處帶帶在在寫寫出出函函數數例例 Lagrange xxxxf 0)1(,ln)( 3 fxxxf 1) 1 (,ln3)( 22 fxxxxf 5)1(,5ln6)( fxxxxf 11)1(,11ln6)( fxxf 6)1(, 6 )( )4()4( f x xf 解解 第26頁/共31頁 2021-8-928 2 )5( 2 )5( 6 )(, 6 )( f x xf 于于是是 5 2 4 323 )1( !5 6 )1( !4 6 )1( !3 11 )1( !2 5 )1(l