北京市重點中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)檢測理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、20142015學(xué)年度第二學(xué)期3月月考高 三 數(shù) 學(xué)（理）試 卷 （考試時間120分鐘 滿分150分）第i卷 （選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個選項中,選出符合題目要求的一項）1 設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為a b c d2已知的展開式中各項系數(shù)之和為，則該展開式中含項的系數(shù)為 a. b. c. d. 3平面向量，共線的充要條件是a，的方向相同 b，中至少有一個為零向量 c， d存在不全為零的實數(shù)， 4將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象關(guān)于直線對稱，則的最小正值為a bc d5是雙

2、曲線（，）的右支上的一點，分別是左、右焦點，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為a b c d 6某次聯(lián)歡會要安排個歌舞類節(jié)目，個小品類節(jié)目和個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 ab cd7. 的外接圓的圓心為，則等于ab cd8如圖，在公路的兩側(cè)有四個村鎮(zhèn)：，它們通過小路和公路相連，各路口分別是. 某燃?xì)夤疽诠放越ㄒ粋€調(diào)壓站，并從調(diào)壓站出發(fā)沿公路和各小路通過低壓輸配管道（每個村鎮(zhèn)單獨一條管道）將燃?xì)馑偷礁鞔彐?zhèn)，為使低壓輸配管道總長度最小，調(diào)壓站應(yīng)建在a處 b段公路旁的任一處c處 d段公路旁的任一處第ii卷 （非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

3、9. 在極坐標(biāo)系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是 . b10. 如圖, 已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點, 且，. 若與該圓相切，則線段的長為 .11. 右圖是一個幾何體的三視圖，已知側(cè)視圖是一個等邊三角形，根據(jù)圖中尺寸（單位：），這個幾何體的體積為 ；表面積為 . 12. 已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是 .13在中，角的對邊分別為，且，若的面積為，則的最小值為 .14已知是等差數(shù)列的前項和，且，有下列五個命題： ； ； ； 數(shù)列中的最大項為； .其中正確的命題是 （寫出你認(rèn)為正確的所有命題的序號）解：、三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解

4、答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）15（本小題13分）已知函數(shù)， （）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（）在中，三內(nèi)角的對邊分別為，已知, 成等差數(shù)列，且，求 及 的值.16（本小題13 分）在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次. 在a處每投進一球得3分；在b處每投進一球得2分. 如果前兩次得分之和超過3分就停止投籃；否則投第三次. 某同學(xué)在a處的投中率為0.25，在b處的投中率為. 該同學(xué)選擇先在a處投一球，以后都在b處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為（）求的值；（）求隨機變量的數(shù)學(xué)期望e；（）試比較該同學(xué)選擇都在b處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃

5、得分超過3分的概率的大小.17（本小題 14 分） 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，,平面，是的中點，是的中點. () 求證：平面；（）求證：平面平面；（）求平面與平面所成的銳二面角的大小. 18（本小題13分） 已知函數(shù)， （）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （）設(shè)，是否存在實數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由. （iii）當(dāng) 時，證明： 19（本小題14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且經(jīng)過點和點.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為，若直線與橢圓交于不同的兩點，求的取值范圍20（本小

6、題13分）若有窮數(shù)列，（）滿足：（1）；（2）.則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”.（）分別寫出一個單調(diào)遞增的“階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“階非凡數(shù)列”； （）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項公式；（）記“階非凡數(shù)列”的前項的和為（），證明：（1）； （2）.20142015學(xué)年度第二學(xué)期3月月考高 三 數(shù) 學(xué)（理）試 卷 答 案（考試時間120分鐘 滿分150分）第i卷 （選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個選項中,選出符合題目要求的一項）1 設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為a b c d解：，選b.2已知的展開式中各項系數(shù)之和為，則該展開

7、式中含項的系數(shù)為 a. b. c. d. 解：令，得展開式中各項系數(shù)之和為. 解方程，得.故該展開式中含項為，其系數(shù)為，選 a.3平面向量，共線的充要條件是a，的方向相同 b，中至少有一個為零向量 c， d存在不全為零的實數(shù)， 解：d4 將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象關(guān)于直線對稱，則的最小正值為a bc d解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得，再將圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得，令，得，（）故的最小正值為，選b5是雙曲線（，）的右支上的一點，分別是左、右焦點，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為a b c d 解法一：設(shè)橫坐標(biāo)為，則由，得，

8、選a解法二：當(dāng)右頂點時，. 選a6某次聯(lián)歡會要安排個歌舞類節(jié)目，個小品類節(jié)目和個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 ab cd 解：先安排小品類節(jié)目和相聲類節(jié)目，然后讓歌舞類節(jié)目去插空.（1）小品1，相聲，小品2.（2）小品1，小品2，相聲.（3）相聲，小品1，小品2.共有種，選b7. 的外接圓的圓心為，則等于ab cd解：c8如圖，在公路的兩側(cè)有四個村鎮(zhèn)：，它們通過小路和公路相連，各路口分別是. 某燃?xì)夤疽诠放越ㄒ粋€調(diào)壓站，并從調(diào)壓站出發(fā)沿公路和各小路通過低壓輸配管道（每個村鎮(zhèn)單獨一條管道）將燃?xì)馑偷礁鞔彐?zhèn)，為使低壓輸配管道總長度最小，調(diào)壓站應(yīng)建在a處 b段公路旁的任一

9、處c處 d段公路旁的任一處解：d第ii卷 （非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9. 在極坐標(biāo)系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是 . 解：b10. 如圖, 已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點, 且，. 若與該圓相切，則線段的長為 .解：設(shè)， 則，. 則由相交弦定理，得，即，即. 由切割線定理，得，所以.11. 右圖是一個幾何體的三視圖，已知側(cè)視圖是一個等邊三角形，根據(jù)圖中尺寸（單位：），這個幾何體的體積為 ；表面積為 . 解：體積為；表面積為.12. 已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是 .解：13在中，角的對邊分別為，

10、且，若的面積為，則的最小值為 . 解：由，得，.由的面積為，得，.故，.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為.14已知是等差數(shù)列的前項和，且，有下列五個命題： ； ； ； 數(shù)列中的最大項為； .其中正確的命題是 （寫出你認(rèn)為正確的所有命題的序號）解：、三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）15（本小題13分）已知函數(shù)， （）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（）在中，三內(nèi)角的對邊分別為，已知, 成等差數(shù)列，且，求 及 的值.解：（）2分= 3分 最小正周期為 4分由成等差數(shù)列得：， 9分由，得， 10分 11分由余弦定理得，于是， 13分16（本小題13 分

11、）在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次. 在a處每投進一球得3分；在b處每投進一球得2分. 如果前兩次得分之和超過3分就停止投籃；否則投第三次. 某同學(xué)在a處的投中率為0.25，在b處的投中率為. 該同學(xué)選擇先在a處投一球，以后都在b處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為（）求的值；（）求隨機變量的數(shù)學(xué)期望e；（）試比較該同學(xué)選擇都在b處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小.解：（）設(shè)該同學(xué)在a處投中為事件a, 在b處投中為事件b.則事件a,b相互獨立，且，.根據(jù)分布列知：=0時，所以，. 2分（）當(dāng)=2時， ( ). 4分當(dāng)=3時， .

12、 6分當(dāng)= 4時， . 8分當(dāng)= 5時， . 10分所以隨機變量的分布列為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 隨機變量的數(shù)學(xué)期望. 11分（）該同學(xué)選擇都在b處投籃得分超過3分的概率為. 13分該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為. 14分由此看來該同學(xué)選擇都在b處投籃得分超過3分的概率大. 14分17（本小題 14 分） 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，,平面，是的中點，是的中點. () 求證：平面；（）求證：平面平面；（）求平面與平面所成的銳二面角的大小. acdefm () 證明：取中點為，連. 1分 是的中點 是的中位線, . 是中點且是菱形，, . 四邊形是平行四邊形.

13、從而 . 3分 平面 ,平面, 平面 4分 8分 平面 平面平面 . 9分 說明：() 、（）也可用向量法證.10分bacdepfzxy由（）知平面，是平面的一個法向量 11分 設(shè)平面的一個法向量為 由 ,且由 在以上二式中令，則得，.12分設(shè)平面與平面所成銳角為 故平面與平面所成的銳角為. 14分 18（本小題13分） 已知函數(shù)， （）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （）設(shè)，是否存在實數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由. （iii）當(dāng) 時，證明： 解：（）在上恒成立， 2分設(shè) ，令 3分得 得 . 4分 （）（）， . 當(dāng)時，因，故在上單調(diào)遞減，（舍去）.

14、 5分 當(dāng)時，即時，因在上，；在上，. 故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，滿足條件. 7分 當(dāng)時，即時，因，故在上單調(diào)遞減，（舍去）. 8分綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時有最小值. （iii）令，由（）知，. 9分令， 10分當(dāng)時，因，故在上單調(diào)遞增. 11分 12分 即 13分19（本小題14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且經(jīng)過點和點.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為，若直線與橢圓交于不同的兩點，求的取值范圍解：（）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），將點和點代入，得，解得. 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，再設(shè)直線上的動點（），由點在直線和上，得，故直線的方程為.原點到直線的距離，.，顯然. 設(shè)，則，.設(shè)（），則.設(shè)（），則. 設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，于是的值域為，的取值范圍是.20（本小題13分）若有窮數(shù)列，（）滿足：（1）；（2）.則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”.（）分別寫出一