高中數(shù)學(xué)第二章幾個(gè)重要的不等式2.3.1數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)北師大版選修45201

1、2.3.1數(shù)學(xué)歸納法課后篇鞏固探究a組1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式為()a.1b.1+3c.1+2+3d.1+2+3+4解析:當(dāng)n=1時(shí)左邊有2n+1=21+1=3,所以左邊所得的代數(shù)式為1+2+3.答案:c2.已知n是正奇數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),若已假設(shè)當(dāng)n=k(k1且為奇數(shù))時(shí)命題為真,則還需證明()a.n=k+1時(shí)命題成立b.n=k+2時(shí)命題成立c.n=2k+2時(shí)命題成立d.n=2(k+2)時(shí)命題成立解析:因?yàn)閚是正奇數(shù),所以只需證明等式對(duì)所有奇數(shù)都成立,又k的下一個(gè)奇數(shù)是k+2,故選b.答案:b3.用數(shù)學(xué)歸納

2、法證明12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=n(2n2+1)3時(shí),由n=k(k1)的假設(shè)到證明n=k+1時(shí),等式左邊應(yīng)添加的式子是()a.(k+1)2+2k2b.(k+1)2+k2c.(k+1)2d.13(k+1)2(k+1)2+1解析:當(dāng)n=k(k1)時(shí),左邊為12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊為12+22+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12,分析等式變化規(guī)律可知左邊實(shí)際增加的是(k+1)2+k2.答案:b4.下列代數(shù)式(其中kn+)能被9整除的是()a.6+67kb.2+7k-1c.2(2+7k+1)d.3(2

3、+7k)解析:(1)當(dāng)k=1時(shí),顯然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假設(shè)當(dāng)k=n(nn+,n1)時(shí),命題成立,即3(2+7k)能被9整除,則當(dāng)k=n+1時(shí),3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除,即當(dāng)k=n+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)可知,命題對(duì)任何kn+都成立.答案:d5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n,第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是.解析:當(dāng)n=1時(shí),等式的左邊為1-12=12,右邊=12,所以左邊=右邊.答案:1-12=126.若凸n(n4)邊形有f(n)條對(duì)角線,則凸(n+1)邊形的對(duì)角線條數(shù)f(n+1)為.解析:

4、由題意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n)+n-17.若s(n)=1+12+13+13n-1(nn+),則s(5)-s(4)=.解析:依題意,s(5)=1+12+13+114,s(4)=1+12+13+111,于是s(5)-s(4)=112+113+114.答案:112+113+1148.已知f(n)=(2n+7)3n+9(nn+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除,結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kn+,k2)時(shí),結(jié)論成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,則當(dāng)n

5、=k+1時(shí),f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=(2k+7)3k3+23k+1+9=3(2k+7)3k+9-27+23k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1).因?yàn)?k-1-1(kn+,k2)是2的倍數(shù),所以18(3k-1-1)能被36整除,即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)一切正整數(shù)n,都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.9.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1n(n+1)2(nn+).證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊=(-1)01(1+1)2=1

6、,左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)n=k(kn+)時(shí),等式成立,即12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1k(k+1)2.則當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)(k+1)-k2=(-1)k(k+1)(k+1)+12.因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)于任何nn+等式成立.10.導(dǎo)學(xué)號(hào)35664042已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且an2+2an=4sn.(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸

7、納法證明(1)中猜想的結(jié)論.解(1)當(dāng)n=1時(shí),a12+2a1=4s1,即a12+2a1=4a1,即a12-2a1=0,解得a1=2(a1=0舍去);當(dāng)n=2時(shí),a22+2a2=4s2,即a22+2a2=4(2+a2),即a22-2a2-8=0,解得a2=4(a2=-2舍去);當(dāng)n=3時(shí),a32+2a3=4s3,即a32+2a3=4(2+4+a3),即a32-2a3-24=0,解得a3=6(a3=-4舍去);當(dāng)n=4時(shí),a42+2a4=4s4,即a42+2a4=4(2+4+6+a4),即a42-2a4-48=0,解得a4=8(a4=-6舍去).由以上結(jié)果猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n(nn

8、+).(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式為an=2n(nn+).當(dāng)n=1時(shí),a1=2,由(1)知,結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kn+)時(shí),結(jié)論成立,即ak=2k,這時(shí)有ak2+2ak=4sk,即sk=k2+k.則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+12+2ak+1=4sk+1,即ak+12+2ak+1=4(sk+ak+1),所以ak+12-2ak+1=4k2+4k,解得ak+1=2k+2=2(k+1)(ak+1=-2k舍去).故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.由可知,結(jié)論對(duì)任意nn+都成立.b組1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+2n+2=2n+3-1(nn+)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的式子為()a.

9、1b.1+2c.1+2+22d.1+2+22+23解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊為1+2+22+23.答案:d2.設(shè)平面內(nèi)有k條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k),則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是()a.f(k+1)=f(k)+k+1b.f(k+1)=f(k)+k-1c.f(k+1)=f(k)+kd.f(k+1)=f(k)+k+2解析:當(dāng)n=k+1時(shí),任取其中1條直線,記為l,則除l外的其他k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f(k),因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行,所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交(有k個(gè)交點(diǎn)).又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn),所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同

10、,且與平面內(nèi)其他的f(k)個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同,從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f(k)+k=f(k+1).答案:c3.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c對(duì)一切nn+都成立,則a,b,c的值為()a.a=12,b=c=14b.a=b=c=14c.a=0,b=c=14d.不存在這樣的a,b,c解析:由于該等式對(duì)一切nn+都成立,不妨取n=1,2,3,則有1=3(a-b)+c,1+23=9(2a-b)+c,1+23+332=27(3a-b)+c,解得a=12,b=c=14.答案:a4.在數(shù)列an中,a1=13,且sn=n(2n-1)an(nn+),通過求a2,a3,a4,猜想an的

11、表達(dá)式為.解析:由a1=13,sn=n(2n-1)an求得a2=115=135,a3=135=157,a4=163=179.猜想an=1(2n-1)(2n+1)(nn+).答案:an=1(2n-1)(2n+1)(nn+)5.已知數(shù)列an滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求a2,a3;(2)證明:an=3n-12(nn+).(1)解由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)證明當(dāng)n=1時(shí),a1=1=31-12.故命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)命題成立,即ak=3k-12.那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak+3k=3k-12+3k=3k-1+23k2=3k+

12、1-12,即當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由知,命題對(duì)nn+都成立,即an=3n-12(nn+).6.導(dǎo)學(xué)號(hào)35664043設(shè)an=1+12+13+1n(nn+),是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+an-1=g(n)(an-1)對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論.解假設(shè)g(n)存在,則當(dāng)n=2時(shí),a1=g(2)(a2-1),即1=g(2)1+12-1,故g(2)=2.當(dāng)n=3時(shí),a1+a2=g(3)(a3-1),即1+1+12=g(3)1+12+13-1,故g(3)=3.當(dāng)n=4時(shí),a1+a2+a3=g(4)(a4-1),即1+1+12+1+12+13=g(4)1+12+13+14-1,故g(4)=4.由此猜想g(n)=n(n2,nn+).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2,nn+時(shí),等式a1+a2+an-1=n(an-1)成立.(1)當(dāng)n=2時(shí),a1=1,g(2)(a2-1)=21+12-1=1,結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kn+