(人教版數(shù)學)七年級競賽專題講解：第七講物以類聚——話說同類項

1、精品資源第七講物以類聚一一話說同類項俗話說“物以類聚，人以群分” .在數(shù)學中，我們把整式中那些含相同的字母、并且 相同字母的次數(shù)也分別相同的單項式看作一類一一稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起一一稱為合并同類項.整式的加減實質就是去括號合并同類項.整式的加減這一章涉及到許多概念，準確地掌握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是 解相關問題的基礎，歸納起來就是要注意以下幾點：理解“三式”和“四數(shù)”的概念、熟悉“兩種排列”、掌握三個法則.解與整式加減相關問題時，有括號先去括號，有同類項先合并同類項，這樣能使解題 過程大為簡化.例題【例1】當x的取值范圍為 時，式子4x+4 7x 13x+4的

2、值恒為一個常數(shù)，這個值是 .（北京市“迎春杯”競賽題 ）思路點撥 去掉絕對值符號、合并同類項后，式子應不再含“x”的項，由此得出 x的取值范圍.注：數(shù)學概念是容的基礎.是數(shù)學推理和論證的基礎.科學研究表明，概念的形成過程中，人們的心理活動經(jīng)歷著以下階段：（1）辨別不同的事物；（2）抽象一類事物的共同屬性；（3）用簡潔的語言符號給概念下定義、定名稱.在概念學習中，應注意以下策略：（1）關鍵字詞理解的策略；（2）正、反例對比策略；（3）相似概念比較策略；（4）概念系統(tǒng)化策略.ba【例2】已知a+b =0,a #b,則化簡b（a+1） +-（b+1）得（）.aba. 2a b. 2b c.十 2 d

3、. 一 2（江蘇省競賽題）思路點撥由已知條件可推得多個關系式，這是解本例的關鍵.31,-1【例3】 已知x=2, y=- 4時，代數(shù)式ax +- by +5 =1997 ,求當x = -4, y =-時，代數(shù)式3ax - 24by3 +4986的值.思路點撥一般的想法是先求出 a, b的值，這是不可能的（為什么？）解本例的關鍵是： 將給定的x、y值分別代入對應的代數(shù)式，尋找已知式與待求式之間的聯(lián)系，整體代人求值.【例4】已知關于；的二次多項式 a（x3 -x2 +3x） +b（2x2 +x） +x3 5,當x=2時的值為一 17,求當x=-2時，該多項式的值.（“希望杯”邀請賽培訓題）思路點撥

4、 設法求出a, b的值，解題的突破口是根據(jù)多項式降哥排列、多項式次數(shù)等 概念挖掘隱含的關于 a, b的等式.【例4】（1）已知：5 i （x+9y）（x , y為整數(shù)），求證：5 i （8x十7y）.（2）試證：每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于 1且互質的自然數(shù)之和.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）思路點撥 （1）嘗試把8x+7y寫成x+9y的倍數(shù)與5的倍數(shù)的代數(shù)和的形式，（2）逆用整式 的加減，將每一類自然數(shù)表示為兩個式子的和，并證明它們互質，注意分類討論.注：解代數(shù)式化簡求值問題的基本方法有：將字母的值代入或字母間的關系整體代入等.關鍵是對代數(shù)式進行恰當變形，其中去括號、添括號能改變代數(shù)式的

5、結構，是變形求簡的一種常用工具.“回到定義中去”，這是美國著名數(shù)學家玻利亞稱為的一種解題方法，在解題遇到困難 的時候，請記住“回到定義中去”這個重要的思考提示.欲證明一個多項式能被某數(shù)整除，常需對該多項式進行適當?shù)淖儞Q，或對字母進行代換， 充分利用巳知條件及整除的有關性質解決問題.數(shù)學中有許多可以類比的對象，如數(shù)與式，整數(shù)與整式.教學中的許多結論就是通過類比得到的，同時類比也是學習數(shù)學中的一種有效方法.學力訓練1,已知2axbn與3a2b2m是同類項，那么（2m n）x=（江蘇省競賽題）2.已知代數(shù)式（2x2+ax-y+6） （2bx2-3x+5y-1）.當a=, b=時，此代數(shù)式的值與字母x

6、的取值無關；（2）在（1）的條件下，多項式 3（a2-2ab-b2）（4a2+ab+b2）的值為_43_2._3_2 一 3,已知 a=1999,則 3a -2a +4a13a -3a +3a2001 =4 .已知當x=- 2時，代數(shù)式ax3 +bx +1的值為6,那么當x=2時，代數(shù)式ax3 +bx +1的值是.（安徽省中考題）5 .火車站和機場都為旅客提供打包服務，如果長、寬、高分別為 x、y、z的箱子按如圖的 方式打包，則打包帶的長至少為（）.a. 4x+4y+10z b. x+2y+3z c.2x+4y+6z d. 6x+8y+6z（太原節(jié)中考題）6 .同時都含有字母 a、b、c,且系

7、數(shù)為1的7次單項式共有（）.a . 4 個 b. 12 個c. 15 個 d. 25 個（北東市競賽題）7 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示：則代數(shù)式a - a+b+c-a+|b-c化簡后的結果是（）.a. 2 一 a b. 2a- 2b c. 2c ad. a8 .已知m+2n =25,那么 5（m-2n）2 +6n3m 60的值為（）.a. 80s. 10 c. 210 d. 409 .把一個正方體的六個面分別標上字母a、b、c、d、e、f并展開如圖所示，已知：_2_ 22-21a=x 4xy+3y , c =3x 2xy y , b=b（ca） , e = b2c,若正萬體相對的

8、兩個面上的多項式的和都相等，求d、f.10 .已知單項式0.25xbyc與單項式0.125xmy2j的和為0.625xnym,求abc的值.11 .對于整式6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002,給定x的一個數(shù)值后，如果小穎按四則運算的規(guī) 則計算該整式的值，需算15次乘法和5次加法.小明說：“有另外一種算法，只要適當添加括號，可以做到加法次數(shù)不變，而乘法只算5次” .小明同學的說法是 的.（填“對”或“錯”）（“希望杯”邀請賽試題）12 .若 a b =2,bc = 3,cd =5,則（a c）（b d）+（a d） =.13 .當x = 2時，代數(shù)式ax3 bx+1的值等于一 17,

9、那么當x=- 1時，代數(shù)式12ax3bx35 的值等于 .（北京市“迎春杯”競賽題 ）14 .將1, 2, 3,，100這100個自然數(shù)，任意分為 50組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩 一1 .個數(shù)中任一數(shù)值記作 a,另一個記作 b,代入代數(shù)式 一（a-b + a+b）中進行計算，求出其2結果，50組數(shù)代人后可求得 50個值，則這50個值的和的最大值是 .15 .計算 1+2 3 4+5+6 - 7 - 8+9+1011 12+1993+1994 1995 一1996+1997+1998 19992000,最后結果是（）.a. 0 b. 1 c. 1999 d. 200016 .已知 a 0 ,則

10、 a b+a+b + ab 等于（）.a. 2a+2b+ab b. 一 ab c. 一 2a 2b+ab d. 一 2a+ab17.已知代數(shù)式253x (ax bx cx)4 t2x dx當x = l時，值為l,那么該代數(shù)式當x = - l時的值是（）a. 1 b. l c. 0 d. 2（“希望杯”邀請賽試題）18 .如果對于某一特定范圍內 x的任意允許值p=|12x + 13x +|1-9x + 1 10x 的值恒為一常數(shù)，則此值為（a. 2 b. 3（安徽省競賽題）19 . （1）已知a、b為整數(shù)，且)c. 4 d. 5n=l0a+b,如果17 | a - 5b,請你證明:17 n.（2

11、）已知一個三位數(shù)，它的百位數(shù)字加上個位數(shù)字再減去十位數(shù)字所得的數(shù)是11的倍數(shù).證明：這個三位數(shù)也是11的倍數(shù).20.在一次游戲中，魔術師請一個人隨意想一個三位數(shù)abc（a、b、c依次是這個數(shù)的百位、十位、個位數(shù)字）,并請這個人算出 5個數(shù)acb、bac、bca、cab與cba的和n,把n告訴魔術師，于是魔術師就可以說出這個人所想的數(shù)abc.現(xiàn)在設n=3194 ,請你當魔術師，求出數(shù) abc而來.21. x、v、z 均為整數(shù)，且 11 i 7x+2y 5z,求證：1l | 3x-7y 十 12z.（北東市競賽題）22計算多項式ax3 +bx2 +cx+d的值時有以下3種算法，分別統(tǒng)計 3種算法中

12、的乘法次 數(shù).直接計算：ax3 +bx2+cx+d時共有3十2+l = 6（次）乘法；利用已有哥運算結果：x3 =x2 x ,計算ax3 +bx2 +cx+d時共有2+2+1= 5（次）乘法；逐項迭代：ax3+bx2+cx + d = ax+b）x+ ck + d ,其中等式右端運算中含有3次乘法.請問：（1）分別使用以上3種算法，統(tǒng)計算式aox10 +a1x9 +a2x8+agx+ao中乘法的次數(shù)，并比較 3種算法的優(yōu)劣.（2）對 n次多項式 a0xn+a1xn + a2xn/ + +an/x + an （其中 a0 ,a1,a2,，an為系數(shù)，n1）,分別使用以上3種算法統(tǒng)計其中乘法的次數(shù)

13、，并比較3種算法的優(yōu)劣.歡迎下載參考答案物以類k話說同類項【例國求解】例i,1提示上的系數(shù)之而為年,須使且143上五。囹2選力 提示，由已知肉心=等=1。-40. 0 o例3 1998 提示由已知將4a-b*=g96.特求式=一*軸&+498軋例4 -1 提示：匏理原先項式得2+。工+ (幼一 + 4 -sjj -11x+210. 12 提示；由題意林 &=e -i = n.r = ek】 = e.o.823n =。一2$41一0.】35k11,對 12, 一十 13. 22i* 3775提示:不妨設w原式=o,由比知每用bt的南個數(shù)代人代數(shù)式運算后的結聚為兩個數(shù)中較大的一個,從展體考患， 只要稱51,53531,，100這5*個效俵次性人看一第中.便可他5白個值的相加最尢佰15, d i嘰di九b1第b 提示內+3+，9+1。=34