ANSYS非線性求解的理論基礎(chǔ)

1、1ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)非線性求解的理論基礎(chǔ)ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)2主要內(nèi)容主要內(nèi)容nropt, , option, -, adptky 非線性方程組的解法cnvtol, lab, value, toler, norm, minref 收斂準則autots, keyarclen, key, maxarc, minarc 過極值點的方法ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)3非線性方程組的解法概述（非線性方程組的解法概述（1）1.按照幾何、材料、狀態(tài)非線性理論建立的最后方程都是非線性的。2.在非線性分析中很難找到一種適合種類型非線性及各種非線性程度的解法。3.各種解法均有各自的適用范圍，

2、選擇不當(dāng)可能引起收斂困難甚至發(fā)散。4.因此一般通用的非線性有限元程序都提供幾種解法以備用戶選用。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)4非線性方程組的解法概述（非線性方程組的解法概述（2）求解一個結(jié)構(gòu)的平衡問題通常等于求解結(jié)構(gòu)的總位能的駐值問題。結(jié)構(gòu)總位能 ：公式（1）用虛功原理使公式（1）變分為零即得到有限元的平衡方程：公式（2）是的函數(shù)。 ( )tu uuf ( )( )0p ufk uuf ( )k u uansys非線性求解的理論基礎(chǔ)5非線性方程組的解法增量法（非線性方程組的解法增量法（1）顧名思義，增量法就是將荷載分成一系列的荷載增量，即ansys中的荷載步或荷載子步。要點：在每一個荷載增量

3、求解完成后，繼續(xù)進行下一個荷載增量之前，調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的變化。公式（3）公式（4） 1111iiitiiikufuuu ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)6非線性方程組的解法增量法（非線性方程組的解法增量法（2）l增量法的優(yōu)點：可以追蹤結(jié)構(gòu)變形歷程，這對于材料或幾何非線性（特別是極限值屈曲分析）十分有用。l增量法的缺點：隨著荷載步增量的增加而產(chǎn)生積累誤差，導(dǎo)致荷載位移曲線飄移。l對飄移進行平衡修正，可以大大提高增量法的精度?，F(xiàn)在應(yīng)用最廣的就是在每一級荷載增量上用newton-raphson或其變形的迭代法。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)7荷載位移曲線飄移示意圖荷載位移曲線飄移示意圖fu

4、真實解.誤差.有限元解ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)8非線性方程組的解法迭代法非線性方程組的解法迭代法迭代法公式：公式（5）割線剛度法：，收斂性差，因此很少應(yīng)用。切線剛度法：，令則得到newton-raphson迭代法。 11()iiiiiiuukkuf11iifkk11iitkk1ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)9full newton-raphson（f.n.r）fu在一個荷載步或子步內(nèi)每次迭代后重新形成一次itk缺點：消耗機時！優(yōu)點：適用于高度非線性問題。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)10modified newton-raphson（m.n.r）fu缺點：收斂性較差。優(yōu)點：消耗機時少。在

5、一個荷載步或子步內(nèi)僅形成一次或每隔一定數(shù)目的迭代次數(shù)重新形成一次itkansys非線性求解的理論基礎(chǔ)11fuquasi-newton-raphson（q.n.r）0u1u2u3u0f1f2f3f0g1g2giiiguf 優(yōu)缺點介于前兩者之間。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)12非線性方程組的解法總結(jié)非線性方程組的解法總結(jié)計算效率：m.n.r高于q.n.r 高于 f.n.r收斂性：f.n.r 高于q.n.r 高于 m.n.r因此：當(dāng)非線性程度不高（一般為加載初期）時用m.n.r，當(dāng)非線性程度較高（一般為加載后期）時用q.n.r或f.n.r。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)13非線性方程組的解法非線性

6、方程組的解法ansys中的應(yīng)用中的應(yīng)用newton-raphson 選項：選項：main menusolutionanalysis typeanalysis optionsansys非線性求解的理論基礎(chǔ)14非線性方程組的解法非線性方程組的解法ansys中的應(yīng)用中的應(yīng)用nropt，auto：程序基于非線性程度選用。nropt，full：如果自適應(yīng)下降關(guān)閉（adptky為off），每次迭代均使用切線剛度；如果自適應(yīng)下降打開（adptky為on），則迭代保持穩(wěn)定時使用切線剛度，一旦程序在迭代中探測到發(fā)散傾向，將使用切線剛度和割線剛度的加權(quán)組合。nropt，modi：程序在每一個子步中修正切線剛度。自

7、適應(yīng)下降不可用。nropt，init：程序在所有迭代中都使用初始剛度。自適應(yīng)下降不可用。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)15收斂準則位移準則收斂準則位移準則 11idiiuuu d位移收斂容差，一般取0.0010.005之間；iu某種范數(shù)，一般為二范數(shù)，即：12211niikkuun位移收斂準則有時不可靠！ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)16位移收斂準則有時不可靠！位移收斂準則有時不可靠！fuuf很小的位移變化引起很大的力的變化！ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)17收斂準則不平衡力準則收斂準則不平衡力準則 ifff iiffp不平衡力 f外荷載矢量 ip第 i 次迭代完成時與內(nèi)力相平衡的節(jié)點力矢量，

8、即： iiipku不平衡力收斂準則有時不可靠！ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)18不平衡力收斂準則有時不可靠！fuuf很小的力的變化引起很大的位移變化！ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)19收斂準則能量準則收斂準則能量準則 11ttiieufpufp把每次迭代時內(nèi)能的增量（不平衡力在位移增量上做的功）與初始的內(nèi)能比較：或者把上述內(nèi)能增量與當(dāng)前的總能量比較： tiieiufpu 11112tiiiiiuuupp其中ui為勢能：需要更多的計算！ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)20收斂準則收斂準則ansys中的應(yīng)用（中的應(yīng)用（1）main menusolutionload step optsnonlinea

9、rconvergence critansys非線性求解的理論基礎(chǔ)21收斂準則收斂準則ansys中的應(yīng)用（中的應(yīng)用（2）缺省的收斂準則：將不平衡力的范數(shù)與valuetoler進行比較，來對力或者力矩進行收斂檢查。value的缺省值是所加荷載（或位移）的范數(shù)和minref（缺省為1.0）中的較大值。如果定義了任何收斂準則，缺省準則將“失效”！一般總要使用力的收斂準則！ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)22收斂準則收斂準則ansys中的應(yīng)用（中的應(yīng)用（3）用戶收斂準則：cnvtol, lab, value, toler, norm, minrefq使用嚴格的收斂準則將提高結(jié)果的精度，但以更多的平衡迭代為

10、代價。q一般情況下value應(yīng)使用默認值，而通過調(diào)整toler改變收斂準則。q應(yīng)當(dāng)確保minref=1.0在分范圍內(nèi)有意義。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)23過極值點的方法非線性屈曲過極值點的方法非線性屈曲非線性屈曲的主要難點：當(dāng)荷載增至極值（臨界）荷載fcr時，結(jié)構(gòu)的切線剛度趨于奇異，方程呈病態(tài)因而求解困難。因此，如何求得盡可能接近于真實的臨界荷載就成為非線性屈曲研究的重點。荷載的兩種類別：比例加載和非比例加載。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)24比例加載比例加載對大多數(shù)靜機械荷載或穩(wěn)態(tài)溫度情況，在荷載施加的過程中它們的分布函數(shù)不變，而各點荷載值是按比例增減。根據(jù)這一特點，可以把任一時刻的平衡

11、狀態(tài)選為參考狀態(tài)，結(jié)構(gòu)外荷載矢量為，其他時刻的荷載可以寫為，求解極值荷載轉(zhuǎn)化為求極值時的比例參數(shù)。下面僅討論比例加載情況下過極值點（過屈曲）的方法：當(dāng)前的主流方法是自動步長法。rfttrffcrfcransys非線性求解的理論基礎(chǔ)25自動步長法概述（自動步長法概述（1）如前所述，非線性方程組的解法主要是增量加迭代法，即外荷載是逐級施加的，每施加一級荷載增量后進行平衡迭代直至解的結(jié)果滿足允許容差。因此，荷載增量大小的控制對求解有很重要的意義：增量過大，解難于收斂甚至發(fā)散，這一點在接近極值點時特別明顯；增量太小，意味著求解次數(shù)過多，使計算工作量增大。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)26自動步長法概述

12、（自動步長法概述（2）在一個問題的求解過程中，沒有必要采用等荷載增量。對于非線性程度不高的階段（一般是荷載作用的初始階段），步長可選得大些；對于非線性程度較高的階段（一般是加載后期）步長需選得小些。當(dāng)荷載接近極值點時，很小的荷載增量都會引起很大位移，此時可不再直接施加荷載，而是改由控制其他參數(shù)使計算可以安全超過極值點，人們僅給出一些控制參數(shù)，步長由算法控制，這類方法就稱為自動步長法。ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)27自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（1）控制位移法是將有限元中的荷載作為變量而位移作為獨立量，即給出位移增量，反求荷載增量，就加載意義而言是一種自動步長法。下面是具體的推導(dǎo)

13、過程：( )( )1112111( )2122222jjrjiriiikkufrkkurf 式中右上標(biāo)為第 j 荷載步，右下標(biāo)為第 i 次迭代。( )( )( )jjjrpf第 j 荷載步初始不平衡力。（6）ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)28自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（2）假定位移分量在屈曲時反應(yīng)明顯，將其選為人為的控制位移分量，令，為給定值。由式（6）交換變量得：2u22uu2 u( )( )( )11111122( )( )( )221222jjrjjjrjiiiiukfrkurkfk（7）式（7）展開： ( )( )( )( )11111122jjjjriiiiikufr

14、ku ( )( )( )( )21122222jjjjriiiiikufrku （8）（9）ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)29自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（3）在一個迭代步中，（8）式為線性的，可以將其解分為兩個部分：( )iii111jiiiiuuu （10）將式（10）代入（8）中，分別得到：( )i1111jriikuf ( )( )( )ii1111122jjjiiiikurku（11）（12）由式（11）、（12）分別可以求得、i1iuii1iuansys非線性求解的理論基礎(chǔ)30自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（4）將由、表示的代入式（9），可以求得荷載增量因

15、子：i1iuii1iu1iu( )( )( )2211222( )( )2211jjjiiiiijiijriiirkukufku（13）( ) ji上述方法要求將剛度矩陣分解為、等矩陣，在接近極值點處不是很合適。因此可仿造m.n.r，在一系列迭代步中，一直采用初始剛度矩陣，將它分解為、，在迭代中不再修改。 ( ) jik( )11jik( )12jik( )21jik( )22jik ( )1jk( )111jk( )121jk( )211jk( )221jkansys非線性求解的理論基礎(chǔ)31自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（5）將解分為兩部分：iu ( )1jirikuf ( )(

16、 )1jjiiiikur（15）（16）對其中的控制分量有：( )iii2222jiiiiuuuu （17）由式（6）可得：( ) jiiiiiiiuuu （14）ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)32自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（6）22( )1121iijiuuu （18）從第二步迭代開始，因為為定值，故，荷載增量因子為： 2u20u2( )22,3,iijiiiiuiu （19）第一次迭代可定出荷載增量因子：ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)33自動步長法控制位移法（自動步長法控制位移法（7）控制位移法的算法步驟：1. 求解式（15）得到，挑出指定位移分量。2. 求解不平衡力及式（

17、16）得到，挑出指定位移分量。3. 如果是第一次迭代由式（18）求，如果是第二次以后的迭代，由式（19）求。4. 由式（14）求。5. 用迭代收斂準則檢驗是否得到收斂解，如果未得到，i=i+1，重復(fù)2到5步驟；如果收斂，j=j+1，轉(zhuǎn)入下一位移增量步。iiu2iiu ( ) jiriiiu2iiiu( )1j( ) jiiuansys非線性求解的理論基礎(chǔ)34自動步長法弧長法（自動步長法弧長法（1）每施加一個荷載步時直接控制走多長一段荷載位移曲線（多維情況為空間超曲線）。為此，需要對荷載增量比例參數(shù)加一個約束方程。對由 j 至 j+1 荷載步的第一次迭代，施加如下約束： 22111tuuds （

18、20）式中稱為廣義“弧長”，是由用戶控制的值。dsansys非線性求解的理論基礎(chǔ)35自動步長法弧長法（自動步長法弧長法（2）為保證迭代最近地走向收斂，迭代路徑應(yīng)沿 j 點切線的垂直面上，也即切線與該面上矢量 的標(biāo)量積為零：tu0tu （21）式中 11jtietue （22） jtiiieuue （23）用矩陣表示式（21）為： 1102,3,tiiuui （24）ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)36自動步長法弧長法（自動步長法弧長法（3）與控制位移法一樣，將未知矢量分解為兩個部分：iiiiiiiuuu （25）式中及分別由式（15）和（16）求得。將式（25）代入式（24）可解出未知的荷載增量因子：iiuiiiuiu111tiiiitiiuuuu （26）ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)37自動步長法弧長法（自動步長法弧長法（4）如果用m.n.r，在迭代中只需對式（15）求解一次，也即，1iiiuu （27）而在第一次迭代開始前，可以認為結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，因此，由式（16）可知，從而由式（25）可得： 0ir10iiu11iiuu（28）ansys非線性求解的理論基礎(chǔ)38自動步長法弧長法（自動步長法弧長法（5）將式（28）代入式（26）中，于是得到弧長法的最終形式： 121111tiiiituuuu （29）弧長法與控制位移法的區(qū)別：求荷載增量因子的公式不