高三理科精英班數(shù)學(xué)綜合測(cè)試(試題及答案)

1、2012屆高三理科精英班數(shù)學(xué)綜合測(cè)試(2) 20120304一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）（a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限（d）第四象限2已知集合，則=（ ）（a） （b） （c）（d）3. 一組長(zhǎng)數(shù)據(jù)從小到大的莖葉圖為：4|0 1 3 3 4 6 7 8，在右圖所示的程序框圖中是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則輸出的的值為（ ）（a）7（b）8（c）9（d）564. 已知點(diǎn)是的重心，若，則的最小值是（ ）（ ）（a）（b） （c）（d） 5下列四個(gè)命題中，正確的是（ ）（a）對(duì)于命

2、題，使得，則，均有（b）函數(shù)切線斜率的最大值是2（c）已知服從正態(tài)分布，且，則（d）已知函數(shù)，則6利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，年生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的關(guān)系可近似地表示為，則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為（ ） （a）240 （b）200 （c）180 （d）1607. 已知a1、a2是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，b是它短軸的一個(gè)端點(diǎn)，如果與的夾角不小于，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）（a）（b）（c）（d）8對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào)表示的整數(shù)部分，即是不超過的最大整數(shù)，例如2=2；2.1=2；2.2=3，這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用，那

3、么的值為（ ）（a）847（b）850（c）852（d）8579. 如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖位置.若初始位置為，當(dāng)秒針從（注此時(shí)）正常開始走時(shí)，那么點(diǎn)p的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為（ ） a.b. c.d.10. 已知，直線和曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)閙，向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)a，點(diǎn)a落在區(qū)域m內(nèi)的概率為p（m），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )abcd0，1二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值等于_ 12已知o是abc的外心，ab=2，ac=3，x+2y=1,若，則 13設(shè),若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都

4、存在以為三邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 14我們把形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在（1，1）處的切線方程是 15選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評(píng)閱計(jì)分(a)(幾何證明選講選做題) 如圖，cb是o的直徑，ap是o的切線，為切點(diǎn)，ap與cb的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)p，若pa=8，pb=4，求|ac|= 。（b）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系ox中，已知曲線與曲線c2；相交于a、b兩點(diǎn)，求線段|ab|= 。三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

5、過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn). （）求的值；（）若函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍17（本小題滿分12分）某旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供甲、乙、丙、丁4條旅游線路，每個(gè)旅游團(tuán)只能任選其中一條線路，不同的旅游團(tuán)可選相同的旅游線路.(1)求3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同的線路的概率；(2)求選擇甲線路旅游團(tuán)的團(tuán)數(shù)的分布列和期望.18（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd為直角梯形，ad/bc，adc=90，平面pad底面abcd，q為ad的中點(diǎn)，m是棱pc上的點(diǎn)，pa=pd=2，bc=ad=1，cd=（1）求證：平面pqb平面

6、pad； （2）若二面角m-bq-c為30，設(shè)pm=tmc，試確定t的值19（本題滿分12分）已知(1) 當(dāng)a = 1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2) 對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3) 證明：對(duì)一切，都有成立20（本題滿分13分）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程;(2)已知?jiǎng)又本€過點(diǎn),交拋物線于、兩點(diǎn).若直線的斜率為1,求的長(zhǎng);是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.21.（本小題滿分14分）已數(shù)列滿足a1 = 1，a2 = 3，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)

7、，的前n項(xiàng)和為，求證2012屆高三理科精英班數(shù)學(xué)綜合測(cè)試(2)參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. b 2. c 3. a. 4. c 5d6b 7.c. 8d. 9. c. 10. d二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分118 ； 12. ； 13 1415選做題：(a) ; (b) 三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16 17. 解：(1)3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率為p1.(2)設(shè)選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)為，則0,1,2,3，p(0)，p(1)，p(2)，p(

8、3).的分布列為 0123p期望e0123. 18解：（1）ad / bc，bc=ad，q為ad的中點(diǎn)，四邊形bcdq為平行四邊形，cd / bq adc=90 aqb=90 即qbad又平面pad平面abcd 且平面pad平面abcd=ad， bq平面pad bq平面pqb，平面pqb平面pad 另證：ad / bc，bc=ad，q為ad的中點(diǎn)， 四邊形bcdq為平行四邊形，cd / bq adc=90 aqb=90 pa=pd， pqad pqbq=q， ad平面pbq ad平面pad，平面pqb平面pad（2）pa=pd，q為ad的中點(diǎn)， pqad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad， pq平面abcd 如圖，以q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則平面bqc的法向量為；， 設(shè)，則， ， 在平面mbq中， 平面mbq法向量為 二面角m-bq-c為30， ， 19解: (1) 時(shí)，由，得， 的單調(diào)增區(qū)間為同理可得減區(qū)間為(2) 即 對(duì)恒成立也即 對(duì)恒成立令，則由， 在（0，1）遞減，（1，+）遞增 (3) 即證對(duì)成立由(1)知，的最