人教版高中數(shù)學在“病題”改造中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

1、參與參與再參與在“病題”改造中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力目前我國教育工作者編撰了大量的教輔資料，不少資料上的例習題難免會出現(xiàn)差錯，即造成“病題”。在課堂教學或個別輔導教學中要恰當?shù)靥幚磉@些“病題”，即不要簡單地下結(jié)論：“這道題出錯了，不要做”；“這道題條件不足，應更改為”；“這道題條件過強，應糾正為”等等。教育者此時要抓住機會，讓受教育者參與討論，自主探求這類“病題”錯在何處？如何更正？有哪幾條變換途徑？從而“變廢為寶”，“變封閉為開放”。這種處理“病題”的教法不但能培養(yǎng)學生解開放題的能力，也能促使學生養(yǎng)成自主探究的思維習慣，形成良好的思維品質(zhì)，而且還是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的一條重要途徑。例1 把函數(shù)的圖

2、象向左平移2個單位后，作出該圖象關于直線的對稱圖形f，則f所對應的函數(shù)是 。筆者在課堂教學中先讓學生自解此題，并叮囑學生要作解后反思。少頃有較多的同學給出了答案，筆者提問：你在解后反思中發(fā)現(xiàn)問題了嗎？你的解法嚴密嗎？是什么原因?qū)е陆夥ú粐烂?？此時學生興趣盎然，討論熱烈。生甲：我的答案是：，但題目并未說明存在反函數(shù)，故我的推理不嚴密。生乙：這是個“病題”！應增加條件：“有反函數(shù)”。教師：對，你們講得很好！還有其它改題方法嗎？生丙：可增加條件：“在定義域內(nèi)是增函數(shù)”。生丁：可增加：“在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)”。生戊：可增加：“確定的映射是一一映射”。通過自主討論，不單單改正了一個“病題”，更大的收獲在

3、于深層次地理解了推理“”的先決條件及反函數(shù)存在的幾個充分條件，這對培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)（嚴謹性與創(chuàng)造性）大有裨益。 例2 設g為的重心，已知bc邊的長為8，ac、ab邊的中線bd、ce長分別為8和7，試問：動點g的軌跡的是什么曲線？教師：請大家動手做一做，看能得出什么結(jié)論？生甲：取bc所在直線為軸，線段bc中垂線為軸，設g。因為，所以，故g點的軌跡是以b、c為焦點的橢圓。生乙：怪了，我的答案怎么會與甲完全不一樣：因，所以軌跡應是雙曲線的左支。教師：這究竟是何原因？是有兩個答案呢？還是題目有誤？生丙：噢！原來這是個“病題”：由于兩條中線的長為定值，故點g實際上是一個定點！教師：應如何改變題設條件，

4、才能使g點的軌跡是一條曲線？生丁：應改為兩中線長的和等于15，則軌跡為橢圓。生戊：也可改為兩中線長的差為1，則軌跡為雙曲線。教師：還有其他改題方法嗎？（教師要善于抓住這一訓練發(fā)散性、創(chuàng)新性思維的極佳時機）生己：又可改為兩中線bd、ce的長之比為8 ：7，則軌跡是圓。生庚：還可在兩條中線中去掉一條，則軌跡也是圓。教師：改得都很好！請同學們再想一想，除求點g的軌跡外，還能求哪個動點的軌跡？生辛：還能用代點法求點a的軌跡。熱烈的討論，高漲的情緒，充分發(fā)揮了學生的主體作用，有效地促使學生加深了對圓錐曲線及其軌跡的理解與認識，培養(yǎng)了學生學習數(shù)學的興趣與能力（包括合情推理、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新能力）。例3 已知是數(shù)

5、列的前n項和，。設，證明是等比數(shù)列。根據(jù)書上所附的提示，應改為。但筆者并非簡單地更正過來，而是運用如下教法。教師：怎樣證明是等比數(shù)列？生甲：只需證明（q是不為零的常數(shù)，）教師：大家不妨一試。（力促學生既動腦又動手）生乙：=咦！此題怪了，以下無法證明是等比數(shù)列呀！生丙：會不會題目有誤？由題設條件可求得b1=4,b2=11,b3=28,顯然，這說明根本不是等比數(shù)列，這果然是一道病題！教師：你們能憑借反例作出決斷，這很好！這其實是一種重要而又常用的方法。那么，本題病因在哪里？如何更正？（引發(fā)討論）生?。翰∫蛩圃谂c的關系式有誤。教師：怎樣找到這個正確的關系式呢？生戊：可用待定系數(shù)法：設，則 = = =

6、，當，即時，就是等比數(shù)列。生已：上述推理只有當時，才能成立。教師：大家再議一下，當時，能否為等比數(shù)列？生庚：時，故若，則當且僅當是等比數(shù)列時，是等比數(shù)列。教師：說得對！那么根據(jù)題目條件，有沒有可能是等比數(shù)列？（趁熱打鐵，進一步優(yōu)化思維品質(zhì)思維的嚴謹性）生辛：由，可得。假設為等比數(shù)列，則，化為，得。可知在該條件下，有可能是等比數(shù)列（公比必為2）。教師，大家的發(fā)言很好！那么和之間是否還存在其他關系，也能得出是等比數(shù)列呢？請大家在課后繼續(xù)探索吧！至此，課堂達到了高潮，這樣處理，最大限度地挖掘了學生的智力因素與非智力因素，不僅使他們加深了對等比數(shù)列幾個充要條件的認識，而且讓他們感受到自主討論、自主發(fā)現(xiàn)的樂趣，從而激發(fā)了他們學習數(shù)學的興趣。針對目前教輔資料中“病題”較多的現(xiàn)實，筆者認為這種教法既能提高學生自學教輔資料的診病能力和糾錯能力，又能培養(yǎng)他們的數(shù)學素質(zhì)、思