因式分解重點難點總結

1、.因式分解的一點補充十字相乘法教學重點和難點 重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項系數(shù)不是1的二次三項式因式分解。 難點：靈活運用十字相乘法因分解式。一、 導入新課前一節(jié)課我們學習了關于x2+（p+q）x+pq這類二次三項式的因式分解，這類式子的特點是：二次項系數(shù)為1，常數(shù)項是兩個數(shù)之積，一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和。因此，我們得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).課前練習：下列各式因式分解1- x2+2 x+15 2（x+y）2-8（x+y）+48；3x4-7x2+18； 4x2-5xy+6y2。答：1-（x+3）（x-5）； 2（x+y-12）（x+y+4）； 3（x+

2、3）（x-3）（x2+2）； 4（x-2y）（x-3y）。 我們已經學習了把形如x2+px+q的某些二次三項式因式分解，也學習了通過設輔助元的方法把能轉化為形如x2+px+q型的某些多項式因式分解。 對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式如何因式分解呢？這節(jié)課就來討論這個問題，即把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解。 二、新課 例1 把2x2-7x+3因式分解。分析：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)。分解二次項系數(shù)（只取正因數(shù)）： 2=12=21；分解常數(shù)項： 3=13=31=

3、（-3）（-1）=（-1）（-3）。用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：1 1 1 3 1 -1 1 -32 3 2 1 2 -3 2 -113+21 11+23 1（-3）+2（-1） 1（-1）+2（-3） =5 =7 = -5 =-7經過觀察，第四種情況是正確有。這是因為交叉相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)-7。解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。一般地，對于二次三項式ax2+bx+c（a0），如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 c2 a1c2 + a2c

4、1按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像這種借助開十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2 把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次項系數(shù)6及常數(shù)項-5，把它們分別排列，可有8種不同的排列方法，其中的一種 2 1 3 -5 2（-5）+31=-7是正確的，因此原多項式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=

5、（2x+1）（3x-5）。指出：通過例1和例2可以看到，運用十字相乘法把一個二次項系數(shù)不是1的二次三項式因式分解，往往要經過多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式。對于二次項系數(shù)是1的二次三項式，也可以用十字相乘法分解因式，這時只需考慮如何把常數(shù)項分解因數(shù)。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 5 15+1（-3）=2所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：這個多項式可以看作是關于x的二次三項式，把-8y2看作常數(shù)項，在分解二次項及常數(shù)項系數(shù)時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經過觀察，選取合適的一組，即

6、 1 2 5 -4 1（-4）+52=6解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。指出：原式分解為兩個關于x，y的一次式。例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數(shù)之差的形式，只有先化簡，進行多項式的乘法運算，把變形后的多項式再因式分解。問：兩個乘積的式子有什么特點，用什么方法進行多項式的乘法運算最簡便？答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變?yōu)?（x-y），它是第一個因式的二倍，然后把（x-y）看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關于（x-y）的二次三項式，就可以用址字相乘法分解因式了。解 （x-y）（2x-2y

7、-3）-2 =（x-y）2（x-y）-3-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 +1 =（x-y）-22（x-y）+1 11+2（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。指出：把（x-y）看作一個整體進行因式分解，這又是運用了數(shù)學中的“整體”思想方法。三、課堂練習1用十字相乘法因式分解：（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。2把下列各式因式分解：（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2；

8、 （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。答案：1（1）（x-4）（2x+3）； （2）（x-2）（3x+1）； （3）（2x-1）（3x-5）； （4）（x-3）（7x+2）； （5）（3x-1）（4x-3）； （6）（2x+3）（2x+9）。 2（1）（2x-3y）（3x-2y）； （2）（2xy+5）（4xy-7）； （3）（3x-y）（6x-5y）； （4）（3a-b）（5b-a）。四、小結1用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式分解因式時，應注意以下問題：（1）正確的十字相乘必須滿足以下條件： a1 c1在式子 中，豎向的兩個數(shù)必須滿足關系a1a2=a

9、，c1c2=c；在上式中，斜 a2 c2向的兩個數(shù)必須滿足關系a1c2+a2c1=b，分解思路為“看兩端，湊中間。” （2）由十字相乘的圖中的四個數(shù)寫出分解后的兩個一次因式時，圖的上一行兩個數(shù)中，a1是第一個因式中的一次項系數(shù)，c1是常數(shù)項；在下一行的兩個數(shù)中，a2是第二個因式中的一次項的系數(shù)，c2是常數(shù)項。 （3）二次項系數(shù)a一般都把它看作是正數(shù)（如果是負數(shù)，則應提出負號，利用恒等變形把它轉化為正數(shù)），只需把經分解在兩個正的因數(shù)。 2形如x2+px+q的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式。3凡是可用代換的方法轉化為二次三項式ax2+bx+c的多項式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例

10、4。五、作業(yè)1用十字相乘法分解因式：（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。2把下列各式分解因式：（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。答案：1（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）；（5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；