廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）文科數(shù)學(xué)試題 及答案

1、試卷類型：a2015年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)（文科） 2015.3本試卷共4頁，21小題， 滿分150分考試用時120分鐘.注意事項：1答卷前，考生務(wù)必用2b鉛筆在“考生號”處填涂考生號。用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2b鉛筆將試卷類型（a）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2選擇題每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先

2、劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2b鉛筆填涂選做題題號對應(yīng)的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1. 已知全集, 集合, 則集合可以表示為 a b c d 2已知向量，若，則實數(shù)的值為a b c d3. 若某市所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)， 葉為個位數(shù)

3、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 a. b. c. d. 4已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部記作，則a bcd5. 設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離是a bcd 6. 已知的三邊所對的角分別為,且, 則的值為a. b. c. d. 7. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為 a. b. c. d. 8. 若直線上存在點滿足約束條件 則實數(shù)的取值范圍是a. b. c. d. 9. 已知某錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖2， 其體積為，則該錐體的俯視圖可以是 圖2 a. b. c. d.10已知圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為，直線為常數(shù)，與圓 相交于兩點，記的面積為，則函數(shù)的奇偶性為 a偶函數(shù) b奇函數(shù) c既

4、不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù) d奇偶性與的取值有關(guān) 二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分（一）必做題（1113題）11. 函數(shù)的定義域為 .12. 已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線e在點處的切線斜率為 . 13. 已知函數(shù)，點為坐標(biāo)原點, 點n， 向量， 是向量與的夾角，則的值為 . （二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為為參數(shù)和為參數(shù)以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則曲線與的交點的極坐標(biāo)為 . 15. （幾何證明選講選做題） 如圖3，是圓的一條弦，延長至點，使得，過作圓的切線

5、，為切點，的平分線交于點，則的長為 . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若是第一象限角，且，求的值.17（本小題滿分12分）從廣州某高校男生中隨機抽取名學(xué)生，測得他們的身高(單位: cm)情況如表1:分組頻數(shù)頻率合計 表1 （1）求的值； （2）按表1的身高組別進(jìn)行分層抽樣, 從這名學(xué)生中抽取名擔(dān)任廣州國際馬拉松 志愿者, 再從身高不低于cm的志愿者中隨機選出名擔(dān)任迎賓工作, 求這名 擔(dān)任迎賓工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.18.（本小題滿分14分） 如圖4，在邊長為的菱

6、形中，點，分別是邊，的中點，沿將翻折到，連接，得到如圖5的五棱錐，且.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積. 19.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足, , n.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在正整數(shù)，使， 成等比數(shù)列? 若存在，求的值； 若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于，兩點，且點的坐標(biāo)為，點是橢圓上異于點,的任意一點，點滿足，且，三點不共線.(1) 求橢圓的方程；(2) 求點的軌跡方程；(3) 求面積的最大值及此時點的坐標(biāo).21.（本小題滿分14分）已知為常數(shù)，且，函數(shù)的最小

7、值和函數(shù)的最小值都是函數(shù)r的零點.（1）用含的式子表示，并求出的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.2015年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步

8、應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算共10小題，每小題5分，滿分50分題號12345678910答案bdbabccaca二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性共5小題，每小題5分，滿分20分其中1415題是選做題，考生只能選做一題11. 12. 13. 14. 15. 說明: 第14題答案可以是z.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）（本小題主要考查三角函數(shù)圖象的周期性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角恒等變換等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力

9、）（1）解： 1分 2分 3分 . 4分 函數(shù)的最小正周期為. 5分（2）解：， . 6分 . . 7分 是第一象限角， . 8分 . 9分 10分 11分 . 12分17. （本小題滿分12分）（本小題主要考查古典概型、分層抽樣等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力與應(yīng)用意識）（1）解: 由，得. 1分由，得， 2分 由，得. 3分（2）解：依據(jù)分層抽樣的方法，抽取的名志愿者中身高在區(qū)間上的有名，記為； 5分而身高在區(qū)間上的有名，記為. 7分 記“這名擔(dān)任迎賓工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm”為事件， 從身高不低于cm的志愿者中隨機選出名擔(dān)任迎賓工作，共有種不同取法

10、：， 9分事件包含的基本事件有種：， 11分為所求 12分18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）（1）證明：點，分別是邊，的中點， . 1分 菱形的對角線互相垂直， . 2分 . 3分 ，. 4分 平面，平面， 平面. 5分 平面. 6分（2）解：設(shè)，連接， ， 為等邊三角形. 7分 ，. 8分 在r t中， 9分 在中， 10分 . 11分 ，平面，平面， 平面. 12分 梯形的面積為，13分 四棱錐的體積.14分19（本小題滿分14分） （本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)

11、列等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力和創(chuàng)新意識）（1）解：, , . 1分 . 2分 . 3分（2）解法1: 由, 得. 4分 數(shù)列是首項為, 公差為的等差數(shù)列. . 5分 . 6分 當(dāng)時, 7分 . 8分而適合上式， . 9分解法2: 由, 得， 4分當(dāng)時，得， 5分 分 數(shù)列從第項開始是以為首項, 公差為的等差數(shù)列. 分 . 分而適合上式， . 9分（3）解：由(2)知, . 假設(shè)存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列, 則. 10分 即. 11分 為正整數(shù), . 得或, 12分 解得或, 與為正整數(shù)矛盾. 13分 不存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列. 14分20.（本小

12、題滿分14分）（本小題主要考查橢圓的方程、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解法1： 雙曲線的頂點為, 1分 橢圓兩焦點分別為,. 設(shè)橢圓方程為， 橢圓過點， ，得. 2分 . 3分 橢圓的方程為 . 4分解法2: 雙曲線的頂點為, 1分 橢圓兩焦點分別為,. 設(shè)橢圓方程為， 橢圓過點， . 2分. , 3分由解得, . 橢圓的方程為 . 4分（2）解法1：設(shè)點，點，由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，.由 , 得 ， 5分即 . 同理, 由, 得 . 6分 得 . 7分由于點在橢圓上, 則，得,代入式

13、得 . 當(dāng)時，有， 當(dāng)，則點或,此時點對應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程. 8分當(dāng)點與點重合時，即點，由得 ，解方程組 得點的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點與點重合時，可得點的坐標(biāo)為或.點的軌跡方程為 , 除去四個點, ,. 9分解法2：設(shè)點，點，由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，. ， 5分 . 6分 得 . (*) 7分 點在橢圓上, ，得,代入(*)式得，即, 化簡得 . 若點或, 此時點對應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程. 8分當(dāng)點與點重合時，即點，由得 ，解方程組 得點的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點與點重合時，可得點的坐標(biāo)為或.點的軌跡方程為 , 除去四個點, ,. 9分(3) 解法：點到直線的距

14、離為.的面積為10分 . 11分 而（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）. 12分當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立.由解得或 13分的面積最大值為, 此時,點的坐標(biāo)為或.14分解法：由于，故當(dāng)點到直線的距離最大時，的面積最大 10分設(shè)與直線平行的直線為，由消去，得， 由，解得11分若，則，；若，則， 12分故當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，的面積最大，其值為14分21. （本小題滿分14分） （本小題主要考查函數(shù)的最值、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點與單調(diào)性等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力、抽象概括能力與創(chuàng)新意識）（1）解: 由于，則， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，. 1分 ，當(dāng)時，.2分 ， ，.由于，結(jié)合題意，可知， 方程的兩根是