高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))教案17 不定積分的概念和性質(zhì)

1、第4章 不定積分不定積分的概念和性質(zhì) 【教學(xué)目的】：1. 理解原函數(shù)的概念；2. 理解不定積分的定義，及幾何意義；3. 掌握不定積分的基本公式和性質(zhì)；4. 會(huì)用直接積分法計(jì)算不定積分?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：1. 原函數(shù)的概念；2. 不定積分的概念及幾何意義；3. 不定積分的基本公式和性質(zhì)。【教學(xué)難點(diǎn)】：1. 基本積分公式；2. 用直接積分法計(jì)算不定積分?！窘虒W(xué)時(shí)數(shù)】：2學(xué)時(shí)【教學(xué)過(guò)程】：4.1.1原函數(shù)與不定積分定義1 如果在區(qū)間i上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，即或（），那么函數(shù)就稱為(或)在區(qū)間i上的原函數(shù)如果有一個(gè)原函數(shù)，那么就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)設(shè)是的另一個(gè)原函數(shù)，則任意的，有于是所以(為某個(gè)常數(shù))這表明與

2、只差一個(gè)常數(shù)因此當(dāng)為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式 就可以表示的全體原函數(shù)，也就是說(shuō)，的全體原函數(shù)所組成的集合，即函數(shù)族定義2 如果是在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么（為任意常數(shù)）稱為在該區(qū)間上的不定積分即=其中符號(hào)稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量由上面的討論可知，若是的一個(gè)原函數(shù)，那么=（為任意常數(shù)）因此，求函數(shù)的不定積分，只需求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)，求不定積分的方法稱為積分法 從不定積分的定義，即可知不定積分與微分(求導(dǎo))互為逆運(yùn)算：由于是的原函數(shù)，所以或又由于是的原函數(shù)，所以由此可見微分運(yùn)算(以記號(hào)表示)與求不定積分的運(yùn)算(簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算以記號(hào)表示)是互逆的，記號(hào)與一

3、起時(shí)或者抵消，或者抵消后差一常數(shù)例3 求解 當(dāng)時(shí)，由于，所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，因此在內(nèi)，有 當(dāng)時(shí)，由于，所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，因此在內(nèi) 把以上結(jié)果綜合起來(lái)，得 4.1.2不定積分的幾何意義因?yàn)椴欢ǚe分=是的原函數(shù)的一般表達(dá)式，所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族積分曲線族有如下特點(diǎn)：（1）積分曲線族中任意一條積分曲線都可以由曲線沿軸方向上、下平移得到；（2）由于，即橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處，所有曲線的切線都是互相平行的4.1.3基本積分公式表（1） （為常數(shù)）； （2） ；（3）； （4），；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）； （10）；（11）； （12）4.1.4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，則性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在， 為非零常數(shù)，則例6 求解 注意到被積函數(shù)中是冪函數(shù)，和是指數(shù)函數(shù)，而是常數(shù)，它們的積分公式是不同的【教學(xué)小節(jié)】：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，理解原函數(shù)、不定積