ANSYS非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)

1、1ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)2主要內(nèi)容主要內(nèi)容nropt, , option, -, adptky 非線(xiàn)性方程組的解法cnvtol, lab, value, toler, norm, minref 收斂準(zhǔn)則autots, keyarclen, key, maxarc, minarc 過(guò)極值點(diǎn)的方法ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)3非線(xiàn)性方程組的解法概述（非線(xiàn)性方程組的解法概述（1）1.按照幾何、材料、狀態(tài)非線(xiàn)性理論建立的最后方程都是非線(xiàn)性的。2.在非線(xiàn)性分析中很難找到一種適合種類(lèi)型非線(xiàn)性及各種非線(xiàn)性程度的解法。3.各種解法均有各自的適用范圍，

2、選擇不當(dāng)可能引起收斂困難甚至發(fā)散。4.因此一般通用的非線(xiàn)性有限元程序都提供幾種解法以備用戶(hù)選用。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)4非線(xiàn)性方程組的解法概述（非線(xiàn)性方程組的解法概述（2）求解一個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡問(wèn)題通常等于求解結(jié)構(gòu)的總位能的駐值問(wèn)題。結(jié)構(gòu)總位能 ：公式（1）用虛功原理使公式（1）變分為零即得到有限元的平衡方程：公式（2）是的函數(shù)。 ( )tu uuf ( )( )0p ufk uuf ( )k u uansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)5非線(xiàn)性方程組的解法增量法（非線(xiàn)性方程組的解法增量法（1）顧名思義，增量法就是將荷載分成一系列的荷載增量，即ansys中的荷載步或荷載子步。要點(diǎn)：在每一個(gè)荷載增量

3、求解完成后，繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)荷載增量之前，調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的變化。公式（3）公式（4） 1111iiitiiikufuuu ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)6非線(xiàn)性方程組的解法增量法（非線(xiàn)性方程組的解法增量法（2）l增量法的優(yōu)點(diǎn)：可以追蹤結(jié)構(gòu)變形歷程，這對(duì)于材料或幾何非線(xiàn)性（特別是極限值屈曲分析）十分有用。l增量法的缺點(diǎn)：隨著荷載步增量的增加而產(chǎn)生積累誤差，導(dǎo)致荷載位移曲線(xiàn)飄移。l對(duì)飄移進(jìn)行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。現(xiàn)在應(yīng)用最廣的就是在每一級(jí)荷載增量上用newton-raphson或其變形的迭代法。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)7荷載位移曲線(xiàn)飄移示意圖荷載位移曲線(xiàn)飄移示意圖fu

4、真實(shí)解.誤差.有限元解ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)8非線(xiàn)性方程組的解法迭代法非線(xiàn)性方程組的解法迭代法迭代法公式：公式（5）割線(xiàn)剛度法：，收斂性差，因此很少應(yīng)用。切線(xiàn)剛度法：，令則得到newton-raphson迭代法。 11()iiiiiiuukkuf11iifkk11iitkk1ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)9full newton-raphson（f.n.r）fu在一個(gè)荷載步或子步內(nèi)每次迭代后重新形成一次itk缺點(diǎn)：消耗機(jī)時(shí)！優(yōu)點(diǎn)：適用于高度非線(xiàn)性問(wèn)題。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)10modified newton-raphson（m.n.r）fu缺點(diǎn)：收斂性較差。優(yōu)點(diǎn)：消耗機(jī)時(shí)少。在

5、一個(gè)荷載步或子步內(nèi)僅形成一次或每隔一定數(shù)目的迭代次數(shù)重新形成一次itkansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)11fuquasi-newton-raphson（q.n.r）0u1u2u3u0f1f2f3f0g1g2giiiguf 優(yōu)缺點(diǎn)介于前兩者之間。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)12非線(xiàn)性方程組的解法總結(jié)非線(xiàn)性方程組的解法總結(jié)計(jì)算效率：m.n.r高于q.n.r 高于 f.n.r收斂性：f.n.r 高于q.n.r 高于 m.n.r因此：當(dāng)非線(xiàn)性程度不高（一般為加載初期）時(shí)用m.n.r，當(dāng)非線(xiàn)性程度較高（一般為加載后期）時(shí)用q.n.r或f.n.r。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)13非線(xiàn)性方程組的解法非線(xiàn)性

6、方程組的解法ansys中的應(yīng)用中的應(yīng)用newton-raphson 選項(xiàng)：選項(xiàng)：main menusolutionanalysis typeanalysis optionsansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)14非線(xiàn)性方程組的解法非線(xiàn)性方程組的解法ansys中的應(yīng)用中的應(yīng)用nropt，auto：程序基于非線(xiàn)性程度選用。nropt，full：如果自適應(yīng)下降關(guān)閉（adptky為off），每次迭代均使用切線(xiàn)剛度；如果自適應(yīng)下降打開(kāi)（adptky為on），則迭代保持穩(wěn)定時(shí)使用切線(xiàn)剛度，一旦程序在迭代中探測(cè)到發(fā)散傾向，將使用切線(xiàn)剛度和割線(xiàn)剛度的加權(quán)組合。nropt，modi：程序在每一個(gè)子步中修正切線(xiàn)剛度。自

7、適應(yīng)下降不可用。nropt，init：程序在所有迭代中都使用初始剛度。自適應(yīng)下降不可用。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)15收斂準(zhǔn)則位移準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則位移準(zhǔn)則 11idiiuuu d位移收斂容差，一般取0.0010.005之間；iu某種范數(shù)，一般為二范數(shù)，即：12211niikkuun位移收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)16位移收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！位移收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！fuuf很小的位移變化引起很大的力的變化！ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)17收斂準(zhǔn)則不平衡力準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則不平衡力準(zhǔn)則 ifff iiffp不平衡力 f外荷載矢量 ip第 i 次迭代完成時(shí)與內(nèi)力相平衡的節(jié)點(diǎn)力矢量，

8、即： iiipku不平衡力收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)18不平衡力收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！fuuf很小的力的變化引起很大的位移變化！ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)19收斂準(zhǔn)則能量準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則能量準(zhǔn)則 11ttiieufpufp把每次迭代時(shí)內(nèi)能的增量（不平衡力在位移增量上做的功）與初始的內(nèi)能比較：或者把上述內(nèi)能增量與當(dāng)前的總能量比較： tiieiufpu 11112tiiiiiuuupp其中ui為勢(shì)能：需要更多的計(jì)算！ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)20收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則ansys中的應(yīng)用（中的應(yīng)用（1）main menusolutionload step optsnonlinea

9、rconvergence critansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)21收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則ansys中的應(yīng)用（中的應(yīng)用（2）缺省的收斂準(zhǔn)則：將不平衡力的范數(shù)與valuetoler進(jìn)行比較，來(lái)對(duì)力或者力矩進(jìn)行收斂檢查。value的缺省值是所加荷載（或位移）的范數(shù)和minref（缺省為1.0）中的較大值。如果定義了任何收斂準(zhǔn)則，缺省準(zhǔn)則將“失效”！一般總要使用力的收斂準(zhǔn)則！ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)22收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則ansys中的應(yīng)用（中的應(yīng)用（3）用戶(hù)收斂準(zhǔn)則：cnvtol, lab, value, toler, norm, minrefq使用嚴(yán)格的收斂準(zhǔn)則將提高結(jié)果的精度，但以更多的平衡迭代為

10、代價(jià)。q一般情況下value應(yīng)使用默認(rèn)值，而通過(guò)調(diào)整toler改變收斂準(zhǔn)則。q應(yīng)當(dāng)確保minref=1.0在分范圍內(nèi)有意義。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)23過(guò)極值點(diǎn)的方法非線(xiàn)性屈曲過(guò)極值點(diǎn)的方法非線(xiàn)性屈曲非線(xiàn)性屈曲的主要難點(diǎn)：當(dāng)荷載增至極值（臨界）荷載fcr時(shí)，結(jié)構(gòu)的切線(xiàn)剛度趨于奇異，方程呈病態(tài)因而求解困難。因此，如何求得盡可能接近于真實(shí)的臨界荷載就成為非線(xiàn)性屈曲研究的重點(diǎn)。荷載的兩種類(lèi)別：比例加載和非比例加載。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)24比例加載比例加載對(duì)大多數(shù)靜機(jī)械荷載或穩(wěn)態(tài)溫度情況，在荷載施加的過(guò)程中它們的分布函數(shù)不變，而各點(diǎn)荷載值是按比例增減。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以把任一時(shí)刻的平衡

11、狀態(tài)選為參考狀態(tài)，結(jié)構(gòu)外荷載矢量為，其他時(shí)刻的荷載可以寫(xiě)為，求解極值荷載轉(zhuǎn)化為求極值時(shí)的比例參數(shù)。下面僅討論比例加載情況下過(guò)極值點(diǎn)（過(guò)屈曲）的方法：當(dāng)前的主流方法是自動(dòng)步長(zhǎng)法。rfttrffcrfcransys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)25自動(dòng)步長(zhǎng)法概述（自動(dòng)步長(zhǎng)法概述（1）如前所述，非線(xiàn)性方程組的解法主要是增量加迭代法，即外荷載是逐級(jí)施加的，每施加一級(jí)荷載增量后進(jìn)行平衡迭代直至解的結(jié)果滿(mǎn)足允許容差。因此，荷載增量大小的控制對(duì)求解有很重要的意義：增量過(guò)大，解難于收斂甚至發(fā)散，這一點(diǎn)在接近極值點(diǎn)時(shí)特別明顯；增量太小，意味著求解次數(shù)過(guò)多，使計(jì)算工作量增大。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)26自動(dòng)步長(zhǎng)法概述

12、（自動(dòng)步長(zhǎng)法概述（2）在一個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程中，沒(méi)有必要采用等荷載增量。對(duì)于非線(xiàn)性程度不高的階段（一般是荷載作用的初始階段），步長(zhǎng)可選得大些；對(duì)于非線(xiàn)性程度較高的階段（一般是加載后期）步長(zhǎng)需選得小些。當(dāng)荷載接近極值點(diǎn)時(shí)，很小的荷載增量都會(huì)引起很大位移，此時(shí)可不再直接施加荷載，而是改由控制其他參數(shù)使計(jì)算可以安全超過(guò)極值點(diǎn)，人們僅給出一些控制參數(shù)，步長(zhǎng)由算法控制，這類(lèi)方法就稱(chēng)為自動(dòng)步長(zhǎng)法。ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)27自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（1）控制位移法是將有限元中的荷載作為變量而位移作為獨(dú)立量，即給出位移增量，反求荷載增量，就加載意義而言是一種自動(dòng)步長(zhǎng)法。下面是具體的推導(dǎo)

13、過(guò)程：( )( )1112111( )2122222jjrjiriiikkufrkkurf 式中右上標(biāo)為第 j 荷載步，右下標(biāo)為第 i 次迭代。( )( )( )jjjrpf第 j 荷載步初始不平衡力。（6）ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)28自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（2）假定位移分量在屈曲時(shí)反應(yīng)明顯，將其選為人為的控制位移分量，令，為給定值。由式（6）交換變量得：2u22uu2 u( )( )( )11111122( )( )( )221222jjrjjjrjiiiiukfrkurkfk（7）式（7）展開(kāi)： ( )( )( )( )11111122jjjjriiiiikufr

14、ku ( )( )( )( )21122222jjjjriiiiikufrku （8）（9）ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)29自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（3）在一個(gè)迭代步中，（8）式為線(xiàn)性的，可以將其解分為兩個(gè)部分：( )iii111jiiiiuuu （10）將式（10）代入（8）中，分別得到：( )i1111jriikuf ( )( )( )ii1111122jjjiiiikurku（11）（12）由式（11）、（12）分別可以求得、i1iuii1iuansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)30自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（4）將由、表示的代入式（9），可以求得荷載增量因

15、子：i1iuii1iu1iu( )( )( )2211222( )( )2211jjjiiiiijiijriiirkukufku（13）( ) ji上述方法要求將剛度矩陣分解為、等矩陣，在接近極值點(diǎn)處不是很合適。因此可仿造m.n.r，在一系列迭代步中，一直采用初始剛度矩陣，將它分解為、，在迭代中不再修改。 ( ) jik( )11jik( )12jik( )21jik( )22jik ( )1jk( )111jk( )121jk( )211jk( )221jkansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)31自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（5）將解分為兩部分：iu ( )1jirikuf ( )(

16、 )1jjiiiikur（15）（16）對(duì)其中的控制分量有：( )iii2222jiiiiuuuu （17）由式（6）可得：( ) jiiiiiiiuuu （14）ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)32自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（6）22( )1121iijiuuu （18）從第二步迭代開(kāi)始，因?yàn)闉槎ㄖ?，故，荷載增量因子為： 2u20u2( )22,3,iijiiiiuiu （19）第一次迭代可定出荷載增量因子：ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)33自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（自動(dòng)步長(zhǎng)法控制位移法（7）控制位移法的算法步驟：1. 求解式（15）得到，挑出指定位移分量。2. 求解不平衡力及式（

17、16）得到，挑出指定位移分量。3. 如果是第一次迭代由式（18）求，如果是第二次以后的迭代，由式（19）求。4. 由式（14）求。5. 用迭代收斂準(zhǔn)則檢驗(yàn)是否得到收斂解，如果未得到，i=i+1，重復(fù)2到5步驟；如果收斂，j=j+1，轉(zhuǎn)入下一位移增量步。iiu2iiu ( ) jiriiiu2iiiu( )1j( ) jiiuansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)34自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（1）每施加一個(gè)荷載步時(shí)直接控制走多長(zhǎng)一段荷載位移曲線(xiàn)（多維情況為空間超曲線(xiàn)）。為此，需要對(duì)荷載增量比例參數(shù)加一個(gè)約束方程。對(duì)由 j 至 j+1 荷載步的第一次迭代，施加如下約束： 22111tuuds （

18、20）式中稱(chēng)為廣義“弧長(zhǎng)”，是由用戶(hù)控制的值。dsansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)35自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（2）為保證迭代最近地走向收斂，迭代路徑應(yīng)沿 j 點(diǎn)切線(xiàn)的垂直面上，也即切線(xiàn)與該面上矢量 的標(biāo)量積為零：tu0tu （21）式中 11jtietue （22） jtiiieuue （23）用矩陣表示式（21）為： 1102,3,tiiuui （24）ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)36自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（3）與控制位移法一樣，將未知矢量分解為兩個(gè)部分：iiiiiiiuuu （25）式中及分別由式（15）和（16）求得。將式（25）代入式（24）可解出未知的荷載增量因子：iiuiiiuiu111tiiiitiiuuuu （26）ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)37自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（4）如果用m.n.r，在迭代中只需對(duì)式（15）求解一次，也即，1iiiuu （27）而在第一次迭代開(kāi)始前，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，因此，由式（16）可知，從而由式（25）可得： 0ir10iiu11iiuu（28）ansys非線(xiàn)性求解的理論基礎(chǔ)38自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（自動(dòng)步長(zhǎng)法弧長(zhǎng)法（5）將式（28）代入式（26）中，于是得到弧長(zhǎng)法的最終形式： 121111tiiiituuuu （29）弧長(zhǎng)法與控制位移法的區(qū)別：求荷載增量因子的公式不