八年級數(shù)學(xué)上冊幾何添輔助線專題

1、也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線加垂線，三線合一試試看。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中有中線，延長中線等中線。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線全等三角形問題中常見的輔助線的作法（有答案）總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個角之 間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 角平分線平行線，等腰三角形來添。線段垂直平分線，常向兩端把線連。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。1 .等腰三角形“三線合一”法:合一”的性質(zhì)解題2 .倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3 .角平分線在三種添輔助線4

2、.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5 .用“截長法”或“補(bǔ)短法”：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6 .圖形補(bǔ)全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7 .角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三 角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8 .計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或 30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以

3、得到在數(shù)值上相等的二 條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變 換中的“對折”法 構(gòu)造全等三角形.2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的 思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形.3）遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.（2

4、）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條 線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法， 適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.6）已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個端點(diǎn)作連線，出一對全等三

5、角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答a一、倍長中線（線段）造全等a例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 abc中，ab=5, ac=3則中線ad的取值范圍是_/_ 解：延長 ad至e使ae= 2ad,連be,由三角形性質(zhì)知/lb d cab-be 2adab+be 故 ad的取值范圍是 1ad4例2、如圖， abc中，e、f分別在 ab ac上，del df, d是中點(diǎn)，試比較 be+cf與ef的大小.解：（倍長中線，等腰三角形“三線合一”法 ）延長fd至g使fg= 2ef,連bq eg,顯然bg= fc,在4efg中

6、，注意到de! df,由等腰三角形的三線合一知eg= ef在 beg中，由三角形性質(zhì)知begbg+be故：ef pb-pc分析：此題連接 ac,把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等5、如圖在 abc中，abag / 1 = /2,解：（補(bǔ)短法）延長 ac至f,使af= ab, ab國 afp （sas故 bp= pf邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有 bc ad ae連接ac,過e作ef / bc并ac于f點(diǎn)則可證 aef為等邊三角形即 ae ef , aef afe 60 cfe 120又ad/bc, b 60bad 120又 dec 60 aed f

7、ec在ade與fce中ead cfe , ae ef , aed fec ade fce ad fc bc ad ae點(diǎn)評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角 形的性質(zhì)解決。、平移變換由三角形性質(zhì)知例1 ad為 abc的角平分線，直線 mnlad于a.e為mnlh一點(diǎn)， abc周長記為 巳，ebc周長記為pb.求證pb pa.pb- pc= pf- pc bf=ba+af=ba+ac證明（角平分線在三種添輔助線，計算數(shù)值法）/b=60度, 貝叱 bac+z bca=120 度；從而 pb=be+ce+bcbf+bc=ba+acf+bc=例2如圖，在 abc

8、的邊上取兩點(diǎn) d e,且bd=ce求證：ab+acad+ae.證明：取bc中點(diǎn)m,連am并延長至n,使mn=am,連bn,dn.ad,ce均為角平分線，貝u / oac+ / oca=60 度=/ aoe= / cod;/aoc=120 度.在ac上截取線段af=ae,連接of.又 ao=ao; / oae= / oaf.則，oae0 aoaf(sas),oe=of;ae=af;/aof=/aoe=60 度.則 / cof=/aoc-/aof=60 度=/cod;又 co=co; /ocd= /ocf.故，ocd0 aocf(sas),od=of;cd=cf.oe=oddc+ae=cf+af=

9、ac.2、如圖， abc中，ad平分/bac dgl bc且平分 bc, dei ab于 e,df ac于 f.（1）說明be=c用勺理由；（2）如果 ab=a , ac=b ,求ae、be的長.v bd=ce, dm=em,.dmnaema(sas),dn=ae,同理bn=ca.延長 nd 交 ab 于 p,wj bn+bppn,dp+paad,相力口得 bn+bp+dp+papn+ad, 各減去 dp,得 bn+abdn+ad, . ab+acad+ae 。四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在 abc中，/ b=60 , abc的角平分線 ad,ce相交于點(diǎn) 0,求證：oe=od解：（垂

10、直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端 ）連接bd, dcdg垂直平分bg故bd= dc由于 ad平分/ bac del ab于e, df ac于f,故有ed= df故 r/ dbe r/ dfc （ hddc+ae =ac故有be= crab+ac= 2aeae= (a+b) /2be=(a-b)/2應(yīng)用：1、如圖，op是/mon的平分線，請你利用該圖形畫一對以 op所在直線為對稱軸的全等 三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在 abc 中，/ acb 是直角，/ b=60 , ad、ce 分別是/ bac、/ bca 的平分線，ad、ce相交于點(diǎn)f。請你判斷并寫出 fe與fd之

11、間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在 abc中，如果/ acb不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你有等腰三角形時常用的輔助線解：（1）（第23題圖）fe與fd之間的數(shù)量關(guān)系為 fe fd在中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明;f作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線 例：已知，如圖，ab = ac, bclac于d,求證：/ bac = 2/dbc證明：（方法一）作/ bac的平分線ae,交bc于e,則/ 1 = /2 = g / bac（2）答：（1）中的結(jié)論fe fd仍然成立。證法一：如圖1,在ac上截取ag ae ,連結(jié)fg12, af為公共邊,又 = ab = acae1 bc / 2+

12、 / acb = 90ov bdlac / dbg /acb = 90o ./2 = /dbc丁. / bac = 2/ dbcaef agf afe afg , fe fg b 60 , ad、ce 分別是 bac、23 60afe cfd afg 60 cfg 60 34及fc為公共邊 cfg cfd fg fd fe fdbca的平分線a圖1（方法二）過a作ae! bc于e （過程略）（方法三）取bc中點(diǎn)e,連結(jié)ae （過程略）有底邊中點(diǎn)時，常作底邊中線例：已知，如圖， abc中，ab = ac, d為bclab于 e, df,ac于 f,求證：de = df證明：連結(jié)ad.d為bc中點(diǎn)

13、，bd = cd又 = ab =ac證法二：如圖2,過點(diǎn)f分別作fg ab于點(diǎn)g, fh bc于點(diǎn)hb 60 , ad、ce 分別是 bac、bca的平分線，可得 23 60 , f是 gef 601 , fh又 hdf b 1gef hdf.可證 egf dhf圖2 fe fd中點(diǎn)，de. delab, dfac de = df將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖， abc中，ab = ac,在ba延長線和 ac上各取一點(diǎn)e、f,使ae = af,求證：ef bc證明：延長be至ij n,使an= ab,連結(jié)cn,則ab= an= ac . . / b = / acb, / acn

14、 = / anc . / b+ / ac拼 / acw / anc = 180o2/bcab 2/acn = 180o丁. / bc4 / acn = 90即/ bcn = 90 .ncl bc,.ae = af ./aef = /afe又. / bac = / aef +/afe/bac = / acn +/ anc ./ bac =2/aef = 2/anc ./aef = / anc .ef/ nc.-.ef bc證明：(證法一)過點(diǎn)e作ef/ bc交ab于f,則/afe =/ b/ aef =/ c,.ab = ac. ./b =/c ./afe =/aef. ad = ae ./ae

15、d =/ade又/af曰 /aer /aem /ade = 180 .2/aer 2/aed = 90即/fed = 90.del fe常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在 abc中，ab = ac, d在ab上，e在ac延長線上，且bd =ce連結(jié)de交bc于f求證：df = ef證明：(證法一)過d作dn/ dnb = /acb/nde = /e,v ab = ac, . b = /acb . b =/dnbbd = dn又= bd = cedn = ec在dnfffi aecf 中/ 1 = /2/ ndf =/edn = ec. .dn圖 aecfdf = ef（證

16、法二）過e作em/ ab交bc延長線于m,則/ embqb （過程略）常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖， abo, ab=ac e在ac上，d在ba延長線上，且 ad= ae,連結(jié)de求證：del bc又: ef/ bc.del bc（證法二）過點(diǎn)d作dn/ bc交ca的延長線于n,（過程略）（證法三）過點(diǎn) a作am/ bc交de于m （過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖， abc中，ab = ac, / bac = 80 ,p 為形內(nèi)一點(diǎn)，若/pbc = 10 / pcb = 30 求 / pab的度數(shù).解法一：以ab為一邊作等邊三角形，連

17、結(jié) cewj/bae =/abe = 60ae = ab = be. ab = ac. .ae = ac /abc =/ acb ./aec =/acevz eac =/ bac- / bae=80 60 = 20 丁. / ace= (180- / eac)=80vzacb= 1 (180- / bac)= 50 ./bce =/ ace- /acb =80-50 = 30 vz pcb = 30 ./pcb = / bce解法二:解法三:. / abc =/ acb = 50, ./ebc=/abz abc =10zpbc = 10 ./pbc = /ebc在pbcffi zebc 中/p

18、bc = / ebcbc = bc/pcb = / bce. .pb登 aebc.bp = be. ab = be. .ab = bp丁. / bap =/ bpavz abp =/ abc- / pbc = 50- 10 = 40丁. / pab = 1(180- / abp)= 70以ac為一邊作等邊三角形，證法同一。以bc為一邊作等邊三角形 bce連結(jié)ae,則eb = ec = bc, / bec =/ ebc = 60,.eb = ec.e在bc的中垂線上同理a在bc的中垂線上ea所在的直線是bc的中垂線.ea! bc/ aeb = 1 / bec = 30 = / pcb 2由解法一

19、知：/ abc = 50丁. / abe = / ebc- / abc = 10 = z pbc vz abe =/ pbc,be = bc,/aeb =/ pcb . .ab草 apbc. .ab = bpbap =/bpavz abp =/ abc- / pbc = 50- 10 = 40 ./ pab = 1 (180-z abp) = 1(180-40)= 70 /abe= 60=60 - 50解：連結(jié)cd1.如圖，求/ a + zb + zc + zd + ze的度數(shù)。. / ecd + z bdc= z b + z e=180 -z bqe=180 -z cod. a + / b + z ace + z adb + / e=z a + z ecd + z bdc + / ace + / adb= /a+ (/ ecd+z