第30課時——二次函數(shù)與一元二次方程——教師版 (2)

1、第三十課時二次函數(shù)與一元二次方程【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)要求 1能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)；2了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系及判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間； 3體驗并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想自學(xué)評價1.二次函數(shù)的零點的概念一元二次方程的根也稱為二次函數(shù)（0）的零點2. 二次函數(shù)的零點與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系（1）一元二次方程（0）有兩個不相等的實數(shù)根，判別式對應(yīng)的二次函數(shù)（0）的圖象與軸有兩個交點為，對應(yīng)的二次函數(shù)（0）有兩個不同的零點，；聽課隨筆（2）一元二次方程（0）有兩個相等的實數(shù)根=判別式對應(yīng)的二次函數(shù)（0）

2、的圖象與軸有唯一的交點為（，0）對應(yīng)的二次函數(shù)（0）有兩個相同零點=；二次函數(shù)與一元二次方程函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系函數(shù)的零點與對應(yīng)方程的關(guān)系二次函數(shù)的零點（3）一元二次方程（0）沒有實數(shù)根判別式對應(yīng)的二次函數(shù)（0）的圖象與軸沒有交點對應(yīng)的二次函數(shù)（0）沒有零點3. 推廣函數(shù)的零點的概念一般地，對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù) 的零點函數(shù)的零點與對應(yīng)方程的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點【精典范例】例1：求證：一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根【解】證法1 =一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根證法2 設(shè)，函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，且函數(shù)的圖象與軸有兩

3、個不同的交點，即一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根點評:例1還可用配方法將方程化為再證明也可仿照證法2，由拋物線開口向上及來推證例2：右圖是一個二次函數(shù)的圖象（1）寫出這個二次函數(shù)的零點；（2）寫出這個二次函數(shù)的解析式；（3）試比較，與的大小關(guān)系【解】（1）由圖象可知此函數(shù)的零點是：，（2）由（1）可設(shè)= 即這個二次函數(shù)的解析式為（3），點評:例2進一步體現(xiàn)了利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的思想例3：當(dāng)關(guān)于的方程的根滿足下列條件時，求實數(shù)的取值范圍： （1）方程的兩個根一個大于2，另一個小于2；（2）方程的兩根都小于；（3）方程的兩根都在區(qū)間上；（4）方程的一個根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上；（5）方程至

4、少有一個實根小于分析：可將方程的左端設(shè)為函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象，確定的不等式（組） 【解】 設(shè)，其圖象為開口向上的拋物線若要其與軸的兩個交點在點的兩側(cè)，只需，即， 當(dāng)時，滿足題意 當(dāng)時，設(shè). 若要方程兩根都小于1，只要 綜上，方程的根都小于1時， 設(shè)則方程兩個根都在 上等價于：聽課隨筆 （4）設(shè)，則方程一個根在上，另一根在上等價于 或（5）設(shè)，若方程的兩個實根都小于，則有 若方程的兩個根一個大于，另一個小于1，則有, 若方程的兩個根中有一個等于，由根與系數(shù)關(guān)系知另一根必為， 綜上，方程至少有一實根小于時，點評：二次函數(shù)是高中知識與大學(xué)知識的主要紐帶，函數(shù)綜合題往往以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的值

5、域、奇偶性、單調(diào)性及二次方程實根分布問題、二次不等式的解集問題等，考查形式靈活多樣，考查思想涉及到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，高考在此設(shè)計的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本要求，在學(xué)習(xí)中一方面要加強訓(xùn)練，一方面要提高分析問題、解決問題的能力追蹤訓(xùn)練一1. 函數(shù)的最大值是，則 （ D ）A B C D2. 設(shè)，, ，則 （ B ） A B C D 3. 若關(guān)于的方程有一根在內(nèi)，則_4.若二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_ 【選修延伸】一、二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系 例4:已知，是方程()的兩個實根，求的最大值和最小值分析:一元二次方程與二次函數(shù)有很多內(nèi)在聯(lián)系要求的最值，首先要考慮根與系數(shù)的關(guān)系，并由此得到以為自變量的的函數(shù)解析式【解】因為方程()有兩個實根，所以，解得又，所以聽課隨筆而是減函數(shù)，因此當(dāng)時，取最大值，當(dāng)時，取最小值點評：這是一個與一元二次方程根有關(guān)的問題，必須先確定的取值范圍，否則無法確定函數(shù)的單調(diào)性追蹤訓(xùn)練二1 若方程在內(nèi)恰有一解，則的取值范圍是（ B ）A B C D2已知，并且、是方程的兩個根，則實數(shù)、的大小關(guān)系可能是（ A ）ABCD3不等式對一切實數(shù)都立，則的取值范圍是.4 已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中，且，（1）求