[高二數(shù)學(xué)]由兩異面直線所成角問題帶來的一點思考

1、由兩異面直線所成角問題帶來的一點思考李霞1（泰州市民興實驗中學(xué) 江蘇 泰州 225300）【摘要】：運用兩相交直線的關(guān)系解決空間中兩異面直線所成角的有關(guān)問題.【關(guān)鍵詞】：所成角；射影；角平分線.題目如下：直線相交于點，且成角，則過點且與都成角的直線有 條；上述兩題非常相似，所以本文就對第二題進行一些探討。為了敘述簡便，本文給出幾個規(guī)定：規(guī)定：本文所指的任意兩條直線為不重合的兩條直線；規(guī)定：直線所形成的非鈍角平分線記為，非銳角平分線記為；本文先給出如下定義：定義：空間中任意兩條直線所成角的范圍為。定理：斜直線與平面相交于點，直線在平面上的射影為，則在平面上過點的所有直線中，直線與直線所成的角最小

2、。證明：如圖，直線與平面相交于點，在直線上取點，過點做平面的垂線，垂足為點，則直線與直線所成的角為，記為，下證為最小角，在中，。設(shè)直線為除外任意一條過點且與相交的直線，與形成的角度記為，在平面上，過點做直線的垂線，垂足是點，連接，由三垂線定理可得，則在中，又在中，顯然有，所以有，故定理得證。由定理易得定理：定理：直線與平面相交于點，則在平面上過點的所有直線中，與直線所成的角的最大值為。證明留給讀者。現(xiàn)在我們對上述問題2給出解答。解：設(shè)直線為過點的任意一條直線，直線所確定的平面為，要使得與都成角，則直線在平面上的射影為或，則可見此題的答案有條，射影為的有條，還有一條就是射影為。將此題進行一些改動

3、，見如下一系列問題：變式1直線相交于點，且成角，過點與都成角的直線有 條；變式2直線相交與點，且成角，過點與都成角的直線有 條；變式3直線相交與點，且成角，過點與都成角的直線有 條；變式4直線相交與點，且成角，過點與都成角的直線有 條；現(xiàn)在我們將上述問題進行一些總結(jié)。結(jié)論1直線相交與點，且成角，直線過點且與都成角。當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；在以上的討論中，任意兩條直線之間所形成的角度相等，下面本文對等角進行一些改動。如：直線與相交于點，且成角，則過點且與所成角是的直線有幾條？解：此題的解題思路和上文的非常相似，答案為

4、兩條，在平面上的射影為。變1直線與相交于點，且成角，則過點且與所成角是的直線有幾條？變2直線與相交于點，且成角，則過點且與所成角是的直線有幾條？變3直線與相交于點，且成角，則過點且與所成角是的直線有幾條？變4直線與相交于點，且成角，則過點且與所成角是的直線有幾條？變5直線與相交于點，且成角，則過點且與所成角是的直線有幾條？現(xiàn)在給出一般情形下的解答：結(jié)論2直線相交于點，且成角，直線過點且與都成角。因為，所以，有。當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；當(dāng)時，滿足條件的直線為條；特別地，當(dāng)時，見上文結(jié)論1。參考文獻1袁小清從課本一道立體幾何習(xí)題所想到的數(shù)學(xué)教學(xué)2007年7月作者簡介：李霞，女，27周歲，1984年