體檢中的排隊論

1、體檢中的排隊論摘要 一個好的體檢排隊方案不僅可以提高體檢中心的體檢效率和儀器的使用率，還可為體檢者節(jié)約時間和費用。本文利用數(shù)學(xué)建模的方法，根據(jù)排隊論知識建立體檢中心排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通過matlab軟件求解。對于問題一、二對一個新來的顧客要體檢，他通過取票進隊、排隊等待、叫號服務(wù)等功能，通過分析發(fā)現(xiàn)體檢隊的隊長是隨機的，體檢所等待的時間是隨機的，服務(wù)臺是否忙碌也是隨機的。本文我們主要研究隊長的分布和等待時間的分布及忙碌期的分布狀況。最終以達到顧客可以最短時間通過所有體檢，即以最優(yōu)化方案得到最接近的方法。我們采用排隊規(guī)則中等待制的先到先服務(wù)方法求出隊列的隊長、等待時間、服務(wù)窗口的忙碌狀態(tài)，服務(wù)

2、規(guī)則是先到先服務(wù)以泊松分布方法建模型。最后問題二引用一組數(shù)據(jù)通過極大似然法驗證問題一結(jié)論的真實性。1、 平均排隊等待的隊長2、 系統(tǒng)隊長（或系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）的均值3、 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時間對于問題三分析可知：對于在服務(wù)窗口忙碌情況下，則團隊人數(shù)n與可服務(wù)窗口n數(shù)量是不確定，因此我們需要分為三種情況來討論。第一種情況：團隊人數(shù)=服務(wù)窗口數(shù)并在排隊規(guī)則等待制中的優(yōu)先權(quán)服務(wù)情況下。第二種情況：團隊人數(shù)服務(wù)窗口數(shù)并在排隊規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)情況下。關(guān)鍵字: 排隊論 泊松分布 負指數(shù)分布 極大似然法 最優(yōu)化方案一、 問題重述某城市的體檢中心每天有許多人前去體檢，全部體檢項目包括：抽血、內(nèi)科、外

3、科、b超、五官科、胸透、身高、體重、等等。每個人的體檢項目可能各不相同，假設(shè)每個體檢項目的服務(wù)時間是確定的，并且只有1個醫(yī)生值班，每次只能為1個客戶服務(wù)。為提高設(shè)備利用率、降低客人的等待時間，中心請你幫助完成如下任務(wù)：(1)為某個新來的客人安排他的體檢順序，使其完成需要的全部檢查的時間盡量少（在各個體檢項目處都可能有人排隊等待）；(2)設(shè)計1組數(shù)據(jù)來驗證上述結(jié)論。(3)接待團體客人時，如何安排每個人的體檢順序，使得體檢中心能盡快完成任務(wù)，設(shè)計1組數(shù)據(jù)來驗證該結(jié)論。二、 問題分析問題一每個體檢項目的服務(wù)時間是確定的，并且只有1個醫(yī)生值班，每次只能為1個客戶服務(wù)。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)顧客要體檢，他通過取票

4、進隊、排隊等待、叫號服務(wù)等功能，對他而言體檢的隊長是隨機的，體檢所等待的時間是隨機的，服務(wù)臺是否忙碌也是隨機的。本文我們主要研究隊長的分布和等待時間的分布及忙碌期的分布狀況。最終盡可能使顧客可以最短時間通過所有體檢，即以最優(yōu)化方案得到最接近的方法，服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù)，以泊松分布方法建模型。顧客到達體檢中心排隊流程示意圖 圖1排隊模型框圖由排隊論中m/m/1模型中假設(shè)顧客到達時間間隔從參數(shù)為的泊松分布，顧客的服務(wù)時間為固定值t，到達時間與服務(wù)時間是相互獨立的，且有n個服務(wù)臺，若顧客到達時服務(wù)窗全部處于忙的狀態(tài)，則進行等待。1. 平均排隊等待的隊長2. 平均忙著的服務(wù)窗個數(shù)l服=13. 系統(tǒng)隊長

5、（或系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）的均值4. 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時間首先，我們用極大似然估計法來估計泊松分布中報還的未知參數(shù)。設(shè)總體x服從泊松分布得參數(shù)的極大似然估計量為：問題二問題二是在問題一的基礎(chǔ)上研究的，所以我們用一組數(shù)據(jù)通過極大似然法來驗證其是否正確。因為每個體檢項目中只有一個服務(wù)臺并只為顧客服務(wù)，故系統(tǒng)只有兩種可能的狀態(tài)：0服務(wù)臺空閑；1服務(wù)臺正在為顧客服務(wù) 0 1圖2 服務(wù)系統(tǒng)流程圖說明：表示一個顧客進入體檢時，服務(wù)系統(tǒng)就從狀態(tài)“0”以變換到狀態(tài)“1”。當(dāng)體檢的一個項目完畢，顧客離開系統(tǒng)，系統(tǒng)從狀態(tài)“1”以服務(wù)速率變到狀態(tài)“0”。 把“輸入=輸出”看作系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，即： lp0 = p1又因為

6、 p0 + p1 =1故： p0 = /（l+） （閑著概率） p1 = l/（l+） （忙著概率）問題三根據(jù)三種不同的狀態(tài)做出以下的討論：第一種情況：團隊人數(shù)=服務(wù)窗口并在排隊規(guī)則等待制中的優(yōu)先權(quán)服務(wù)情況下。第二種情況：團隊人數(shù)服務(wù)窗口并在排隊規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)情況下。三、 模型的假設(shè)1. 假設(shè)顧客到達服務(wù)臺后一切均正常進行（服務(wù)人員、顧客狀態(tài)均良好，且儀器無故障出現(xiàn)），沒有突發(fā)情況出現(xiàn)。2. 在本次建模不做出特殊要求的情況下以先到先服務(wù)為前提。3. 從一個項目到另一個項目的時間忽略不計。四、 符號說明表1 符號說明參數(shù)參數(shù)解釋n項目個數(shù)t每個項目的服務(wù)時間l平均隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時

7、刻的所有顧客數(shù)的期望值lq平均等待隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值w平均逗留時間，即(在任意時刻)進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間的期望值wq平均等待時間，即(在任意時刻)進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間的期望值s系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺的數(shù)目平均到達率平均服務(wù)率；n穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中所有顧客數(shù)）u任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時間q任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時間五、 模型的建立與求解問題一 服務(wù)臺1 服務(wù)完成后離去顧客到達- 服務(wù)臺2 服務(wù)完成后離去 服務(wù)臺s 服務(wù)完成后離去圖3 多服務(wù)窗口排隊服務(wù)系統(tǒng)顧客到達 服務(wù)臺 服務(wù)完成后離去正在接服務(wù)的顧客數(shù)圖4 單服務(wù)窗口系統(tǒng)問題一是為一個

8、新來的顧客安排一個科學(xué)、合理、快速的體檢順序，他面對一個多服務(wù)窗口等待制排隊系統(tǒng)，我們從單服務(wù)系統(tǒng)分析，以單服務(wù)系統(tǒng)來求解多服務(wù)系統(tǒng)，我們有如下的定理：定理1 若x（t）表示時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)（隊長），則x(t)，t0是狀態(tài)空間e=0,1,2，且生率為：=k ,k=0，1,2,3滅率為：的生滅過程。定理2 若x（t）表示時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，設(shè) 則當(dāng)時，系統(tǒng)可以達到穩(wěn)態(tài)，且有平穩(wěn)分布對系統(tǒng)進行分析，可計算出如下相應(yīng)的目標參量：1、 損失概率在等待制中，因到達系統(tǒng)請求服務(wù)的顧客遲早會被服務(wù)窗服務(wù)，故：p損=02、 系統(tǒng)的相對通過能力與絕對通過能力q=1-p損=1a=q=3、 平均排隊等待的隊長

9、4、 平均忙著的服務(wù)窗個數(shù)l服=15、 系統(tǒng)隊長（或系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）的均值6、 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時間7、 顧客在系統(tǒng)內(nèi)的逗留時間8、 來到系統(tǒng)的顧客必須排隊等待的概率 特別的，當(dāng)n=1時（即單服務(wù)窗口等待制m/m/1排隊模型），系統(tǒng)的平穩(wěn)分布為 k=0故相應(yīng)的目標參量為：1. 服務(wù)臺空閑的概率2. 系統(tǒng)額相對通過能力與絕對通過能力3. 平均排隊等待的隊長4. 平均忙著的服務(wù)窗口個數(shù)l服 =5. 系統(tǒng)隊長的均值首先，我們用極大似然估計法來估計泊松分布中報還的未知參數(shù)。設(shè)總體x服從泊松分布則參數(shù)的似然函數(shù)為：兩邊取對數(shù)得：得似然方程：解得：又可算得：故得到參數(shù)的極大似然估計量為：與顧客達到時

10、間一樣，進行x2擬合檢驗，同樣可驗證：該體檢中心排隊系統(tǒng)中體檢人員接受體檢的時間服務(wù)參數(shù)為u的負指數(shù)分布。綜上所述，體檢排隊模型的假設(shè)是成立的。該顧客總共平均所花時間：結(jié)論：通過假設(shè)再論證可知在體檢中如果平均等待隊長lq越小，則顧客體檢中所用時間就越少，即顧客在檢查完一項后，應(yīng)該選擇所有沒檢查項目中平均隊長最短的隊列排隊檢查，且顧客到達該對列的平均到達率最低，這是讓顧客以最短時間體檢完的較好的方法。問題二：系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，對每個狀態(tài)來說，輸入=輸出。對于狀態(tài)n來說，有： lpn-1+pn+1 = (+1)pn n1對于狀態(tài)“0”，有： lp0 = p1 表2 狀態(tài)從0到n的穩(wěn)定方程狀態(tài)輸入 輸

11、出0up1 = p0p0+up2 = up1 + up2nupn+1+ pn-1 = up1+p1求解以上方程組可以得到： p 0 = 1- 0 = l / 1 p n = n(1- ) n=0,1,2,即來到服務(wù)臺必須等待的概率為： c(n,1)=nn(1-)/ n-1表3 p0和lq的值n5678910po(10-2)0.74491.14721.27311.31371.47972.0541lq4.32530.94580.29710.10030.03770.0171matlab畫出的圖形 圖4 顧客體檢時間圖圖5 顧客等待與停留時間圖由問題一得知：平均排隊等待的隊長：平均隊長與到達率是存在一

12、定聯(lián)系的，要使顧客所化時間最少，則平均等待隊長lq和平均到達率越小越好。因此驗證了問題一的正確性。問題三：表4 各個科室參數(shù) 科室名稱內(nèi)科外科口腔科彩超（心臟）動態(tài)心電圖胸透t(分)4.235.463.0210.032.246.12u（人/時）14.18410.98919.8685.98226.7869.804nmln911620512nbest912720514服務(wù)臺窗口數(shù):n，團隊人數(shù)：n假設(shè)一：團隊享有優(yōu)先權(quán)服務(wù)，n=n服務(wù)臺窗口數(shù)n=團隊人數(shù)n，則每人分別排一個項目的隊，然后依次交替，則團隊所花時間：w團=n*t此時所花時間最少假設(shè)二：團隊采用等待制先來先服務(wù),n=n此時顧客群為連續(xù)到

13、達，服務(wù)臺窗口數(shù)nn此時顧客群為連續(xù)到達，服務(wù)臺窗口數(shù)n團隊人數(shù)n，由于每個項目所花時間是相同的，則由表三可知，每個體檢項目每小時所到達的人數(shù)是不同的，所以對于平均隊長最短的項目，則安排超過3個顧客排隊等待；平均隊長最長的項目，則安排一個人排隊等候；居于中間區(qū)域的平均隊長，就安排23個人排隊等待。每個項目均如此循環(huán)下午，這樣既提高了服務(wù)臺儀器的利用率，同時也降低了顧客體檢需要等待的時間，醫(yī)生也可輕松、快速完成工作。六、 模型的評價與推廣優(yōu)點：我們用泊松分布法建立模型之后可以用極大似然法來驗證器正確性，并在問2中引入數(shù)據(jù)來論證，該模型是成立的，有比較好的理論依據(jù)；且抽象的概念用圖形的方式展現(xiàn)，易

14、于理解。缺點：體檢中的突發(fā)情況很多，且不容易控制，所分析的與實際有一定的誤差，參考資料不太完善，對醫(yī)院的項目沒有過多的了解，有待于再次考量。推廣：本模型的排隊系統(tǒng)不僅可以用于體檢中心的排隊，同樣可以考慮運用在服務(wù)行業(yè)的單位和機構(gòu)，如：銀行、鐵路局、電信、超市等。七、 參考文獻1汪曉銀,周寶平， 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗 ,科學(xué)出版社，20102宗容，施繼紅，數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模，云板大學(xué)出版社，20093孟玉珂，排隊論基礎(chǔ)及應(yīng)用，同濟大學(xué)出版社，19894楊連國，醫(yī)院智能排隊叫號系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)，河南大學(xué)，2005八、 附錄matlab的數(shù)據(jù)clc %* %初始化顧客源 %* %總仿真時間 total

15、_time = 10; %隊列最大長度 n = 10000000000; %到達率與服務(wù)率 lambda = 10; mu = 6; %平均到達時間與平均服務(wù)時間 arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu; arr_num = round(total_time*lambda*2); events = ; %按負指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客達到時間間隔 events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達時刻等于時間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:); %按負指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客服務(wù)時間

16、 events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計算仿真顧客個數(shù)，即到達時刻在仿真時間內(nèi)的顧客數(shù) len_sim = sum(events(1,:)total_time break; else number = sum(events(4,member) events(1,i); %如果系統(tǒng)已滿，則系統(tǒng)拒絕第 i個顧客，其標志位置 0 if number = n+1 events(5,i) = 0; %如果系統(tǒng)為空，則第 i個顧客直接接受服務(wù) else if number = 0 %其等待時間為 0%programlanguageprogramlangua

17、geevents(3,i) = 0; %其離開時刻等于到達時刻與服務(wù)時間之和 events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); %其標志位置 1 events(5,i) = 1; member = member,i; %如果系統(tǒng)有顧客正在接受服務(wù)，且系統(tǒng)等待隊列未滿，則 第 i個顧客進入系統(tǒng) else len_mem = length(member); %其等待時間等于隊列中前一個顧客的離開時刻減去其到 達時刻 events(3,i)=events(4,member(len_mem)-events(1,i); %其離開時刻等于隊列中前一個顧客的離開時刻加上其服 %務(wù)時間 events(4,i)=events(4,member(len_mem)+events(2,i); %標識位表示其進入系統(tǒng)后，系統(tǒng)內(nèi)共有的顧客數(shù) events(5,i) = number+1; member = member,i; end end end end %仿真結(jié)束時，進入系統(tǒng)的總顧客數(shù) len_mem = length(member); %* %輸出結(jié)果 %* %繪制在仿真時間內(nèi)，進入系統(tǒng)的所有顧客的到達時刻和離 %開時刻曲線圖（stairs：繪制二維階梯圖） stairs(0 events(1,mem