數(shù)學(xué)論文希爾伯特空間中子空間的閉性與補性

1、希爾伯特空間中子空間的閉性與補性 (孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系031114112)摘要：本文主要討論了內(nèi)積空間中子空間所需的條件,并證明了以下主要結(jié)果：（1） 設(shè)是內(nèi)積空間,是中的子空間，則的子空間,使得.（2） 若是內(nèi)積空間,是中的有限維子空間,則;設(shè)是無限維內(nèi)積空間,是中的無限維子空間,則不一定成立關(guān)鍵詞：內(nèi)積空間；直交補；子空間；閉集. hilbert space neutron closed space with the complementary naturehuang xue-mei(031114112,department of mathematics,xiaogan university)

2、abstract: this article mainly discussed the inner product space neutron space to satisfy the condition which needed, and has proven belowthe main result: (1)supposes is the inner product space, is center sub- space, then when also only when has sub- space, causes .(2)if is the inner product space, i

3、s center finite-dimensional the sub- space, then establishment; supposes is the infinite uygurinner product space, is center infinite uygur sub- space, then not necessarily had been established. keyword: inner product space; is perpendicular to makes up; sub- space; closedset.0 問題的提出在文獻(xiàn)1中提出了如下問題：“l(fā)e

4、t be a space, is a subset of ,then is a closed subspace.prove the conclusion.beacause is closed,every vector in can be decomposed into ,where is in .if is also a subspace，can we conclude that ? why?”在文獻(xiàn)2中,只證明了是hilbert空間的閉子空間時,有及成立本文將討論當(dāng)是內(nèi)積空間的子空間時,及在哪些條件下成立,并給出證明;文獻(xiàn)8研究了模糊內(nèi)積空間中的投影定理,本文將探討一般內(nèi)積空間中投影定理成立

5、的條件,并試圖減弱文獻(xiàn)2中的投影定理的條件.本文中,用表示與的內(nèi)積;用表示的范數(shù)(由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)即);當(dāng)且僅當(dāng);為的直交補; 為的線性包;是的閉包;是線性包的閉包;是閉包的線性包; ,; 表示空集;若內(nèi)積空間是復(fù)的內(nèi)積空間時,是復(fù)數(shù)域;若內(nèi)積空間是實的內(nèi)積空間時,是實數(shù)域;是閉區(qū)間上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間; hilbert空間即完備的內(nèi)積空間; 為子空間的維數(shù);另外表示等于與的直和,即,使.本文還類似文獻(xiàn)3,7在內(nèi)積空間中引入了正交補概念:設(shè),是內(nèi)積空間的子空間,若,就稱是的正交補在文獻(xiàn)5中討論了無限維歐式空間中子空間直交補(即為文獻(xiàn)5中的正交子空間)與正交補等價的條件,并且發(fā)現(xiàn)直交補與

6、正交補是否相同是由歐式空間的完備特性所決定的;本文在文獻(xiàn)4和5的啟發(fā)下,討論了當(dāng)是內(nèi)積空間的子空間時, 的直交補與正交補的關(guān)系.1 引理及證明引理1 （schwarz不等式）設(shè)按內(nèi)積成為內(nèi)積空間,則對，成立不等式 當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時,不等式取“”引理2 設(shè)為內(nèi)積空間,對,若,則證明 ,對,使得,有,使得,有于是, 當(dāng)時,有 （由引理1）,又時,有 ,當(dāng)時,有界,令,則,.注1 引理2說明:若將看作一個二元函數(shù),則此二元函數(shù)是連續(xù)的,即極限符號與內(nèi)積符號可以交換位置:.引理3 設(shè)為內(nèi)積空間,是的子集,則是中的閉子空間.證明 先證是中的子空間：對,則,有,.再證是閉子空間：對收斂點列且,有:,由

7、引理2,有,是閉子空間.引理4 設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集,則成立.證明 對,.引理5 設(shè),是內(nèi)積空間中的非空子集且,則.證明 對,有,.引理6(投影定理) 設(shè)是hilbert空間中的閉子空間,則成立.引理7 設(shè)是hilbert空間中的閉子空間,則成立.引理8 設(shè)是內(nèi)積空間的線性子空間,則.證明 為線性子空間, 又, 對,有且,.引理9 設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集且,則成立.證明 由引理4知,下證:對,由于,有,由引理3有 是中的閉子空間,應(yīng)用引理8有 , .引理10 設(shè)是內(nèi)積空間的子空間,則.證明 顯然成立,下證:對,使,是子空間, ,.引理11 設(shè)且,則且,有.證明 由積分中值定理,使,使.假設(shè)在

8、內(nèi)只有一個實根,則由于且,在與上異號,不妨設(shè)在上,在上,矛盾,假設(shè)不成立,且,有.另證 令,則,又,由積分中值定理,使,.對在和上分別利用羅爾定理, 則,使,證畢.引理12 設(shè)且,則互不相同的,有.證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時由引理11可知命題成立;假設(shè)當(dāng)時命題成立, 即若，則互不相同的，使.當(dāng)時,由命題條件可知,由假設(shè)可知:互不相同的,有.不妨設(shè)，則假設(shè)在上只有個根，又由于，且,則 當(dāng)為偶數(shù)，易知：在與上異號.不妨設(shè)在上,在上.所以我們得到：矛盾. 當(dāng)為奇數(shù)時，易知：在與上異號.不妨設(shè)在上,在上.容易證明： 矛盾.由,可知假設(shè)不成立.在上不只有這個根,且與都不相同,使.當(dāng)時,互不相同的,有由,

9、可知對此命題都成立.2 主要結(jié)論及證明定理1 設(shè)是內(nèi)積空間中的子空間,則 的子空, .證明 令,由引理3 是內(nèi)積空間中的閉子空間 由引理4有,下證，由引理4有,由引理5,有，即, 又, .推論 設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集,則成立.證明 由引理3，知是內(nèi)積空間中的子空間，令，由定理1得，即，亦即成立.注 也可以直接證明本推論，現(xiàn)證明如下：對與應(yīng)用引理4，得與成立，對再應(yīng)用引理5，得，故現(xiàn)在我們討論一般內(nèi)積空間中的子空間是否滿足及,先對有限維內(nèi)積空間中的子空間進(jìn)行討論.定理2 有限維內(nèi)積空間必為hilbert空間.證明 只需證明是完備的. 設(shè)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為,則只需證明柯西點列有在中收斂,可設(shè)，是柯

10、西點列, ，有，即,對每個,有,有 ,對每個,有是柯西數(shù)列必收斂，不妨設(shè),其中,則令,則顯然成立,下證:由有,對每個,對上述,有且,即在中收斂,為完備的內(nèi)積空間即hilbert空間.定理3 有限維內(nèi)積空間的子空間必為閉子空間.證明 只需證明是閉的,即對收斂點列且,要證.不妨設(shè)子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為,可設(shè),是收斂點列必為柯西點列,有,即 = ,對每個,有,有 對每個,有是柯西數(shù)列必收斂,不妨設(shè),其中，令,則,下證:由有,對每個,，對上述,有 ,由極限的唯一性,有,為閉子空間.定理4 有限維內(nèi)積空間的子空間必滿足.證明 由定理2和定理3可知是hilbert空間中的閉子空間,由引理6和引理7,有及

11、成立.那么無限維內(nèi)積空間的子空間是否滿足及?下面進(jìn)行討論.定理5 設(shè)是無限維內(nèi)積空間的子空間，且,則有,及成立.證明 易證(1)成立,下證成立:設(shè)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為,則對,令,則,且, 下證,只需證明,有, , ,其中, 所以.又由引理9知成立. 注2以上定理說明若是無限維內(nèi)積空間的有限維子空間,則必滿足及,那么如果是無限維內(nèi)積空間的無限維子空間是否也有及成立?定理6 設(shè)是無限維內(nèi)積空間的子空間且,則有;不一定成立.證明 只需舉出反例: 歐氏空間按成為內(nèi)積空間,令,則易證是無限維內(nèi)積空間的子空間,且,下求:對有,，取,則,方法1對,有 , ,又, , , 由引理8,知, ,由引理9,易證不成立

12、.方法2 ,設(shè),則 , 易知:, 由引理12,可知在(a,b)上可找到個互不相同的零點, 在(a,b)上可找到個互不相同的零點,的次數(shù)為,由引理9,易證不成立.注3 由定理4、5、6可得到本文的主要結(jié)論: 若是內(nèi)積空間,是中的有限維子空間,則與成立;設(shè)是無限維內(nèi)積空間,是中的無限維子空間,則與不一定成立現(xiàn)在討論直交補與正交補的關(guān)系:定理7 設(shè)是內(nèi)積空間中的子空間, 是的正交補,則是的直交補,即.證明 先證 , 對,是的正交補,;下證,即證,有.,使,即,又, , 由上可知.注4 由定理7可知內(nèi)積空間中的子空間的正交補一定是的直交補,換句話說的正交補的條件比直交補的要強一些;并且:若是內(nèi)積空間中

13、的有限維子空間，則由定理4、5可知與滿足正交補定義的條件和,即此時的直交補也是的正交補;因此當(dāng)是內(nèi)積空間中的有限維子空間時,的正交補和直交補等價;設(shè)是無限維內(nèi)積空間中的無限維子空間,則由定理6可知的正交補和直交補不一定等價下面討論當(dāng)是hilbert空間中的閉子空間時,、之間的關(guān)系.定理8 設(shè)是hilbert空間中的閉子空間，則有成立.證明 是中的閉子空間，由引理10知是中的閉子空間，又由引理7，知，因此得到,是中的閉子空間,.3 結(jié)束語本文在文獻(xiàn)2中的投影定理及其推論的基礎(chǔ)上,結(jié)合文獻(xiàn)4,5中論述的線性空間中有限維與無限維的差異,解決了文獻(xiàn)1提出的問題并且得出了一些新的結(jié)論, 不同于文獻(xiàn)10,

14、 本文在這些結(jié)論的基礎(chǔ)上,討論了內(nèi)積空間的子空間的直交補與正交補的關(guān)系,使今后對內(nèi)積空間的研究變得更方便.相較文獻(xiàn)4而言,本文又補充了線性空間中有限維與無限維的一個本質(zhì)差異.參考文獻(xiàn)1 kreyszig e. introductory functional analysis with applicationsm. new york:john wrley & sons: inc. 19782 程其襄等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第二版)m.北京：高等教育出版社，2003.的含anmsh訂立定理3 王萼芳等.高等代數(shù)(第三版) m. 北京：高等教育出版社,2003,2.4 王航平.線性空間中有限維與無限維之差異j.中國計量學(xué)院學(xué)報,2003,14(1):67-69.5 舒世昌.無限維歐式空間中的正交補與正交子空間j.教育創(chuàng)新,2003,12(2):31-31.6 余航.關(guān)于維歐式空間子空間的正交補j.桂林市教育學(xué)院學(xué)報,2000,14(4):94-95.7 胡運紅等.歐式空間中的子空間的正交補的探討j. 運城學(xué)院學(xué)報,