教育碩士專業(yè)學(xué)位論文

1、教育碩士專業(yè)學(xué)位論文基于高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)有效性的研究林志展 閩 南 師 范 大 學(xué)二一三年六月學(xué)校代碼：10402 學(xué) 號：2011021002分 類 號： 密 級：教育碩士專業(yè)學(xué)位論文基于高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)有效性的研究學(xué)位申請人 : 林志展指 導(dǎo) 教 師: 林夢雷教授學(xué) 位 類 別: 教育碩士專業(yè)學(xué)位 學(xué) 科 專 業(yè): 學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）授 予 單 位: 閩南師范大學(xué)答 辯 日 期: 二一三年六月 code：10402 no.：2011021002u.d.c.： classified index： a dissertation for the degree of educationthe res

2、earch on the effectiveness of the mathematics exercises teaching in senior threecandidate：li n zhizhansupervisor：prof.meng lei-linspecialty：subject teaching (mathematics)academic degree applied for：master of educationuniversity：minnan normal universitydate of oral examination：may，2013學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和版權(quán)使用授

3、權(quán)書閩 南 師 范 大 學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨立進(jìn)行研究所取得的研究成果除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)作者簽名：日期： 年 月 日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱本人授權(quán)閩南師范大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制

4、手段保存和匯編本學(xué)位論文本學(xué)位論文屬于1、保密，在_年解密后適用本授權(quán)書2、不保密(請在以上相應(yīng)方框內(nèi)打“”)作者簽名：日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名：日期： 年 月 日摘要本文首先指出高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中普遍存在的兩個問題：選題隨意、目的性不強(qiáng)；學(xué)生“懂而不會”其次，本文結(jié)合建構(gòu)主義理論、認(rèn)知心理學(xué)以及高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念對上述存在的問題進(jìn)行了分析，并提出了如下的一些建議：幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)與問題表征；解法要追求自然；暴露師生解題時的思維過程；解題后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思另外提出了習(xí)題選擇應(yīng)遵循的原則：典型性原則、新穎性原則、梯度性原則、過程性原則、關(guān)聯(lián)性原則、發(fā)散性原則最后結(jié)合上述提出的

5、習(xí)題教學(xué)的有效性原則及選題原則給出了如何提高習(xí)題教學(xué)有效性的兩個案例，供教師參考實踐證明，本文提出的策略在一定程度上提高了習(xí)題教學(xué)的有效性，為廣大教師的教學(xué)提供了具有操作性的建議關(guān)鍵詞：有效性 習(xí)題教學(xué) 元認(rèn)知 思維過程英文摘要vabstractthis paper points out two ubiquitous problems in the mathematics exercises teaching in senior three at the beginning, that is, the randomness in selecting exercises and the inab

6、ility to do the exercise while students understand the principles. then, constructivism, cognitive psychology and curriculum standards of high school mathematics are combined together in this paper to analyse these two problems and to put forward the following suggestions: first, help students form

7、a good knowledge structure and problem representative; second, seek the solutions naturally; third, expose both teachers and students thinking process; fourth, lead students to reflect on what they have just finished. besides, it also explains the rules for selecting exercises: typicality, novelty,

8、diversity, procedure, relevance and divergence. finally, based on what is mentioned above, this paper offers two examples for reference and it has been proved that the strategies proposed helps to improve the exercises teaching greatly, thus providing teachers with valuable suggestions.key words： ef

9、fectiveness, exercises teaching, metacognition, thinking process目錄目錄中文摘要iabstract iii第1章 引言 11.1 問題提出11.2 研究目的與意義11.3有效性概念的界定與判定標(biāo)準(zhǔn)21.4研究的主要問題31.5研究的理論基礎(chǔ) 31.6研究的方法 6第2章提高解題教學(xué)有效性的一些措施與建議 72.1幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)與表征 72.2解法要追求自然 82.3暴露師生解題的思維過程 92.4解題的“再回首” 12第3章 習(xí)題選擇有效性應(yīng)遵循的原則 173.1典型性原則173.2新穎性原則183.3梯度性原則193

10、.4過程性原則203.5關(guān)聯(lián)性原則203.6發(fā)散性原則21第4章 基于高三習(xí)題教學(xué)有效性的實踐 234.1課例1：一道不等式的證明 234.2課例2：直線與橢圓的位置關(guān)系 28第5章 結(jié)束語33參考文獻(xiàn) 35致謝 37引言第1章 引言1.1 問題提出在高三習(xí)題教學(xué)中，一些教師在選題上隨意，目的不強(qiáng)，憑自己的興趣愛好，感覺這題不錯就選擇這一題，采用題海戰(zhàn)術(shù)，過分地注重量而忽視質(zhì)，不研究各類習(xí)題的功能和作用，雖然題做了很多，但收效不大另外，在習(xí)題教學(xué)中，常常存在著這樣的困惑：課前精心的挑選題目，課堂上采用變式教學(xué)、一題多解，按照課前預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)對習(xí)題講解，學(xué)生也聽得入迷；可是課后經(jīng)常會有一些學(xué)生對老

11、師說：“老師我能聽懂你上課所講的內(nèi)容，也能看懂課本上的例題，可是自己獨立解題時常感不知從何下手”，另外，我也碰到這樣一部分學(xué)生，只要老師稍作提示，他們能很快找到解題思路，但離開老師的指導(dǎo)就不懂如何思考以至于我們老師經(jīng)常對一些學(xué)生脫口而出：“我講了n遍你怎么還不會”這使得我不得不去思考這樣的一個問題，那就是出現(xiàn)這樣的情況是學(xué)生的問題還是我們老師自身的解題教學(xué)缺少一些環(huán)節(jié)？實際上，我們當(dāng)前的解題教學(xué)大都是這樣一種模式：復(fù)習(xí)知識典型例題講解總結(jié)方法變式練習(xí)。在這種模式下，不少老師在備課時花大量時間找資料、選習(xí)題、歸類，然后把每類題對應(yīng)的方法詳細(xì)講給學(xué)生聽并要求學(xué)生“對號入座”地解題；另外就是，教師為

12、引導(dǎo)而引導(dǎo)，有的老師精心設(shè)計了很多問題，層層深入地引導(dǎo)學(xué)生一步一步地按照老師設(shè)計好的思路來解題.這些做法有利于增加學(xué)生的知識儲備但不利于學(xué)生獨立思考能力的形成，所以會有部分學(xué)生能聽懂但不能獨立解題從元認(rèn)知的角度看，這種解題模式不能幫助學(xué)生認(rèn)清自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)點和缺點，學(xué)生不清楚自己具備哪些知識還缺哪些知識另外，也不能幫助學(xué)生認(rèn)識解題的監(jiān)控過程，不利于學(xué)生解題監(jiān)控能力的培養(yǎng)筆者在平時的解題教學(xué)中也存在這樣的缺陷與本課題相關(guān)的研究，中學(xué)數(shù)學(xué)界一直沒有停止過，在近期逐漸趨熱有的側(cè)重于有效性教學(xué)的策略研究，有的側(cè)重于有效學(xué)習(xí)方式的研究，特別是鄭毓信的文章“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性與開放性”，從新課程實施以來數(shù)

13、學(xué)教學(xué)有效性研究的興起，什么是有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)有效性研究需注意的問題等角度，進(jìn)行了闡述和剖析這些研究對本課題有著積極的指導(dǎo)意義從中數(shù)的雜志看，幾乎每期的每種雜志都有一篇關(guān)于這方面的文章，其中作者大都是中學(xué)老師，但也有一些大學(xué)的老師等等大學(xué)老師的研究比較偏重于理論，而中學(xué)老師的研究更多側(cè)重于教學(xué)實踐，大部分是自己的經(jīng)驗總結(jié)，缺少理論依據(jù)至于怎么將理論與實踐結(jié)合起來的文章比較少見1.2 研究目的與研究意義高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)它是在學(xué)完中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容之后進(jìn)行的一次系統(tǒng)地、全面地回顧與整理，以達(dá)到將各部分知識進(jìn)行有機(jī)的整合、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系形成整體性的數(shù)學(xué)認(rèn)知框架

14、，進(jìn)一步完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生綜合運用知識分析問題和解決問題的能力而習(xí)題教學(xué)作為教學(xué)過程的重要組成部分，其重要性不言而喻所以如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中習(xí)題教學(xué)的有效性是值得我們深思的一個問題本文的研究對于提高當(dāng)前的課堂的效率，達(dá)到“增效減負(fù)”，有著重要的現(xiàn)實意義1.3有效性概念的界定及判定標(biāo)準(zhǔn)考量學(xué)生有效學(xué)習(xí)的三個重要指標(biāo)時間、結(jié)果和體驗學(xué)習(xí)時間指學(xué)習(xí)特定內(nèi)容所花費的時間，學(xué)習(xí)特定內(nèi)容所花費的時間越少，效率就越高節(jié)約學(xué)習(xí)時間，提高學(xué)習(xí)效率，首先要求把時間用在學(xué)習(xí)上，不能把時間浪費在非學(xué)習(xí)上；其次要提高單位時間的學(xué)習(xí)質(zhì)量學(xué)習(xí)結(jié)果，指學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)產(chǎn)生的變化、獲得的進(jìn)步和取得的成績，這是有效性

15、的核心指標(biāo)每節(jié)課都應(yīng)該讓學(xué)生有實實在在的收獲，它表現(xiàn)為從不懂到懂，從少知到多知，從不會到會，從不能到能的變化上學(xué)習(xí)結(jié)果不僅表現(xiàn)在雙基上，而且表現(xiàn)在智能上，特別是學(xué)習(xí)方法的掌握以及思維方式的發(fā)展學(xué)習(xí)體驗指的是學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，即伴隨學(xué)習(xí)活動發(fā)生的心理體驗這是被傳統(tǒng)教學(xué)所忽視的考量有效性的一個向度教學(xué)過程應(yīng)該成為學(xué)生的一種愉悅的情緒生活和積極的情感體驗，這是有效性的靈魂，學(xué)生越來越愛學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)有效性的內(nèi)在保證這三個指標(biāo)具有內(nèi)在的統(tǒng)一性，是相互關(guān)聯(lián)、相互制約的學(xué)習(xí)時間是前提，投入一定的時間并提高學(xué)習(xí)效率，這是增加學(xué)習(xí)結(jié)果和強(qiáng)化學(xué)習(xí)體驗（積極）的基礎(chǔ)；學(xué)習(xí)結(jié)果是關(guān)鍵，學(xué)生的學(xué)業(yè)進(jìn)步和學(xué)力提升不僅能促進(jìn)學(xué)

16、習(xí)效率的提高，也能增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極體驗；學(xué)習(xí)體驗是靈魂，積極的體驗和態(tài)度會促使學(xué)生樂于學(xué)習(xí)，并提高學(xué)習(xí)的效率和結(jié)果實際上，學(xué)習(xí)體驗本身也是重要的學(xué)習(xí)結(jié)果總之，考量學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性必須綜合考慮這三個要素-提高學(xué)習(xí)效率、增進(jìn)學(xué)習(xí)結(jié)果、強(qiáng)化學(xué)習(xí)體驗從教師的角度來講，教學(xué)的有效性依賴于教師有效的“教”，并克服無效的“教”“有效的教”指的是促進(jìn)學(xué)生“學(xué)”的“教”，它表現(xiàn)在以下兩個方面：一是直接的促進(jìn)，即通過教師的教，學(xué)生學(xué)得更多、更快、更好、更深；二是間接促進(jìn)，即通過教師的教，學(xué)生學(xué)會了學(xué)習(xí)，掌握了學(xué)習(xí)方法，提升了學(xué)習(xí)能力，達(dá)到了不需要教直接促進(jìn)是立竿見影的，間接促進(jìn)是著眼于長遠(yuǎn)的相對而言，前者短效，

17、后者長效，這兩種效果要同時兼顧“無效的教”指的是阻礙學(xué)生“學(xué)”的“教”，它也有兩種表現(xiàn)：一是顯性的，教師不得要領(lǐng)、冷漠無情、枯燥乏味地教，使學(xué)生失去“學(xué)”的興趣和熱情；二是隱性的，教師照本宣科地講授學(xué)生自己通過閱讀便能看懂的課本知識，這種教剝奪了學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的機(jī)會，從而阻礙學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展和學(xué)習(xí)積極性的提升從教育學(xué)專業(yè)角度說，有效性指通過課堂教學(xué)學(xué)生所獲得的發(fā)展第一，著眼于人的發(fā)展的教學(xué)要根據(jù)各學(xué)科的特殊性和學(xué)生的原有基礎(chǔ)有所側(cè)重就教學(xué)而言，一方面要注重挖掘教材中蘊含的靜態(tài)的知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等內(nèi)容，另一方面要注重開發(fā)課堂教學(xué)中生成的知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度與價

18、值觀等內(nèi)容第二，只有針對最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展；停留在現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的教學(xué)，只能阻礙學(xué)生的發(fā)展真正的發(fā)展過程就是不斷把最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的過程第三，新課程倡導(dǎo)內(nèi)在發(fā)展，如在教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)的定位上，強(qiáng)調(diào)通過課程知識的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的懷疑意識、批判意識和探究意識第四，新課程背景下的課堂教學(xué)有效性不僅僅要讓學(xué)生學(xué)到有利于自己發(fā)展的知識與技能，獲得影響今后發(fā)展的學(xué)習(xí)方法和價值觀念，而且要注意讓學(xué)生在課堂里擁有創(chuàng)造的主動權(quán)，能充分根據(jù)自己的個性、學(xué)生與社會發(fā)展的需求來發(fā)展自己，這是新課程背景下課堂教學(xué)有效性的新目標(biāo)1.4研究的主要問題因此，本人選定高三數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)有效性的研究作為研究課題

19、，主要研究的主要有以下三大問題：（1）如何提高解題教學(xué)有效性；（2）習(xí)題選擇應(yīng)遵循哪些原則；（3）習(xí)題教學(xué)有效性的實踐研究1.4研究的理論基礎(chǔ)141建構(gòu)主義理論該理論對發(fā)展和完善我國的課程和教學(xué)理論、指導(dǎo)和促進(jìn)我國的課堂教學(xué)改革具有重要的意義建構(gòu)主義教學(xué)理論認(rèn)為，人的知識不是被動地接受的，而是通過自己的經(jīng)驗主動地建構(gòu)，指出教學(xué)應(yīng)當(dāng)力求使學(xué)生自己進(jìn)行知識的建構(gòu)，而不是要求他們復(fù)制知識強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)活動不可替代的主體，在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生具有主動選擇、發(fā)現(xiàn)、思考、探究、應(yīng)答、質(zhì)疑的需要與可能142認(rèn)知心理學(xué)從認(rèn)知心理學(xué)角度分析，數(shù)學(xué)問題的解答，是在問題空間中尋找一條由問題初始狀態(tài)到

20、目標(biāo)狀態(tài)的通路，即一個數(shù)學(xué)問題由初始狀態(tài)a，目標(biāo)狀態(tài)b和解題規(guī)劃組成解決數(shù)學(xué)問題，就是從初始狀態(tài)出發(fā)，按照某些規(guī)則，經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化，最后達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的過程，即aa1a2an b，其中a1， a2 ，an稱為中間狀態(tài)，“”表示依據(jù)法則所進(jìn)行的操作(稱為算子)由于從目標(biāo)狀態(tài)a出發(fā)，依據(jù)某些法則所進(jìn)行的操作所得到的中間狀態(tài)可能不僅為a1，還可能得到其他中間狀態(tài)a11，a12，同樣，由這些狀態(tài)又可能推出若干中間狀態(tài)，因而就會形成一種復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)體系認(rèn)知心理學(xué)把在解決一個問題過程中所達(dá)到的全部中間狀態(tài)以及全部算子統(tǒng)稱為問題空間或狀態(tài)空間問題解決就是對問題空間的搜索，以找到一條從問題初始狀態(tài)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)的

21、通路數(shù)學(xué)問題解決就是解題者在自己的長時記憶中提取解題圖式用于新的問題情境的過程解題圖式包括個體已有的與新問題有關(guān)的知識基礎(chǔ)、解題策略和解題經(jīng)驗解題的認(rèn)知過程是在元認(rèn)知調(diào)控下，解題者對問題進(jìn)行表征，對問題進(jìn)行模式識別，然后將解題圖式提取、遷移，進(jìn)而達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的信息加工行為解決數(shù)學(xué)問題分為理解問題、選擇算子、應(yīng)用算子、結(jié)果評價4個階段與此對應(yīng)，其中認(rèn)知過程分別為問題表征、模式識別、知識遷移、思維監(jiān)控（1）問題表征問題表征是指根據(jù)問題所提供的信息和自身已有的知識經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)部心理符號的過程問題表征是一種過程，即對問題的理解和內(nèi)化，也是問

22、題理解的一種結(jié)果，即問題在頭腦中的呈現(xiàn)方式問題表征的質(zhì)量的高低將會直接影響到問題的解決面對問題時，個體最重要的是先理解外部呈現(xiàn)的材料，理解過程實際上就是個體用自己獨特的方式重新組織這些材料的過程，目的是使材料中的重要信息以某種邏輯結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來在良好的心理表征的基礎(chǔ)上，個體才能夠準(zhǔn)確地篩選信息，并選擇適當(dāng)?shù)牟呗越M織信息以解決問題所以，正確的問題表征是解決問題的必要前提，錯誤的問題表征中是不可能求得問題的解決（2）模式識別任何解題策略的產(chǎn)生都離不開主體已有的數(shù)學(xué)概念、法則、定理、由基本題型形成的“知識塊”及解題基本方法等，離不開主體的知識結(jié)構(gòu)與同題情境的相互作用，一個沒有地質(zhì)知識的人看一塊巖石必定

23、看不出什么東西一個沒有適當(dāng)數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)的人，接觸一個數(shù)學(xué)習(xí)題，當(dāng)然不可能產(chǎn)生解題策略 主體接觸到數(shù)學(xué)習(xí)題之后，首先辨別題目的類型，以便與已有經(jīng)驗知識發(fā)生聯(lián)系，這種解題策略便是模式識別模式識別是解數(shù)學(xué)習(xí)題時廣泛采用的策略，不同的數(shù)學(xué)習(xí)題與不同的模式相聯(lián)系，同一個數(shù)學(xué)習(xí)題也可能與不同的模式相聯(lián)系，模式可以理解為知識結(jié)構(gòu)，是內(nèi)化到頭腦中的符號(表象、語言等)形式，也就是皮亞杰所說的狹義的認(rèn)識圖式“題組歸類”，“突出基本圖形”都是教學(xué)中強(qiáng)化模式識別策略訓(xùn)練的做法現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的研究成果已經(jīng)清楚地表明，某個專家他能很快地通過直覺找出在某一情景下解決問題的策略，是因為他具備迅速地把記憶中原有的知識、經(jīng)驗檢

24、索出來的能力，西蒙認(rèn)為，這種情形就好像在百科全書中，如果我們把索引找對的話，我們就能從索引找對那個內(nèi)容因此專家把這一類的知識都存貯在百科全書中，即長時記憶中如果他很快認(rèn)出來這個問題是屬于哪一類的，那么他很快地就得出答案了拉金等人也認(rèn)為專家解決問題是要依靠豐富的知識，但這些知識必須有大量的模式作為索引（3）元認(rèn)知元認(rèn)知，就是對認(rèn)知的認(rèn)知，具體地說，是關(guān)于個人自己認(rèn)知過程的知識和調(diào)節(jié)這些過程的能力，對思維和學(xué)習(xí)活動的知識和控制波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本，良好的組織使得所提供的知識易于用上，這可能比知識廣泛更為重要”波利亞強(qiáng)調(diào)了解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)對解題的重要性而數(shù)學(xué)的

25、解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)由解題知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)組成湯服成等研究者通過研究表明：元認(rèn)知是影響數(shù)學(xué)問題解決的重要因素，具有修正數(shù)學(xué)解題目標(biāo)、激活和重組數(shù)學(xué)解題策略、強(qiáng)化解題者在數(shù)學(xué)解題中的主體地位等作用鄭雅允指出：元認(rèn)知在數(shù)學(xué)解題過程中就像一雙無形的手指點著學(xué)生每一步應(yīng)該如何進(jìn)行，是正確解決問題的向?qū)?，在整個解題過程中起著潛移默化的引導(dǎo)作用，影響著思維，元認(rèn)知的監(jiān)控決定著解題的過程，而解題中的每一步都提醒和反映著元認(rèn)知監(jiān)控作者認(rèn)為，解題者要順利解決一個數(shù)學(xué)問題，必須在解題過程中隨時對自己的思維過程加以監(jiān)控、評價和調(diào)整，數(shù)學(xué)的解題過程始終有數(shù)學(xué)元認(rèn)知的參與，因此數(shù)學(xué)元認(rèn)知，對解題的順利進(jìn)行具有

26、重要的影響143高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念（1）構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺；（2）提供多樣課程，適應(yīng)個性選擇；（3）倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；（4）注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；（5）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；（6）與時俱進(jìn)地認(rèn)識“雙基”；（7）強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化；（8）體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值；（9）注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合；（10）建立合理、科學(xué)的評價體系15研究的方法（1）查閱資料，收集材料，對習(xí)題的選擇與教學(xué)有效性研究有關(guān)問題的國內(nèi)現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查與研究；（2）收集有關(guān)文獻(xiàn)，對文獻(xiàn)進(jìn)行整理、研究；（3）在理論研究和構(gòu)想的基礎(chǔ)上，對教學(xué)資源進(jìn)行開發(fā)，設(shè)計具體的教學(xué)案例；（4）在教學(xué)實踐中，

27、將構(gòu)想及開發(fā)的案例進(jìn)行實施；（5）通過訪談，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況- 41 -第2章 提高解題教學(xué)的有效性的措施與建議第2章 提高解題教學(xué)的有效性的措施與建議下面結(jié)合第1章中的理論基礎(chǔ)，對教學(xué)存在的問題進(jìn)行分析，且對如何提高解題教學(xué)的有效性提出一些措施與建議2.1幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)與表征按照認(rèn)知理論的觀點，問題解決的主要策略是模式識別，而模式識別的前提是知識的良好組織波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛更重要至少在有些情況下，知識太多反而成了累贅，它可能會妨礙解題者去看出一條簡單的途徑，而良好的組織則有

28、利無弊；把圖書館和工具箱里的工具布置得很實用對工作是會有幫助的，然而把你記憶里的知識安放得更有條不紊，則對你更有幫助，因為更值得你去關(guān)心為此，我們應(yīng)當(dāng)把過去解過的具有相同類型未知量得問題和過去證明過的具有相同結(jié)論的定理設(shè)法“存儲在一起”案例 在高三復(fù)習(xí)中，講到直線的斜率這個概念時，做了如下的設(shè)計：t：直線的斜率是怎么定義的呢？s：直線傾斜角的正切值，叫做直線的斜率,即t：若已知直線上的兩點、，那么該直線斜率的又可以怎么表示？s：，t：回答的很好，另外若該直線為函數(shù)圖象在點處切線呢？s：，通過上面師生的一問一答，把必修和選修中有關(guān)斜率的問題串聯(lián)起來，構(gòu)成一個良好的知識結(jié)構(gòu)后面我布置了如下的兩道試

29、題：若點在曲線上移動，求在點處切線的傾斜角的取值范圍 設(shè)點是曲線上一動點，求在點處切線的傾斜角的取值范圍 學(xué)生基本上都能夠順利地做出這道題2.2解法要追求自然從教育學(xué)專業(yè)角度說，只有針對最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展；停留在現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的教學(xué)，只能阻礙學(xué)生的發(fā)展真正的發(fā)展過程就是不斷把最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的過程章建躍博士在一篇文章中講到：“課堂教學(xué)中，如果我們的教學(xué)不能打動學(xué)生，學(xué)生對我們的講解無動于衷，那么他們就不可能有心領(lǐng)神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無功而返”但解題教學(xué)也不能靠巧解、簡解來打動學(xué)生，否則即使成功打動學(xué)生，他們也僅停留在“欣賞”層面而已，不會產(chǎn)生真正心領(lǐng)神

30、會的心靈共鳴，最終還是“懂而不會”我認(rèn)為自然的解法就是從題目條件出發(fā)，每一步跨度不大，容易想到，易于理解不過判斷一個解法是否自然，不同的人可能看法不一樣因為解法自然與否，和解題者本身知識素養(yǎng)有很大關(guān)系，比如掌握案例多少，聯(lián)想能力，靈活運用能力等等，難以一概而論就好比“顯然易見”一樣，在你看來是顯然的，可能別人要想半天所以，在高三的習(xí)題教學(xué)中，不是僅僅以解出問題或者使用新奇另類的解出問題為目標(biāo)，而是要充分了解學(xué)生現(xiàn)有的水平，從學(xué)生的實際出發(fā)，自覺進(jìn)行規(guī)律性的探索，力求通過一個題的教學(xué)使學(xué)生獲得解決一類題的能力案例 （2011年浙江高考題）已知r，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為a（）略；（）若a=r，求的

31、取值范圍命題組給出的解法：當(dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，解得，或，所以，或，解得，或；綜上，的取值范圍為這種解法對大部分學(xué)生來說，像是魔術(shù)師帽子里冒出的一只兔子，估計給學(xué)生講完之后，過一陣子就忘了筆者的方法是：依題意得的不等式的解集是r，聯(lián)想到解含絕對值不等式的方法是，分類討論，去絕對值；但是由于這道題中的與的大小關(guān)系不明確，若討論，要分很多種情況，較繁瑣構(gòu)造函數(shù)來求解；令，分別作出它們的圖象，要使原不等式的解集為r函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方另外有些解法雖然是基本，但學(xué)生掌握還是不好，就需要教師要“與生俱進(jìn)”，改進(jìn)解法例如，在三角恒等變換的訓(xùn)練中，經(jīng)常碰到下列一類”給值求值”問題：已知，且為銳角

32、，求極大部分教師（包括筆者）都會采用下列得意的教學(xué)對策：不直接告訴學(xué)生將目標(biāo)角配湊為，而是讓學(xué)生先獨立思考此時，學(xué)生通常會把式子展開化為，結(jié)合，聯(lián)立方程組求解由于過程計算量大，只有少數(shù)學(xué)生能夠正確得出答案面對這樣的結(jié)果，向?qū)W生介紹角變換的技巧，從而快速的得出答案在學(xué)生驚訝又興奮的同學(xué)，教師會跟進(jìn)補充一組變式題，已知銳角、滿足，求的值這時，學(xué)生會模仿著順利地解決問題，在學(xué)生嘗到甜頭后，教師會進(jìn)一步小結(jié)提升：常見的角的變換有，等等但是后來在一次考試中，有這樣一道題：設(shè)為銳角，若，則的值為 從閱卷的情況上看，學(xué)生對此題的得分率很低，面對如此糟糕的結(jié)果，此時教師就抱怨：這個問題我們之前課堂上已經(jīng)講了遍

33、了，為什么學(xué)生還是不會做呢？還是經(jīng)常錯呢？雖然在上述案例的教學(xué)中，較之將“變角”技巧強(qiáng)行灌輸給學(xué)生已改進(jìn)不少，至少能讓學(xué)生先暴露自己的思維，然后再展開教學(xué)，但為什么學(xué)生初始階段能較順暢地運用技巧，而時間一長，就想不起來呢？后來經(jīng)過想想應(yīng)該是：“變角”的技巧掩蓋了問題的本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生的懂僅停留在懂操作，渾然不知深層次的是什么與為什么筆者在后來的教學(xué)中，為了突出該問題的本質(zhì)，對解法做了如下的修改：令，則，且為銳角，的值于是原問題就化為，設(shè)為銳角，若，求的值這樣，問題就變成了學(xué)生最熟悉不過的問題了后來的幾次考試中，碰到類似的問題，學(xué)生基本上都能正確的求解總之，解法沒有最好，只有更好2.3 暴露師生解

34、題的思維過程數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心?！睌?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程不僅是知識的接收、儲存和應(yīng)用的過程，更重要的是思維的訓(xùn)練和發(fā)展過程。思維的訓(xùn)練和發(fā)展是以暴露思維過程為前提的，是在暴露的過程中得到錘煉和提高的，所以在教學(xué)活動中，師生雙方都必須充分暴露思維過程。2.3.1合理展示教師的思維過程怎么解，為什么這么解學(xué)生的思維往往是在模仿教師的思維中逐漸形成的，所以教師在傳授知識時應(yīng)注意思維的“顯化”教師要設(shè)法使學(xué)生看到，面對一個新問題，自己是怎樣尋求解決思路的？其依據(jù)是什么？特別是在思路受阻后是如何調(diào)整思路的？為什么這樣調(diào)整？等等千萬不要給學(xué)生造

35、成這樣的錯覺：老師很神，無論問題多難都能迎刃而解要讓學(xué)生在跟隨教師的思維過程中學(xué)會思維案例 已知二次函數(shù)的圖象過點，且（，（）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式；（）對于（）中的數(shù)列，設(shè)其前項的和為，求證：（）略；t：（）由（）可知，類比將，則 ，說明我們將放縮的太大了， 所 以我們應(yīng)該要修正我們的這個過程：，則通過上面這樣一個老師的思維過程，使學(xué)生懂得老師是怎么思考問題的2.3.2充分展示學(xué)生的思維過程-理解學(xué)生的解題困境發(fā)展學(xué)生的思維、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生充分暴露和展示思維過程的機(jī)會，只有這樣才能及時地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維“閃光點”和存在的問題，并肯定正確、矯正錯誤

36、，通過展示學(xué)生在練習(xí)或考試中的錯誤思維，讓學(xué)生在分析他人的思維、剖析他人的思路的過程中，找到錯誤的根源，明辨是非，有效地杜絕類似錯誤的發(fā)生，從而保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)質(zhì)高效傳統(tǒng)教學(xué)中的口頭提問、調(diào)板板演等都是展示學(xué)生思維的好方法，特別是隨著教學(xué)改革的不斷深入，課堂上的合作學(xué)習(xí)、小組討論與交流、學(xué)生提問、現(xiàn)代媒體技術(shù)的應(yīng)用等，都為充分暴露和展示學(xué)生思維提供了十分有利的條件教學(xué)中應(yīng)注意發(fā)揮它們在展示學(xué)生思維過程中的作用案例 在排列組合這一部分的學(xué)習(xí)中，由于算法的多樣性，充分暴露學(xué)生的思維過程是有好處的題：有名同學(xué)到個服務(wù)臺排隊還書，有且只有一個服務(wù)臺沒有這名同學(xué)還書的排隊有多少種？s1：第一步，從名讀者中

37、選出個“捆綁”在一起，視為個“讀者”，因為有排隊的先后，所以有種方法；第二步，從個服務(wù)臺中取定個，將以上的“個讀者”依次排列在這個服務(wù)臺，共有種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有種方法有沒有同學(xué)還有其他的想法呢？s2：有且只有一個服務(wù)臺沒有這名同學(xué)還書，有三個服務(wù)臺至少有一名同學(xué)還書第一步：從四個服務(wù)臺中選出3個，共有種方法；第二步，從4名學(xué)生中選出3名排在第一步選出的3個服務(wù)臺，共有種方法；第三步，將剩下的一名同學(xué)排在選出的3個服務(wù)臺，共有種方法；根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有種方法意識到生2的這種解法有局限性，所以我對題目做了變式，有4個不同的小球放入4個不同的盒子中（小球全部放入），恰好有一個空盒子

38、，則有多少種不同的放法？請同學(xué)對比，這樣學(xué)生的思維就充分暴露出來了在高三總復(fù)習(xí)中，常常要進(jìn)行難度較大、靈活性強(qiáng)的綜合題演練與評講，其目的在于，強(qiáng)化學(xué)生對核心知識與方法的綜合運用，加深理解，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步提高靈活解題的能力案例 下面以一道高考題為例，說明教學(xué)中如何充分展示學(xué)生的思維過程在導(dǎo)數(shù)在研究含參不等式恒成立應(yīng)用中，筆者課前給同學(xué)們先布置了如下的一道題目，2010年新課標(biāo)全國卷理科21題：設(shè)函數(shù)，（）若，求的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng)時，求的取值范圍t：上次課，給同學(xué)們布置了如下得思考題，同學(xué)們完成的怎么樣呢？請一些同學(xué)說說你的想法s1：通過分離參數(shù)，把已知條件轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，恒成立進(jìn)而構(gòu)造

39、函數(shù)，求函數(shù)在上的最小值為了求函數(shù)的最小值，我們要研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時，分母是大于，分子的符號就不知如何判斷了t：這位同學(xué)分析的不錯，老師一開始也是這么想的現(xiàn)在我們的問題的在于如何判斷，在的符號如果我們能夠知道什么，就可以知道的的情況呢？s2：知道的單調(diào)性，就可以了t：沒錯，那么下面沒算出來的同學(xué)，自己動筆算一算看s3：，對任意的成立，知在遞增，則對任意的成立，所以在，則對任意的成立，所以在上遞增，則這時這位學(xué)生又陷入了困境就是當(dāng)時，沒有意義t：那么應(yīng)該怎么辦呢？s4：直接構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性求得最小值通過上面師生共同討論，使師生思維充分暴露，取得了很好的教學(xué)效果2.4解題的“再回首”

40、-談如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心動力，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平著名數(shù)學(xué)家波利亞指出：數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思反思是認(rèn)識過程中強(qiáng)化自我意識、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的重要形式，是元認(rèn)知理論的一種具體體現(xiàn)。反思活動進(jìn)行的深度和廣度，能反映自我意識、自我調(diào)節(jié)的強(qiáng)弱。在反思過程中，不但是元認(rèn)知能力可以得到實際的鍛煉和提高，而且通過反思后的總結(jié)提高可以使元認(rèn)知理論不斷得到補充、豐富、完善和發(fā)展。所以在習(xí)題教學(xué)中要特別注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，使學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，使這種外部行為逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)部行

41、為那么，在實際教學(xué)中又如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思呢？再回首一：反思解題過程本身在解完一道題后有必要反思解答有無漏洞，有沒有忽視一些隱含條件，邏輯上是否嚴(yán)密等等這樣的反思可以提高學(xué)生對相關(guān)知識理解的層次，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性，以達(dá)到知錯、改錯、防錯之功效今后應(yīng)該如何思考此類問題？通過反省，可以幫助學(xué)生提煉出解決此類問題的注意點，引領(lǐng)學(xué)生在解決問題的過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗，提高分析問題和解決問題的能力案例 （1）在立體幾何中求平面的法向量坐標(biāo)時，經(jīng)常會犯類似如下的錯誤：，是平面的一個法向量，則，取，則，則有時候，一不留神就會犯上面的錯誤，怎么避免呢？其實，我們只需將與和求數(shù)量積看結(jié)果會不會都等于0，

42、如果有一個不為0，馬上就應(yīng)該檢查看哪里出錯了類似的還有數(shù)列求和，解含絕對值不等式問題（2）已知直線，橢圓，設(shè)直線與橢圓相交于橢圓、兩點，設(shè)，設(shè)直線，是否存在使得與的距離等于？若存在，請寫出直線的一般方程，不存在，請說明理由；有些同學(xué)看完這道題目說這還不容易，由兩條平行線的距離公式可知，即所以存在直線符合題意其實同學(xué)們漏了考慮，因為直線與橢圓相交，而上述，所以這樣的直線是不存在的（3）已知雙曲線，、是左右焦點，右支上存在一點滿足，求雙曲線離心率的范圍許多同學(xué)沒有注意到題目中的隱含條件，而導(dǎo)致結(jié)果錯誤若我們同學(xué)能夠不急于求成，花點時間檢查下題目的過程是否完整，我想上面的情況是完全可以避免的，表面上

43、看起來是比別人多花了點時間，但實際上效益是比別人高的，何樂而不為呢！再回首二：反思新解法“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一種行之有效的手段，它對于發(fā)展學(xué)生的智力，開闊解題思路非常有益解決了一個問題后，不要急于進(jìn)入下一題，要引導(dǎo)學(xué)生反思所運用的解題策略，探索新的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性案例 中，為銳角，點是外接圓的圓心，則的取值范圍是 （2013年廈門市質(zhì)檢）s1：，所以，又因為為銳角，由圖象易知，則，所以；t：這位同學(xué)是運用數(shù)量積的定義，即等于的長度與在的方向上的投影的乘積來解題另外，同學(xué)們能不能回顧下之前求解數(shù)量積問題的方法還有哪些？s2：選定基底，把，分別用基底，表示

44、，即，則 ；t：你能不能舉一個具體的例子來說明s2：之前單元考的一道題目，在中，在邊上，且，,，則 t：很好，余弦定理的向量法證明也是采用上面的方法，那還有沒有呢？s3：又若圖形中有直角，我們可以通過建系寫出與的坐標(biāo)，即，則t：能否舉個之前做過的的例子？s4：在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 （2012年江蘇的高考題）t：上面的另外兩種思路，能不能用來解決該題呢？最后，經(jīng)過師生的共同努力，得到了如下的兩種不同的解法解2：又，所以=，又為銳角， ，則；解3：，所以，以、的方向分別為軸，軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系系，則，又為銳角，則，所以，則，因為，所以，必須指出，不能只是追求解法的數(shù)

45、量，而應(yīng)對每一種解法進(jìn)行深入的分析，提煉解題思路，并且引導(dǎo)學(xué)生體會各種解法的特點及優(yōu)劣，所提供的解法也都是要符合學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，這樣，才能真正發(fā)揮一題多解的教育功能再回首三：反思解題規(guī)律 主動聯(lián)系基礎(chǔ)知識或曾經(jīng)解決過的一些問題，進(jìn)行共性規(guī)律的反思，是學(xué)習(xí)者必需具備的基本素養(yǎng)解題后引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行歸類，對這類題型的解題規(guī)律進(jìn)行分析歸納，可使學(xué)生從題海中解脫出來，且這有利于積累解題方法，從而較快地摸索解題的線索，提高解題能力案例 在導(dǎo)數(shù)研究含參的不等式恒成立問題中，設(shè)置了如下3道題目，對成立，求的取值范圍；對成立，求的取值范圍；對成立，求的取值范圍這幾道題雖然形式上類似，但解題時所采用的方法

46、各有選擇通過這三道題的訓(xùn)練，讓同學(xué)歸納出該種題的解題策略，即若對恒成立，求的取值范圍方法1：若，則對恒成立，即；方法2：若，或者方法1中的最小值不好求的，可以考慮直接研究函數(shù)，為了求的最小值，就要研究該函數(shù)的單調(diào)性，極值等性質(zhì)，由于表達(dá)式中含有參數(shù)，一般就可能要分類討論了再回首四：反思題目的變式、推廣對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推廣、引申，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維，還可以促使學(xué)生隨時根據(jù)變化的條件積極思考，尋找解決問題的方法，從而培養(yǎng)思維的靈活性我們每解答一道數(shù)學(xué)題,若能將其中的條件、結(jié)論作一些改變，或問題的呈現(xiàn)方式作一些改變，會有什么結(jié)果產(chǎn)生呢？經(jīng)常這樣去反思是非常有益的案例 在隨機(jī)變量分布列這一節(jié)中，

47、筆者給出了如下的一道題目已知有只電器元件，其中有只次品和只正品，每次隨機(jī)抽取一只測試，不放回，直到只次品都找到為止，設(shè)需要測試的次品數(shù)為，求的分布列簡解：，又， ，通過對學(xué)生思維的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式變式1：已知有只電器元件，其中有只次品和只正品，每次隨機(jī)抽取一只測試，不放回，求在抽到次品前已取出的正品數(shù)的分布列簡解：設(shè)抽到正品前已取出的正品數(shù)為，則，變式2：已知有只電器元件，其中有只次品和只正品，每次隨機(jī)抽取一只測試，不放回，共抽取次，抽取件中次品的件數(shù)為，求的分布列簡解：，則，變式3：已知有只電器元件，其中有只次品和只正品，每次隨機(jī)抽取一只測試，抽完后放回，共抽取次，抽取件中次品的件數(shù)為

48、，求的分布列簡解：，在一次試驗中，抽到的次品的概率是，則，總之，例題講解后進(jìn)行總結(jié)、提煉、加以顯化，讓學(xué)生回顧反思，總結(jié)思想方法和思維策略，使學(xué)生明白通過學(xué)習(xí)可以得到哪些有用的結(jié)論，找出哪些共有的規(guī)律，從而提高數(shù)學(xué)解題能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生獨立分析和解決問題的智慧，真正掌握解題的“金鑰匙”，這樣才能做到“以不變應(yīng)萬變” 第3章 習(xí)題選擇有效性應(yīng)遵循的原則第3章 習(xí)題選擇有效性應(yīng)遵循的原則數(shù)學(xué)是研究客觀物質(zhì)世界數(shù)量關(guān)系及空間形式的科學(xué)根據(jù)現(xiàn)代社會對數(shù)學(xué)教育的基本要求，數(shù)學(xué)教育要保證學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識全面、系統(tǒng)的掌握，訓(xùn)練學(xué)生的基本技能，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高他們的數(shù)學(xué)能力，最終達(dá)到

49、學(xué)生知識教養(yǎng)、思想素質(zhì)和智力全面和諧的發(fā)展和提高從數(shù)學(xué)本身固有的特征來看，要通過解題并從解題中探索規(guī)律學(xué)會思考，才能提高學(xué)的數(shù)學(xué)能力，首先可以通過模仿、實踐，認(rèn)識理解、掌握并熟練的運用相關(guān)知識所以教師對習(xí)題的選擇是非常重要的在高三復(fù)習(xí)的習(xí)題教學(xué)中，一些教師在選題上隨意，目的不強(qiáng)，憑自己的興趣愛好，感覺這題不錯就選擇這一題，采用題海戰(zhàn)術(shù)，過分地注重量而忽視質(zhì)，不研究各類習(xí)題的功能和作用，雖然題做了很多，但收效不大因此，教師在教學(xué)中必須了解數(shù)學(xué)習(xí)題的作用，掌握一定的習(xí)題系統(tǒng)，并能恰當(dāng)、綜合的選擇運用習(xí)題，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的功能例題的選取是數(shù)學(xué)課堂準(zhǔn)備的主要內(nèi)容由于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重、知識容

50、量大，因此精選例題已成為廣大教師提高復(fù)習(xí)效率的重要途徑之一3.1典型性原則在“怎么解題表”中，波利亞擬出了啟發(fā)不斷轉(zhuǎn)換問題的30多個問句或建議：把問題轉(zhuǎn)化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題，去考慮一個可能相關(guān)的問題，先解決一個更特殊的問題、或更一般的問題、或類似的問題，這其中有許多的化歸的策略數(shù)學(xué)的化歸思維是與數(shù)學(xué)本身的理論體系相關(guān)的一方面，數(shù)學(xué)是在公理系統(tǒng)的基礎(chǔ)上用邏輯的方法展開和組織的，一個數(shù)學(xué)命題的真理性往往化歸為前命題的真理性；另一方面，從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，較低層次的研究內(nèi)容是較高層次的直觀基礎(chǔ)；在一個活動中曾是目的的東西，在另一個系統(tǒng)中可以成為手段，反映出活動的目的和手段

51、之間的互化關(guān)系因此，數(shù)學(xué)問題解決的一個基本特征就是“多步化歸”，通過多步化歸，最終把一個未知的問題轉(zhuǎn)換為一個已經(jīng)解決的問題正因為這個特征，數(shù)學(xué)問題的難度是一種階梯式的相對難度例如，要解決問題，若已經(jīng)解決了問題，則只需一步即可；若要在問題基礎(chǔ)上來解，就需要多步的化歸了數(shù)學(xué)問題解決的多步化歸特征使得“典型例題”處于十分關(guān)鍵的地位，只有掌握了一批典型例題，在解決問題時才容易找到化歸的方向，學(xué)生跳一跳就能夠的著所以在高三第一輪的復(fù)習(xí)中，習(xí)題的選擇要重視典型例題，不宜一開始就選擇綜合性大的例題案例 在排列組合這一章節(jié)中，最基礎(chǔ)的東西是兩個計數(shù)原理，及一些常用的策略：如特殊元素優(yōu)先考慮、捆綁法、插空法、定

52、序法那么下面的這道典型例題可以覆蓋了上面的全部內(nèi)容。題：男女坐成一排，（1）共有多少種不同的排法？（2）某人必須在中間，有多少種不同的排法？（3）甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？（4）甲、乙兩人必須相鄰，有多少不同的排法？（5）甲、乙兩人中恰好間隔一人，有多少種不同的排法？（6）甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？（7）甲必須在乙前面，有多少種不同的排法？（8）三個女生的順序固定，有多少種不同的排法？掌握了以上的方法后，那么如果老師給出下面這兩道習(xí)題的時候，學(xué)生就不會覺得高不可攀2012年山東省數(shù)學(xué)高考試題(理數(shù))的第11題：現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色各張，從中

53、任取張，要求這張卡片不能是同一顏色，且紅色卡片至多張，不同的取法的種數(shù)為a b c d2012年重慶卷（理科）第15題：某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則再課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）3.2新穎性原則心理學(xué)研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與其所接觸的材料是否有新鮮感是有關(guān)系的復(fù)習(xí)課不同于新課的講授，它是在有限的時間內(nèi)較大容量地對知識進(jìn)行強(qiáng)化和提高的綜合教學(xué)活動在復(fù)習(xí)課中教師的選題體現(xiàn)新穎性切忌搬抄教材例題切忌同一問題以同一形式多次重復(fù)，以免學(xué)生覺得單調(diào)乏味，沒有新意案例 在直線與橢圓的位置關(guān)系一節(jié)復(fù)習(xí)課中，我選擇了課本上的一道例題：