小波變換及分析原理

1、小波分析原理1.1 小波變換及小波函數(shù)的多樣性小波是函數(shù)空間中滿足下述條件的一個函數(shù)或者信號：式中，表示非零實(shí)數(shù)全體，是的傅里葉變換，成為小波母函數(shù)。 對于實(shí)數(shù)對，參數(shù)為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)對的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱小波。其中：稱為伸縮因子；稱為平移因子。對信號的連續(xù)小波變換則定義為其逆變換（回復(fù)信號或重構(gòu)信號）為 信號的離散小波變換定義為 其逆變換（恢復(fù)信號或重構(gòu)信號）為其中，是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。顯然小波函數(shù)具有多樣性。在matlab小波工具箱中提供了多種小波幻術(shù)，包括harr小波，daubecheies（dbn）小波系，symlets（symn）小波系，rever

2、sebior（rbio）小波系，meyer（meyer）小波，dmeyer（dmey）小波，morlet(morl)小波，complex gaussian(cgau)小波系，complex morlet(cmor)小波系，lemarie（lem）小波系等。實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)支撐長度、對稱性、正則性等標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的小波函數(shù)。1.2 小波的多尺度分解與重構(gòu)1988年mallat在構(gòu)造正交小波基時提出多尺度的概念，給出了離散正交二進(jìn)小波變換的金字塔算法，其小波分析樹形結(jié)構(gòu)如圖1所示，即任何函數(shù)都可以根據(jù)分辨率為的的低頻部分（近似部分）和分辨率為下的高頻部分（細(xì)節(jié)部分）完全重構(gòu)。多尺度分析時只對低頻部分

3、作進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予考慮，分解具有關(guān)系：其中代表信號，代表低頻近似部分，代表高頻細(xì)節(jié)部分，代表分解層數(shù)。對信號采樣后，可得到在一個大的有限頻帶中的一個信號，對這個信號進(jìn)行小波多尺度分解，其實(shí)質(zhì)就是把采到的信號分成兩個信號，即高頻部分和低頻部分，而低頻部分通常包含了信號的主要信息，高頻部分則與噪音及擾動聯(lián)系在一起。根據(jù)分析的需要，可以繼續(xù)對所得到的低頻部分進(jìn)行分解，如此又得到了更低頻部分的信號和頻率相對較高部分的信號。信號分解的層數(shù)不是任意的，對于長度為德信號最多恩給你分成層。實(shí)際應(yīng)用中，課根據(jù)實(shí)際需要選擇合適的分解層數(shù)。第9章 小波變換基礎(chǔ)9.1 小波變換的定義給定一個基本函數(shù)，令

4、（9.1.1）式中均為常數(shù)，且。顯然，是基本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。若不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。給定平方可積的信號，即，則的小波變換（wavelet transform，wt）定義為 （9.1.2）式中和均是連續(xù)變量，因此該式又稱為連續(xù)小波變換（cwt）。如無特別說明，式中及以后各式中的積分都是從到。信號的小波變換是和的函數(shù)，是時移，是尺度因子。又稱為基本小波，或母小波。是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。這樣，（9.1.2）式的又可解釋為信號和一族小波基的內(nèi)積。母小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。若是實(shí)信號，也是實(shí)的，則也是實(shí)的，反之，為復(fù)

5、函數(shù)。在（9.1.1）式中，的作用是確定對分析的時間位置，也即時間中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸縮。我們在1.1節(jié)中已指出，由變成，當(dāng)時，若越大，則的時域支撐范圍（即時域?qū)挾龋┹^之變得越大，反之，當(dāng)時，越小，則的寬度越窄。這樣，和聯(lián)合越來確定了對分析的中心位置及分析的時間寬度，如圖9.1.1所示。圖9.1.1 基本小波的伸縮及參數(shù)和對分析范圍的控制(a)基本小波，（b）， ,(c) 不變，, (d)分析范圍這樣，（9.1.2）式的wt可理解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化正好適應(yīng)了我們對信號分析時在不同頻率范圍所需要不同的分辨率這一基本要求。（9.1

6、.1）式中的因子是為了保證在不同的尺度時，始終能和母函數(shù)有著相同的能量，即 令，則，這樣，上式的積分即等于。令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為： （9.1.3）由parsevals定理，（9.1.2）式可重新表為： （9.1.4）此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。9.2 小波變換的特點(diǎn)下面，我們從小波變換的恒q性質(zhì)、時域及頻率分辨率以及和其它變換方法的對比來討論小波變換的特點(diǎn)，以幫助我們對小波變換有更深入的理解。比較（9.1.2）和（9.1.4）式對小波變換的兩個定義可以看出，如果在時域是有限支撐的，那么它和作內(nèi)積后將保證在時域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)我們所希望的

7、時域定位功能，也即使反映的是在附近的性質(zhì)。同樣，若具有帶通性質(zhì)，即圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么和作內(nèi)積后也將反映在中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波，使其在時域和頻域都是有限支撐的。有關(guān)小波的種類及小波設(shè)計(jì)的問題，我們將在后續(xù)章節(jié)中詳細(xì)討論。由1.3節(jié)可知，若的時間中心是，時寬是，的頻率中心是，帶寬是，那么的時間中心仍是，但時寬變成，的頻譜的頻率中心變?yōu)?，帶寬變成。這樣，的時寬帶寬積仍是，與無關(guān)。這一方面說明小波變換的時頻關(guān)系也受到不定原理的制約，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波變換的一個性質(zhì)，也即恒q性質(zhì)。定義

8、=帶寬/中心頻率 (9.1.5)為母小波的品質(zhì)因數(shù)，對，其 帶寬/中心頻率=因此，不論為何值，始終保持了和具有性同的品質(zhì)因數(shù)。恒q性質(zhì)是小波變換的一個重要性質(zhì)，也是區(qū)別于其它類型的變換且被廣泛應(yīng)用的一個重要原因。圖9.2.1說明了和的帶寬及中心頻率隨變化的情況。圖9.2.1 隨變化的說明；(a) ，(b) ，(c) 將圖9.1.1和圖9.1.2結(jié)合起來，我們可看到小波變換在對信號分析時有如下特點(diǎn)：當(dāng)變小時，對的時域觀察范圍變窄，但對在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動，如圖9.2.1c所示。反之，當(dāng)變大時，對的時域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動，如

9、圖9.2.1b所示。將圖9.1.1和9.2.1所反映的時頻關(guān)系結(jié)合在一起，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間中心和頻率中心的關(guān)系，如圖9.2.2所示。0圖9.2.2 a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間由于小波變換的恒q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖9.2.2中三個時、頻分析區(qū)間（即三個矩形）的面積保持不變。由此我們看到，小波變換為我們提供了一個在時、頻平面上可調(diào)的分析窗口。該分析窗口在高頻端（圖中處）的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長），但時域的分辨率變好（矩形的時間邊變短）；反之，在低頻端（圖中處），頻率分辨率變好，而時域分辨率變差。但在不同的值下，圖9.2.2中分析

10、窗的面積保持不變，也即時、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的需要作出調(diào)整。眾所周知，信號中的高頻成份往往對應(yīng)時域中的快變成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等。對這一類信號分析時則要求時域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要，對頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，時、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。與此相反，低頻信號往往是信號中的慢變成份，對這類信號分析時一般希望頻率的分辨率要好，而時間的分辨率可以放寬，同時分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自動滿足這些客觀實(shí)際的需要。總結(jié)上述小波變換的特點(diǎn)可知，當(dāng)我們用較小的對信號作高頻分析時，我們實(shí)際上是用高頻小波對信號作細(xì)致觀察，當(dāng)我們用較大的對信號作低頻

11、分析時，實(shí)際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。如上面所述，小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對信號作實(shí)際分析時的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)?，F(xiàn)在我們來討論一下小波變換和前面幾章所討論過的其它信號分析方法的區(qū)別。我們知道，傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能（頻域的函數(shù)），但在時域所對應(yīng)的范圍是，完全不具備定位功能。這是ft的一個嚴(yán)重的缺點(diǎn)。人們希望用短時傅里葉變換來彌補(bǔ)ft的不足。重寫（2.1.1）式，即 (9.2.6)由于該式中只有窗函數(shù)的位移而無時間的伸縮，因此，位移量的大小不會改變復(fù)指數(shù)的頻率。同理，當(dāng)復(fù)指數(shù)由變成（即頻率發(fā)生變化）時，這一變化也不會影響窗函數(shù)。這樣，當(dāng)復(fù)

12、指數(shù)的頻率變化時，stft的基函數(shù)的包絡(luò)不會改變，改變的只是該包絡(luò)下的頻率成份。這樣，當(dāng)由變化成時，對分析的中心頻率改變，但分析的頻率范圍不變，也即帶寬不變。因此，stft不具備恒q性質(zhì)，當(dāng)然也不具備隨著分辨率變化而自動調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如圖9.2.3所示。圖中.200/20u圖9.2.3 stft的時頻分析區(qū)間(a) ，(b) 是的ft，是的ft， (c)在不同的和處，時寬、帶寬均保持不變我們在第六至第八章所討論的m通道最大抽取濾波器組是將分成m個子帶信號，每一個子帶信號需有相同的帶寬，即，其中心頻率依次為, （注：若是dft濾波器組，則中心頻率在, ），且這m個子帶信號有著相同的時間長度

13、。在小波變換中，我們是通過調(diào)節(jié)參數(shù)來得到不同的分析時寬和帶寬，但它不需要保證在改變時使所得到的時域子信號有著相同的時寬或帶寬。這是小波變換和均勻?yàn)V波器組的不同之處。但小波變換和7.9節(jié)討論過的樹狀濾波器組在對信號的分析方式上極其相似。由后面的討論可知，離散小波變換是通過“多分辨率分析”來實(shí)現(xiàn)的，而“多分辨率分析”最終是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)的。由（9.1.1）式，定義 (9.2.7)為信號的“尺度圖（scalogram）”。它也是一種能量分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是簡單的隨的能量分布，即我們在第二章至第四章所討論的時頻分布。但由于尺度間接對應(yīng)頻率（小對應(yīng)高頻，大對應(yīng)低頻），因此，

14、尺度圖實(shí)質(zhì)上也是一種時頻分布。綜上所述，由于小波變換具有恒q性質(zhì)及自動調(diào)節(jié)對信號分析的時寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此被人們稱為信號分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換是八十年代后期發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。法國數(shù)學(xué)家y.meyer，地質(zhì)物理學(xué)家j.morlet和理論物理學(xué)家a.grossman對小波理論作出了突出的貢獻(xiàn)。法國學(xué)者i.daubechies和s.mallat在將小波理論引入工程應(yīng)用，特別是信號處理領(lǐng)域起到了重要的作用。人們稱這些人為“法國學(xué)派”。在小波理論中一些有影響的教科書如文獻(xiàn)3,5,8,16等，一些有影響的論文如文獻(xiàn)42,43,51,52,53,87,88,105,116等。國內(nèi)從

15、工程應(yīng)用的目的較為全面地介紹小波理論的著作見文獻(xiàn)21，結(jié)合matlab介紹小波理論的著作見文獻(xiàn)18.9.3 連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)1時移性質(zhì)若的cwt是，那么的cwt是。該結(jié)論極易證明。記，則 （9.3.1）2 尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果的cwt是，令，則 （9.3.2）證明： ，令，則 該性質(zhì)指出，當(dāng)信號的時間軸按作伸縮時，其小波變換在和兩個軸上同時要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。3 微分性質(zhì)如果的cwt是，令，則 （9.3.3）證明： 由（9.3.1）式的移位性質(zhì)，有 即 4 兩個信號卷積的cwt，令的cwt分別是及，并令，則 （9.3.4）式中符號表示對變量作

16、卷積。證明： 再由（9.3.1）式的移位性質(zhì)，有 同理， 于是（9.3.4）式得證。5 兩個信號和的cwt令的cwt分別是，且，則 （9.3.5a）同理，如果，則 （9.3.5b）（9.3.5）式說明兩個信號和的cwt等于各自cwt的和，也即小波變換滿足疊加原理?？吹絯t的這一性質(zhì)，估計(jì)讀者馬上會想到wvd中的交叉項(xiàng)問題。由（9.3.5）式看來，似乎小波變換不存在交叉項(xiàng)。但實(shí)際上并非如此。（9.1.2）式所定義的cwt是“線性”變換，即只在式中出現(xiàn)一次，而在（3.1.2）式的wvd表達(dá)式中出現(xiàn)了兩次，即，所以，我們稱以wigner分布為代表的一類時頻分布為“雙線性變換”。正因?yàn)槿绱?，是信號能?/p>

17、的分布。與之相對比，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平方，即（9.2.7）式的尺度圖則是信號能量的一種分布。將代入(9.2.7)式，可得： (9.3.6)式中分別是和的幅角。證明： 由于后兩項(xiàng)互為共軛，因此必有（9.3.6）式.（9.3.6）式表明在尺度圖中同樣也有交叉項(xiàng)存在，但該交叉項(xiàng)的行為和wvd中的交叉項(xiàng)稍有不同。我們在3.5節(jié)中已指出，wvd的交叉項(xiàng)位于兩個自項(xiàng)的中間，即位于處，分別是兩個自項(xiàng)的時頻中心。由（9.3.3）式可以得出，尺度圖中的交叉項(xiàng)出現(xiàn)在和同時不為零的區(qū)域，也即是真正相互交疊的區(qū)域中，這和wvd有著明顯的區(qū)別?？梢宰C明【錢，書】，同一信號的wvd和其尺度圖有如

18、下關(guān)系： （9.3.7）式中是母小波的wvd，該式揭示了wvd和wt之間的關(guān)系，這說明cohen類的時頻分布和小波變換有著非常密切的內(nèi)在聯(lián)系。6 小波變換的內(nèi)積定理定理9.1 設(shè)和，的小波變換分別是和，則 （9.3.8）式中 （9.3.9）為的傅里葉變換。證明：由（9.1.4）式關(guān)于小波變換的頻域定義，（9.3.8）式的左邊有： 假定積分 存在，再由parseval定理，上述的推導(dǎo)最后為 于是定理得證。（9.3.8）式實(shí)際上可看作是小波變換的parseval定理。該式又可寫成更簡單的形式,即 (9.3.10)進(jìn)一步，如果令，由（9.3.8）式，有 (9.3.11)該式更清楚地說明，小波變換的幅

19、平方在尺度位移平面上的加權(quán)積分等于信號在時域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號能量時頻分布的一種表示形式。（9.3.8）和（9.3.11）式中對的積分是從，這是因?yàn)槲覀兗俣倿檎?。這兩個式子中出現(xiàn)的是由于定義小波變換時在分母中出現(xiàn)了，而式中又要對作積分所引入的。讀者都熟知傅里葉變換中的parseval定理，即時域中的能量等于頻域中的能量。但小波變換的parseval定理稍為復(fù)雜，它不但要有常數(shù)加權(quán)，而且以的存在為條件。9.4小波反變換及小波容許條件下述定理給出了連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件。定理9.2 設(shè)，記為的傅里葉變換，若 則可由其小波變換來恢復(fù)，即 (9.4.1)證

20、明：設(shè)，,則 將它們分別代入（9.3.8）式的兩邊，再令，于是有 于是定理得證。在定理9.1和定理9.2中，結(jié)論的成立都是以為前提條件的。（9.3.9）式又稱為“容許條件（admissibility condition）。該容許條件含有多層的意思：1. 并不是時域的任一函數(shù)都可以充當(dāng)小波。其可以作為小波的必要條件 是其傅里葉變換滿足該容許條件；2. 由（9.3.9）式可知，若，則必有，否則必趨于無窮。這等效地告訴我們，小波函數(shù)必然是帶通函數(shù)；3. 由于，因此必有 (9.4.2)這一結(jié)論指出，的取值必然是有正有負(fù)，也即它是振蕩的。以上三條給我們勾畫出了作為小波的函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征，即是一帶通

21、函數(shù)，它的時域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時頻定位的角度，我們總希望是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。2. 由上述討論，自然應(yīng)和一般的窗函數(shù)一樣滿足： （9.4.3）3. 由后面的討論可知，尺度常按來離散化，.由（9.1.3）式，對應(yīng)的傅里葉變換，由于我們需要在不同的尺度下對信號進(jìn)行分析，同時也需要在該尺度下由來重建，因此要求是有界的，當(dāng)由時，應(yīng)有 (9.4.4)式中。該式稱為小波變換的穩(wěn)定性條件，它是在頻域?qū)π〔ê瘮?shù)提出的又一要求。滿足（9.4.4）式的小波稱作“二進(jìn)（dyadic）”小波。9.5重建核與重建核方程我們

22、在上一節(jié)指出，并不是時域任一函數(shù)都可以用作小波?？梢宰鳛樾〔ǖ暮瘮?shù)至少要滿足（9.3.9）式的容許條件。與此結(jié)論相類似，并不是平面上的任一二維函數(shù)都對應(yīng)某一函數(shù)的小波變換。如果是某一時域信號，如的小波變換，它應(yīng)滿足一定的條件，此即本節(jié)要討論的內(nèi)容。定理9.3 設(shè)是平面上的任一點(diǎn)，上的二維函數(shù)欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即 （9.5.1）式中是在處的值， （9.5.2）稱為重建核。證明：由（9.1.2）式小波變換的定義，有 將（9.4.1）式代入該式，有 此即（9.5.1）和（9.5.2）式。（9.5.1）式的重建核方程和（9.5.2）式的重建核公式說明，若是的

23、小波變換，那么在平面上某一點(diǎn)處小波變換的值可由半平面上的值來表示，也即，是半平面上的總貢獻(xiàn)。既然平面上各點(diǎn)的可由（9.5.1）式互相表示，因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的，也即（9.4.1）式對的重建是存在信息冗余的。這一結(jié)論告訴我們可以用平面上離散柵格上的來重建，以消除重建過程中的信息冗余。在第二章中已指出，當(dāng)用的短時傅里葉變換來重建時，平面上的信息也是有冗余的，即平面上各點(diǎn)的是相關(guān)的，因此引出了離散柵格上的stft，如（2.2.6）式，進(jìn)一步的發(fā)展即是信號的gabor展開與gabor變換。由此可以得出，將一個一維的函數(shù)映射為一個二維函數(shù)后，在二維平面上往往會存在信息的冗余，由此引出了二維函數(shù)的離散

24、化問題及標(biāo)架理論。有關(guān)離散小波變換及小波標(biāo)架的內(nèi)容將在本章的最后兩節(jié)來討論。重建核是小波和處的小波的內(nèi)積，因此反映了和的相關(guān)性。若，即兩個小波重合時，取最大值；若遠(yuǎn)離，則將迅速減小。若能保證，則平面上各點(diǎn)小波變換的值將互不相關(guān)。這等效地要求對任意的尺度及位移，由母小波形成的一族是兩兩正交的?？梢韵胂?，若連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波使兩兩正交，那將是非常困難地。因此，連續(xù)小波變換的必然存在信息冗余。然而，當(dāng)離散取值時，則有可能得到一族正交小波基。9.6小波的分類由前兩節(jié)的討論可知，作為一個小波的函數(shù)，它一定要滿足容許條件，在時域一定要是有限支撐的，同時，也希望在頻域也是有限支撐的，當(dāng)然，若時域

25、越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個折中。此外，我們希望由母小波形成的是兩兩正交的，或是雙正交的；進(jìn)一步，我們希望有高階的消失矩，希望與相關(guān)的濾波器具有線性相位，等等。我們可以根據(jù)上述要求對現(xiàn)已提出的大量的小波函數(shù)作一粗略地分類。在下面的分類中，第一類是所謂地“經(jīng)典小波”，在matlab中把它們稱作“原始（crude）小波”。這是一批在小波發(fā)展歷史上比較有名的小波；第二類是daubecheis構(gòu)造的正交小波，第三類是由cohen，daubechies構(gòu)造的雙正交小波。9.6.1經(jīng)典類小波1. haar小波haar小波來自于數(shù)學(xué)家haar于1910年提出

26、的haar正交函數(shù)集，其定義是： （9.6.1）其波形如圖9.6.1（a）所示。的傅里葉變換是： （9.6.2） haar小波有很多好的優(yōu)點(diǎn)，如：（1） haar小波在時域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）；（2） 若取，那么haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時也是兩兩正交的，即如圖9.6.1(b)和(c)所示。所以haar小波屬正交小波；（3） haar波是對稱的。我們知道，離統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對于去除相位失真是非常有利的。haar小波是目前唯一一個既具有對稱性又是有限支撐的正交小波；（4）haar小波僅取1和1，因此計(jì)算簡單。但

27、haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在處只有一階零點(diǎn)，這就使得haar小波在實(shí)際的信號分析與處理中受到了限制。但由于haar小波有上述的多個優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。圖9.6.1 harr小波， (a) ，(b) ，(c) 2.morlet小波morlet小波定義為 (9.6.3)其傅里葉變換 （9.6.4） 它是一個具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)。考慮到待分析的信號一般是實(shí)信號，所以在matlab中將（9.6.3）式改造為： （9.6.5）并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是當(dāng)，或再取更大的值時，和在時域和頻域都具有很好的集中，如圖9.6.2所示。morlet小

28、波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對稱的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。 圖9.6.2 morlet小波， (a)時域波形， (b)頻譜3 .mexican hat小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱marr小波。它定義為 (9.6.6) 式中，其傅里葉變換為 (9.6.7)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和其頻譜如圖9.6.3所示。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對稱的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在處有二階零點(diǎn)，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺的

29、空間響應(yīng)特征，因此它在1983年即被用于計(jì)算機(jī)視覺中的圖像邊緣檢測131,75。 圖9.6.3 墨西哥草帽小波， (a)時域波形， (b)頻譜4gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為： ， (9.6.8)式中定標(biāo)常數(shù)是保證。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng)取偶數(shù)時正對稱，當(dāng)取奇數(shù)時，反對稱。圖9.6.4給出了時的的時域波形及對應(yīng)的頻譜。 圖9.6.4 高斯小波，取， (a)時域波形， (b)頻譜9.6.2 正交小波 目前提出的正交小波大致可分為四種，即daubechies小波，對稱小波，coiflets小波和meyer小波。這些正交小波和前面

30、所討論的“經(jīng)典小波”不同，它們一般不能由一個簡潔的表達(dá)式給出，而是通過一個叫做“尺度函數(shù)（scalling function）”的的加權(quán)組合來產(chǎn)生的。尺度函數(shù)是小波變換的又一個重要概念。由下一章的討論可知，小波函數(shù)，尺度函數(shù)同時和一個低通濾波器及高通濾波器相關(guān)連，和可構(gòu)成一個兩通道的分析濾波器組。這些內(nèi)容構(gòu)成了小波變換的多分辨率分析的理論基礎(chǔ)。因此，在討論正交小波時，同時涉及到尺度函數(shù)，分析濾波器組，及綜合濾波器組，。matlab中的wavelet toolbox中有相關(guān)的軟件來產(chǎn)生各類正交小波及其相應(yīng)的濾波器。1daubechies小波 daubechies小波簡稱db小波。它是由法國女學(xué)者

31、ingrid dauechies于90年代初提出并構(gòu)造的。daubechies對小波變換的理論做出了突出的貢獻(xiàn)，特別是在尺度取2的整數(shù)次冪時的小波理論及正交小波的構(gòu)造方面進(jìn)行了深入的研究，其代表作ten lectures on wavelet（小波十講）深受同行們的歡迎。 dbn中的表示db小波的階次，.當(dāng)時，db1即是haar小波。因此，前述的haar小波應(yīng)歸于“正交小波”類。daubechies計(jì)算出了時的及。在matlab5.3中，的階次還可以擴(kuò)展。db小波是正交小波，當(dāng)然也是雙正交小波，并是緊支撐的。的支撐范圍在，的支撐范圍在。小波具有階消失矩，在處具有階零點(diǎn)。但db小波是非對稱的，其

32、相應(yīng)的濾波器組屬共軛正交鏡像濾波器組（cqmfb）。圖9.6.5給出了時，及，的波形。有關(guān)db小波的構(gòu)造等更多內(nèi)容見第十一章。2. 對稱小波 對稱小波簡記為symn，它是db小波的改進(jìn)，也是由daubechies提出并構(gòu)造的。它除了有db小波的特點(diǎn)外，主要是是接近對稱的，因此，所用的濾波器可接近于線性相位。圖9.6.6是時的對稱小波。3. coiflets小波該小波簡記為coifn，.在db小波中，daubechies小波僅考慮了使小波函數(shù)具有消失矩（階），而沒考慮尺度函數(shù)。r.coifman于1989年向daubechies提出建議，希望能構(gòu)造出使也具有高階消失矩的正交緊支撐小波。daube

33、chies接受了這一建議，構(gòu)造出了這一類小波，并以coifman的名字命名。coifn是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為，也是接近對稱的。的消失矩是，的消失矩是。圖9.6.7是時的coif4小波。 圖9.6.5 時db小波， (a) ，(b) ，(c) ，(d) 圖9.6.6 時的對稱小波，(a) ，(b) 圖9.6.7時的coiflets小波，(a) ，(b) 4meyer小波meyer小波簡記為meyr，它是由meyer于1986年提出的【】。該小波無時域表達(dá)式，它是由一對共軛正交鏡像濾波器組的頻譜來定義的，詳細(xì)內(nèi)容見第十一章。meyer小波是正交、雙正交的，但不是有限支撐的，但其有效的

34、支撐范圍在8，8之間。該小波是對稱的，且有著非常好的規(guī)則性。圖9.6.8給出了meyer小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。 圖9.6.8 meyer小波，(a) ，(b) 9.6.3 雙正交小波我們在第七章已指出，兩通道正交鏡像濾波器組具有仿酋性質(zhì)。滿足這一條件的分析濾波器和是功率對稱的，且和之間有著（7.4.11）和（7.4.12）式的正交性，再是，和有著同樣的長度，都不是線性相位的。為了取得線性相位的濾波器組，我們需放棄的功率互補(bǔ)性質(zhì)。這也就放棄了和之間的正交性，代之的是雙正交關(guān)系。 由于離散小波變換最后是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)。因此，正交小波條件下的，和與都不具有線性相位（haar小波除外）。為

35、此，daubechies和cohen提出并構(gòu)造了雙正交小波【】，其目的是在放寬小波正交性的條件下得到線性相位的小波及相應(yīng)的濾波器組。雙正交濾波器組簡稱biornr,nd，其中是低通重建濾波器的階次，是低通分解濾波器的階次。在matlab中，和的可能組合是： =1, =1,3,5=2, =2,4,6,8=3, =1,3,5,7,9=4, =4=5, =5=6, =8這一類小波自然不是正交的，但它們是雙正交的，是緊支撐的，更主要的是它們是對稱的，因此具有線性相位。分解小波的消失矩為。圖9.6.9給出的bior3.7的分解小波、尺度函數(shù)及重建小波和尺度函數(shù)。圖9.6.9 雙正交小波bior3.7 (

36、a) 分解尺度函數(shù)，(b) 分解小波，(c)重建尺度函數(shù)， (d)重建小波9.7連續(xù)小波變換的計(jì)算在（9.1.2）式關(guān)于小波變換的定義中，變量，和都是連續(xù)的，當(dāng)我們在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個信號的小波變換時，和均應(yīng)離散化。對離散化最常用的方法是取，并取，這樣。對于按2的整次冪取值所得到的小波習(xí)慣上稱之為“二進(jìn)（dyadic）”小波。對這一類小波的小波變換，我們可用第十章的有關(guān)離散小波變換的方法來實(shí)現(xiàn)。然而取，在實(shí)際工作中有時顯得尺度跳躍太大。當(dāng)希望任意取值，也即在的范圍內(nèi)任意取值時，這時的小波變換即是連續(xù)小波變換。計(jì)算（9.1.2）式的最簡單的方法是用數(shù)值積分的方法，即，令 (9.7.1)由于在的區(qū)間

37、內(nèi)，所以上式又可寫為： (9.7.2)由該式可以看出，小波變換可看作是和的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中間變量是，卷積后的變量為及。matlab中的cwt.m即是按此思路來實(shí)現(xiàn)的。具體過程大致如下：1. 先由指定的小波名稱得到母小波及其時間軸上的刻度，假定刻度長為；2. 從時間軸坐標(biāo)的起點(diǎn)開始求積分，；2. 由尺度確定對上述積分值選擇的步長，越大，上述積分值被選中的越多；3. 求和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成（9.7.2）式。本方法的不足之處是在變化時，（9.7.2）式中括號內(nèi)的積分、差分后的點(diǎn)數(shù)不同，也即和卷積后的點(diǎn)數(shù)不同。解決的方法是在不同的尺度下對作插值，使其在不同

38、的尺度下，在其有效支撐范圍內(nèi)的點(diǎn)數(shù)始終相同。有關(guān)cwt快速計(jì)算的方法還可借助于czt及梅林變換等方法，詳細(xì)內(nèi)容見文獻(xiàn)21，此處不再討論。例9.7.1令為一正弦加噪聲信號，它取自matlab中的noissin.mat。對該信號作cwt，分別等于2和128，時，小波變換的結(jié)果對應(yīng)信號中的高頻成份，時，小波變換對應(yīng)信號中的低頻成份。其原始信號及變換結(jié)果見圖9.7.1(a)，(b)和（c）。例9.7.2 仍然使用例9.7.1的信號“noissin”，對其作cwt時分別取10，30，60，90，120及150。所得到的圖9.7.2是在各個尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移（水平軸）

39、處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。 圖9.7.1 信號“noissin”的小波變換，(a)原信號，(b)，(c) 圖9.7.2 多尺度下小波變換的灰度表示9.8尺度離散化的小波變換及小波標(biāo)架我們在（9.1.2）式定義了信號的連續(xù)小波變換，式中，和都是連續(xù)變量。為了在計(jì)算機(jī)上有效地實(shí)現(xiàn)小波變換，自然應(yīng)取離散值，和也應(yīng)取離散值。從減少信息冗余的角度，和也沒有必要連續(xù)取值。和形成了一個二維的“尺度位移”平面。前已述及，越大，對應(yīng)的頻率越低，反之，對應(yīng)的頻率越高。因此，平面也可視為“時頻平面”。對同一個信號，我們已給出過不同的表示形式，如stft，gabor變換，wvd

40、及本章的小波變換。 現(xiàn)重寫幾個有關(guān)的公式，即 (9.8.1) (9.8.2) (9.8.3) (9.8.4)其中（9.8.2）式是用時頻平面離散柵格上的點(diǎn)來表示，即gabor展開，（9.8.3）式是具有雙線性變換的表示形式，它和其它三種表示形式有較大的區(qū)別。（9.8.1）和（9.8.4）式說明同一信號在時頻平面上具有不同的表示形式。在第二章已指出，（9.8.1）式的反變換是有信息冗余的，即不需要的所有的值即可恢復(fù)。同理，（9.8.4）式的小波變換也存在著信息冗余。在這兩個式子中，我們只需取時頻平面上的離散柵格處的點(diǎn)即可。問題的關(guān)鍵是如何決定和抽樣的步長以保證對的準(zhǔn)確重建。下面，我們首先考慮尺度

41、的離散化，然后再考慮和的同時離散化。9.8.1尺度離散化的小波變換目前通用的對離散化的方法是按冪級數(shù)的形式逐步加大，即令。若取，則 (9.8.5)稱為“半離散化二進(jìn)小波”，而 (9.8.6)稱為二進(jìn)小波變換。設(shè)母小波的中心頻率為，帶寬為，當(dāng)時，的中心頻率變?yōu)?，帶寬。若時，的中心頻率和帶寬分別是：，。從對信號作頻域分析的角度，我們希望當(dāng)由變成時，和在頻域?qū)?yīng)的分析窗和能夠相連接。這樣，當(dāng)由變至無窮時，的傅里葉變換可以覆蓋整個軸。顯然，若令母小波的，則上面兩個頻域窗首尾相連，即 和首尾相連。通過對母小波作合適的調(diào)制，可以方便地做到?，F(xiàn)在，我們來討論如何由（9.8.6）式的來恢復(fù)，設(shè)是的對偶小波，并

42、令和取類似的形式，即 (9.8.7)這樣，通過對偶小波，我們希望能重建： (9.8.8)為了尋找和應(yīng)滿足的關(guān)系，現(xiàn)對上式作如下改變： 式中代表求傅里葉變換。由（9.1.3）和（9.1.4）式，有 (9.8.9)顯然，若 (9.8.10)則（9.8.9）式的右邊變成的傅里葉反變換，自然就是。9.4節(jié)已指出，對于滿足容許條件的小波，當(dāng)時，其二進(jìn)制小波對應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足（9.4.4）式的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合（9.4.4）和（9.8.10）式，我們可由下式得到對偶小波: (9.8.11)由于（9.8.11）式的分母滿足（9.4.4）式，因此有 (9.8.12)這樣，對偶小波也滿足穩(wěn)定性條件，也即，我們總可以找到一個“穩(wěn)定的”對偶小波由（9.8.8）式重建出。下面的定理更完整地回答了在半離散二進(jìn)小波變換情況下的重建問題。定理9.4 如果存在常數(shù)，使得 (9.8.13)則 (9.8.14)如果滿足 (9.8.15)則 (9.8.16)該定理指出，若的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，則在上的小波變換的幅平方的