數(shù)學中的化歸思想方法——例談化歸法在解題中的運用

1、畢業(yè)論文數(shù)學中的化歸思想方法例談化歸法在解題中的運用 姓名： 摘要：所謂“化歸”從字面上可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)。把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法?！盎瘹w”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法，參數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法等等，但有一個原則是和原來的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)化 變形 還原 化歸法 實現(xiàn)化歸一化歸法概述 數(shù)學是探求、認識和刻劃自然規(guī)律的重要工具。在學習數(shù)學的各個環(huán)節(jié)中，解題的訓練占有十分重要的地位。

2、它既是掌握所學數(shù)學知識的必要手段，也是培養(yǎng)和提高數(shù)學能力的重要途徑。解題的實質(zhì)就是把數(shù)學的一般原理運用于習題的條件或條件的推論而進行的一系列推理，直到求出習題解答為止的過程。這一過程是一種復雜的思維活動的過程。解決問題的過程，實際是轉(zhuǎn)化的過程，即對問題進行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(些)已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。如抽象轉(zhuǎn)化為具體，未知轉(zhuǎn)化為已知，立體轉(zhuǎn)化為平面，高次轉(zhuǎn)化為低次，多元轉(zhuǎn)化為一元，超越運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算等等。 這就是在數(shù)學方法論中我們學習到的一種新的思維方法化歸，這種方法與我們常見的分析和綜合、抽象和概括、歸納和演繹、比較和類比等思想方法不同，“化歸”方法在中學數(shù)學教材

3、中是普遍存在，到處可見，與中學數(shù)學教學密切相關(guān)。如在引入“三角形內(nèi)角和定理”時，可把三角形的三個角剪下來，可以拼成一個平角，這就是轉(zhuǎn)化，也可用下法引入，如下圖（1）中：ab，則12？（180），圖（2）中12與180的關(guān)系？（小于），少掉的那部分到哪兒去了？（3，即4）于是有124180，充分運用了知識間內(nèi)在聯(lián)系，使新舊知識得到順利轉(zhuǎn)化。 1a14a2b23 b 圖(1) 圖(2)所謂“化歸”從字面上可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)。在數(shù)學方法中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學家在解決問題的過程中，不是對問題進行直接攻擊，而是把待解決的問題進行變形，轉(zhuǎn)化，直到歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最

4、終求獲原問題解答的一種手段和方法。張奠宙、過伯祥著的數(shù)學方法論稿中指出：“所謂化歸方法，是將一個問題a進行變形，使其歸結(jié)為另一個已能解決的問題b，既然b已可解決，那么a也就能解決了”。匈牙利著名數(shù)學家p羅莎在她的名著無窮的玩藝一書中曾對“化歸法”作過生動的比擬。她寫道：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應當怎樣去做？”。正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！苯又_莎又提出第二個問題：“假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時你應該怎樣去做？”。對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上?！钡_莎認為這并不是最好的

5、回答，因為“只有物理學家才這樣做，而數(shù)學家則會倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了?！绷_莎的比喻固然有點夸張，但卻道出了化歸的根本特征：在解決一個問題時人們的眼光并不落在問題的結(jié)論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)果，盡管向前走兩步，也許能達到目的，但我們也情愿退一步回到原來的問題上去。利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示：把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法?；瘹w思想方法被古住今來許多科學家、實際工作者所重視，十七世紀法國數(shù)學家笛卡爾經(jīng)過長期

6、思考，創(chuàng)造了解析幾何理論，他的理論基礎(chǔ)就是利用坐標系把帶有兩個未知數(shù)的代數(shù)方程看成平面上的一條曲線，從而利用代數(shù)方法研究幾何問題。實際上，笛卡爾正是運用化歸的思想方法才創(chuàng)立了解析幾何學。二化歸的基本方法“化歸”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法，參數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法等等，但有一個原則是和原來的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。因此“化歸”的方向應是由未知到已知，由難到易，由繁到簡，由一般到特殊。而“化歸”的思想實質(zhì)就在于不應以靜止的眼光，而應以運動、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和制約的觀點去看待問題。即應當善于對所要解決的問題進行變形和轉(zhuǎn)化，

7、這實際上也是在數(shù)學教學中辨證唯物主義觀點的生動體現(xiàn)。數(shù)學中用以實現(xiàn)化歸的方法很多，以下我介紹幾種主要的方法：1分割法什么是分割法？法國著名數(shù)學家笛卡爾說：“把你所考慮的每一個問題按照可能的需要分成若干部分，使它們更易于求解?！边@種把要解決的問題分成若干個小問題，然后逐一求解的方法，叫做分割法。一般地說，用分割法解決問題的過程可以歸結(jié)為如下框圖：分割法又分以下幾種方法：例1： 在掌握了扇形和三角形這些基本圖形的面積計算以后，可以用形體分割法求出比較復雜的圖形的面積如求弓形的面積s弓形=s扇形-s三角形例2： 如圖：三棱錐p-abc中，已知：pabc，pa=bc=，pa、bc的公垂線ed=h，求證

8、：三棱錐p-abc的體積此例可通過對未知成分進行分割來實現(xiàn)化歸當連結(jié)ad、pd后，就把三棱錐pabc分成兩個三棱錐bpad和cpad于是2映射法映射法是用以實現(xiàn)化歸的一種重要方法，所謂映射，是指在兩類數(shù)學對象或兩個數(shù)學集合的元素之間建立某種“對應關(guān)系”。利用映射法解決問題的過程為：首先通過映射將原來的問題轉(zhuǎn)化為問題*，然后，在求得問題*的解答*以后，再通過逆映射求得原問題的解。學習了集合與映射后，就用映射來定義函數(shù)，而把反函數(shù)的概念建立在一一映射的基礎(chǔ)上，而確定反函數(shù)y=f 1(x)的映射是一個從原函數(shù)值域集合到定義域集合上的一個一一映射。例3：求函數(shù)的值域解：原函數(shù)定義域為x(-, -)(-

9、, +)求出y=的反函數(shù) f 1(x)= 反函數(shù)定義域為 (-, )(, +)原函數(shù)值域(-, )(, +) 映射法是實現(xiàn)化歸的一種重要方法，如由于建立了直角坐標系，使平面上的點與有序?qū)崝?shù)對，曲線與方程建立了對應關(guān)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。此外復數(shù)與復平面上的點、向量也建立起一一對應關(guān)系，把向量引進了代數(shù)，使復數(shù)的代表運算可用向量的幾何運算來進行。3恒等變形法在數(shù)學解題中，恒等變形占有十分重要的位置，特別是在求解方程或證明一些整除性問題時，利用恒等變形以實現(xiàn)由未知向已知的化歸，使我們比較容易地求得問題的解。例4： 解下列方程：(1)2x33x2-2x=0；分析：解上面兩個方程，先利用恒等變

10、形把它化為容易求解的方程。 (1)可變?yōu)閤(2x-1)(x2)=0例5：求證：f(n)n36n211n12 (nn)能被6整除。分析：把原式進行恒等變形，得到f(n)n36n211n12=(n1)(n2)(n3)6從而，只需證明三個連續(xù)自然數(shù)之積能被6整除即可，而這個問題是大家熟知的。4換元變形法換元變形法用處很多，化簡代數(shù)式如使用換元法可以簡化計算過程，分解因式時使用換元法可以減少項數(shù)，便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系，解方程時有些分式方程，指數(shù)方程和對數(shù)方程通過換元可以變成整式方程。有些高次方程通過換元可以達到降次的目的，有些無理方程通過換元可以去掉或減少根號。證明條件等式時，使用換元容易發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等

11、式之間的聯(lián)系?？傊畵Q元變形法用處十分廣泛，學生應該熟練掌握在解題實踐中靈活地、創(chuàng)造性地去運用。例6：已知a、b、c、d、x,都是正數(shù)，且x2=a2+b2,y2=c2+d2,求證：xyac+bd證明：由題設(shè)，可令a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,(,為銳角)代入待證式右端，利用兩角差三角公式得：ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy，即xyac+bd當然以上幾例遠不能概括出化歸方法的全貌。轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法。數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想方法體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)方程、不等

12、式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化等等。轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂。目標簡單化、和諧統(tǒng)一性、目標具體化、標準形式化和低層次化都是化歸的原則；各映射法、分割法和變形法都是轉(zhuǎn)化的策略；一般化與特殊化的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、實際問題數(shù)學化、常量與變量的轉(zhuǎn)化等都是化歸的基本策略。正如前面所給出的，實現(xiàn)化歸的方法是多種多樣的。因此，與前面所舉的具體方法相比，更重要的就是應掌握化歸的中心思想。這就是說，我們不應以靜止的眼光而應以可變的觀點去看待問題，即應善于對所要解決的問題進行變形。從所舉例子可以看出，化歸的中心思想是善于對所要解決的問題進行變形，而所說的變形并不是一種無目的的活動。因此，我們應始終“盯住目標”。即應始終考慮怎樣才能達到解決原來問題的目的。例如，怎樣才能求出問題中的未知量？怎樣才能證明問題中的結(jié)論？這就需要我們在確定化歸的方向和方法時，既要保持一定的靈活性，多作些必要的嘗試，又應有一定的韌性，即只要還有一線希望，就不要輕易放棄已有的工作。另外還應指出，雖然化歸法在數(shù)學研究中有著十分重要的作用，但也有一定的局限性，并非所有的問題都能通過化歸來解決。因