一元二次方程教材分析

1、 教材分析 北京市上地實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王 鑫一、一元二次方程的教學(xué)要求二、本章內(nèi)容及課時(shí)安排三、教學(xué)建議一、一元二次方程的教學(xué)要求1.與方程有關(guān)的知識(shí)安排數(shù) 與式方程 函數(shù) 一元一次方程 七(上) 二元一次方程組 七(下) 分式 八(下) (分式方程)一元二次方程 九(上)2. 對(duì)一元二次方程的學(xué)習(xí)要求新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型 估計(jì)方程解的過程 會(huì)解方程(組) 理解配方法 會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。檢驗(yàn)結(jié)果是否合理 教材中本章學(xué)習(xí)目標(biāo)*3. 一元二次方程的地位與作用從內(nèi)容上看，教材目前只是突出最重要的基礎(chǔ)知識(shí)和最基本的技能，教師教學(xué)時(shí)要注意把握好教學(xué)要求，本章的內(nèi)容是進(jìn)

2、一步學(xué)習(xí)函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容的基礎(chǔ)，學(xué)生若掌握不好，會(huì)給后繼的學(xué)習(xí)帶來許多困難，所以教學(xué)中教師要切實(shí)關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況.4.09年中考說明中的要求考試內(nèi)容是指全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中所規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)習(xí)內(nèi)容考試要求層次ABC一元二次方程了解一元二次方程的概念，會(huì)將一元二次方程化為一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)；了解一元二次方程根的意義能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍；會(huì)由方程的根求方程中待定系數(shù)的值 一元二次方程的解法理解配方法，會(huì)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解各種解法的依據(jù)能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏?/p>

3、程；會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷根的情況能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；會(huì)用配方法對(duì)代數(shù)式作簡單的變形；會(huì)運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題5.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖6.本章涉及到的思想方法降次,突出配方法和化歸,數(shù)學(xué)建模思想二、本章內(nèi)容及課時(shí)安排 全章包括三節(jié)(課時(shí)安排僅供參考)： 22.1 一元二次方程 2課時(shí) 22.2 降次 6課時(shí) 22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 3 課時(shí) 小結(jié) 2課時(shí)三、教學(xué)建議22.1 一元二次方程： 1.本節(jié)重點(diǎn)：一元二次方程的定義及其根的概念。學(xué)習(xí)內(nèi)容考試要求層次ABC一元二次方程了解一元二次方程的

4、概念，會(huì)將一元二次方程化為一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)；了解一元二次方程根的意義能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍；會(huì)由方程的根求方程中待定系數(shù)的值 2.、本節(jié)內(nèi)容:（1）以三個(gè)實(shí)際問題為背景（引言中的雕像問題，問題1面積問題、問題2比賽中的組合數(shù)問題），歸納出了一元二次方程的概念及一般形式，給出了一元二次方程根的概念。 (2）本節(jié)最后安排的是估算方程的解（1）新課標(biāo)的要求：經(jīng)歷用觀察、畫圖、計(jì)算器等手段估計(jì)方程的解的過程.（2）培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，鍛煉、提高學(xué)生估算能力。（3）讓學(xué)生體驗(yàn)用估算求某些一元二次方程的解有一定的困難，為學(xué)習(xí)一元二次方程的解法埋下伏筆。（4）對(duì)于基

5、礎(chǔ)較好的學(xué)生可以嘗試用函數(shù)的觀點(diǎn)運(yùn)用圖象法求近似解. 如對(duì)于 ,設(shè),畫出相應(yīng)的圖象,求出 時(shí)對(duì)應(yīng)的即可*（3）教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的:1.一元二次方程定義：等號(hào)兩邊都是整式, 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式： *3.一元二次方程根的概念 方程解的定義是怎樣的呢? 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就叫方程的解。只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做根 解出來 解 代進(jìn)去還原方程（4）例題：例1.判斷下列方程是否為一元二次方程？(基本要求) 1 2 3 4567.目的:讓學(xué)生了解一元二次方程的概念及一般形式.例2將方程3x（x-1）=5(x+2)化成

6、一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等解：略注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào). 例3方程（m+1）x|m|+1+（m-3）x-1=0 （1）m取何值時(shí)，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值時(shí)，方程是一元一次方程例4若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是1，則m的值是多少?(基本要求) 例5 若關(guān)于一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m為_.(基本要求) 例6 如果是關(guān)于 的方程 的根，求 a

7、的值.(代入時(shí)機(jī)的選擇）原方程可以整理為:例7 (略高要求)如果 是關(guān)于 的一元一次方程 的根，求的值.注意審題: 一元一次方程,即且 所以,則原方程可化為:則 原式=(整體代換) = =例8若方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根是，則a+b+c的值為 ; 代數(shù)式2009(a+b+c)的值是 ;若a-b+c=0，則此方程必有一個(gè)根是 . (基本要求)例9 已知a是方程一個(gè)根，求 的值. (略高要求)由題意可得:則 則, 原式=22.2降次解一元二次方程 解方程的基本思路（基本方法）：多元 一元（消元）高次 低次（降次）降次的方法：開平方法（配方法）、因式分解法分式 整式（去分母、換元）1.本節(jié)重點(diǎn)

8、：一元二次方程的解法及根的判別式。2.教學(xué)內(nèi)容分析：（1） 一般地，解任何一個(gè)代數(shù)方程（組）最終都要化歸為一元一次方程來解。（2） 一元二次方程與一元一次方程相比，特殊之處在于未知數(shù)的最高次由1次升為2次,解一元二次方程基本策略是:把二次降為一次，即降次 關(guān)鍵步驟:各種解法(配方法,公式法,因式分解法)要?jiǎng)?chuàng)造條件實(shí)現(xiàn)降次 直接開平方法：通過開平方實(shí)現(xiàn)，把化為兩個(gè)一元一次方程；（目的）配方法：一元二次方程化為的形式，從而通過開平方達(dá)到降次，化為兩個(gè)一元一次方程；（工具）公式法：其實(shí)質(zhì)是配方法，只不過省去了配方的過程，而直接利用了配方的結(jié)論。（結(jié)果） 因式分解法：一元二次方程 通過分解因式達(dá)到降次

9、，化成兩個(gè)一元一次方程；依據(jù) （3） 用配方法、因式分解法等解一元二次方程時(shí)，要通過適當(dāng)?shù)淖冃蜗仁狗匠剔D(zhuǎn)化為一元一次方程，也就是使未知數(shù)從二次變?yōu)橐淮巍Ｒ辉畏匠痰慕荡巫冃?，是由一個(gè)二次方程得到兩個(gè)一次方程，因此一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)根。3.考試要求：習(xí)內(nèi)容考試要求層次ABC一元二次方程的解法理解配方法，會(huì)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解各種解法的依據(jù)能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?；?huì)用一元二次方程根的判別式判斷根的情況能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；會(huì)用配方法對(duì)代數(shù)式作簡單的變

10、形；會(huì)運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題4.教學(xué)建議（1）直接開平方法:建議先復(fù)習(xí)平方根的相關(guān)知識(shí)。然后結(jié)合一組練習(xí)題讓學(xué)生嘗試求解，最后讓學(xué)生在體驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納。 練習(xí) 解下列方程:(基本要求)(1) ,(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)歸納:如果方程能化成或的形式,那么可得或 不要要求學(xué)生去死記結(jié)論而應(yīng)該關(guān)注學(xué)生是如何處理(思考)的.（2）配方法建議：（1）要讓學(xué)生明白為什么要進(jìn)行配方，配方的目的是為用開平方法求解。（2）結(jié)合學(xué)生的實(shí)際可以先復(fù)習(xí)完全平方公式及等式性質(zhì)。（先完成書上P39的練習(xí)）（3）對(duì)于不同層次的學(xué)生可作不同的要求，保證基本方法的落實(shí)。（先整理成一般形式，然后

11、化二次項(xiàng)系數(shù)為1,最后配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。） (4) 練習(xí) 用配方法解下列方程: (1) (2)(視學(xué)生的落實(shí)情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充) (3)(讓學(xué)生體會(huì)為什么要化二次項(xiàng)系數(shù)為1,也可進(jìn)行方法上的對(duì)比) (4) (5)(讓學(xué)生體會(huì)為什么要先整理成一般式) (6) (7) (關(guān)注前后知識(shí)的聯(lián)系) (8)(對(duì)比(1),系數(shù)對(duì)實(shí)根的情況有影響,為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊) （3）公式法：是配方法的一般化結(jié)果求根公式的推導(dǎo)教材中的方法問題：已知ax2+bx+c=0（a0），試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1=，x2=(這個(gè)方程一定有解嗎?什么情況下有解？) 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成

12、一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去 解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= 4a20，4a20, 當(dāng)b2-4ac0時(shí)0 （x+）2=()2 直接開平方，得：x+= 即x= x1=，x2=推薦一種方法(視學(xué)生情況進(jìn)行補(bǔ)充) 對(duì)公式法一定要落實(shí)到位,通過讓學(xué)生的練習(xí),讓學(xué)生明白:運(yùn)用公式法求一元二次方程的根,一要整理成一般形式,確定各項(xiàng)系數(shù),二要確定判別式的正負(fù)性,三要正確套用公式（4）因式分解法：一般情況下要先整理成一般形式,最后運(yùn)用因式分解化成的形式,最后轉(zhuǎn)化為或,從面求解.練習(xí) 解下列一元二次方

13、程:(可以以練習(xí)形式先復(fù)習(xí)因式分解)(1)(2)(3)(4)(方法的靈活選擇)(5)(6)(不同的理解可以有不同的處理方式)(7)*（5）幾種方法的對(duì)比與選擇：練習(xí)：（先觀察再嘗試）1）x2=49 開平方法2）3x2-x=0 因式分解法3）x2-3x+2=0 因式分解法4）x2+2x+1=0 x1=x2=-1 因式分解法5）x2-2x-1=0 公式法（配方法）6） 5y2=8 開平方法7） x2-4x +3=0 因式分解法 8） x2-4x -3=0 公式法9）2x2+3x+1=0 因式分解法10）y2-2y-399=0 配方法（系數(shù)特別大） 11）2（3x-1）2-6=0 12) 2x2+1

14、=2x 13）3（x-2）2+5(x-2)-2=0 14） (2x-3)(x-1)=2 15） 2x（x+5）=7x-116） 2x - 17）4（x-1）2=49x2重視學(xué)生對(duì)解法的落實(shí)是教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注的,但并不能因此就把本節(jié)課設(shè)計(jì)老師講學(xué)生模仿的習(xí)題課，一方面要讓學(xué)生真正體會(huì)各種解法的實(shí)質(zhì)與聯(lián)系，另一方面更要關(guān)注學(xué)生的感受。(6)字母系數(shù)方程可適當(dāng)補(bǔ)充例. 若關(guān)于x的方程，有兩個(gè)不同的正整數(shù)根，求正整數(shù)k的值。（較高要求） 分析：本題用因式分解的方法較好，但求出k以后，要注意檢驗(yàn)，因?yàn)轭}目要求有兩個(gè)不同的正整數(shù)根，所以。 解：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的正整數(shù)根 ，將方程的左邊分解因式： 點(diǎn)評(píng)：

15、本題容易錯(cuò)在k3沒有舍。所以一定要注意檢驗(yàn)。例（2007四川綿陽）(較高要求)已知x1，x2 是關(guān)于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當(dāng)實(shí)數(shù)m，p滿足什么條件時(shí)，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值解：（1） 原方程變?yōu)椋簒2（m + 2）x + 2m = p2（m + 2）p + 2m， x2p2（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（xp）（x + p）（m + 2）（xp）= 0，即 （xp）（x + pm2）= 0， x1 = p， x2 = m + 2p（2） 直角三角形的面積

16、為=， 當(dāng)且m2時(shí)，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為或例 (2008北京) (較高要求)已知：關(guān)于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，（其中）若是關(guān)于的函數(shù)，且，求這個(gè)函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量的取值范圍滿足什么條件時(shí)，解:（1）證明：是關(guān)于的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）解：由求根公式，得或，即為所求 5.關(guān)注配方法2009年中考說明的要求基本要求:理解配方法,會(huì)用配方法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程較高要求:會(huì)用配方法對(duì)代數(shù)式作簡單的變形例題：(較高要求)1

17、.已知,為實(shí)數(shù),則= . 2.求的最小值 。 也可用: 3.求證:不論,為何實(shí)數(shù),多項(xiàng)式的值總是正值. 也可用:4. 當(dāng)x為何值時(shí), 有最小值,并求出這個(gè)最小值.求的最小值或的最小值.5.證明：無論a取何值，關(guān)于x的方程（a2-6a+10)x2+ax+1=0都是一元二次方程.6. (P56數(shù)學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)2 圍矩形)用一根120cm的細(xì)繩分別圍出滿足下列條件的矩形：（1）面積為500cm2（2）面積為675cm2（3）面積為900cm2 試一試，能圍出面積大于900cm2的矩形嗎？你能解釋你的結(jié)論嗎？S=x（60-x）=-x2+60x=-(x-30)2+9006.一元二次方程根的判別式（1）教學(xué)

18、要求：例 無論p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根嗎?給出答案并說明理由 （2）一元二次方程根的判別式 （建議單獨(dú)安排1課時(shí)）（3）一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) 根的判別式 = b2 4ac 0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 = b2 4ac = 0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 = b2 4ac 0 方程沒有實(shí)數(shù)根 注意：（1）利用根的判別式的前提條件是一元二次方程，即隱含 a 0； （2）注意因果關(guān)系.（分清誰是條件誰是結(jié)論）（4）通過填下面的表格，理解根的判別式性質(zhì)：5例題例1 下列方程中，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的是（ ）(基本要求)A BCD例2

19、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 (基本要求)例3已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是 . (基本要求)例4已知：關(guān)于的一元二次方程求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(略高要求)*例5用12m長的一根鐵絲圍成長方形（1）能否使圍成的長方形面積是？為什么？（2）能圍成的長方形的最大面積是多少？(略高要求)解：（1）設(shè)長方形的寬為，則長為根據(jù)題意得即此時(shí)，故此方程無實(shí)數(shù)解，所以這樣的長方形不存在。（2）設(shè)圍成長方形的面積為k，則有即要使方程有解，必須，即所以最大的k只能是9。即最大面積為，此時(shí)，。這時(shí)圍成的圖形是正方形。*例6(較高要求) 討論下面的關(guān)于x的方程

20、的根的情況 解：若m1時(shí)，原方程是一元二次方程，(2m)24(m1)(m2)4(3m2)*例7 (略高要求) a，b，c是三角形的三條邊，求證：關(guān)于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20沒有實(shí)數(shù)根證明：因?yàn)?b2c2a2)24b2c2(b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc(bc)2a2(bc)2a2(bca)(bca)(bca)(bca)(要判斷這個(gè)乘積是不是負(fù)的，應(yīng)審查每個(gè)因式的正、負(fù))因?yàn)閎ca，即bca0，同理bca0，又cab，即bca0又abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0 所以，原方程沒有實(shí)數(shù)根例8（2007四川綿陽）(較高要求)已知x1，x2 是關(guān)于x

21、的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當(dāng)實(shí)數(shù)m，p滿足什么條件時(shí)，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值解：（1） 原方程變?yōu)椋簒2（m + 2）x + 2m = p2（m + 2）p + 2m， x2p2（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（xp）（x + p）（m + 2）（xp）= 0，即 （xp）（x + pm2）= 0， x1 = p， x2 = m + 2p（2） 直角三角形的面積為=， 當(dāng)且m2時(shí)，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為或例8 (2008北京)

22、 (較高要求)已知：關(guān)于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，（其中）若是關(guān)于的函數(shù)，且，求這個(gè)函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量的取值范圍滿足什么條件時(shí)，解:（1）證明：是關(guān)于的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）解：由求根公式，得或，12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1即為所求 （3）解：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象由圖象可得，當(dāng)時(shí)， 22.3實(shí)際問題與一元二次方程1.教學(xué)內(nèi)容：2.重點(diǎn)、難點(diǎn)：列一元二次方程解實(shí)際問題是本章的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。3.本章出現(xiàn)的問題類型 22.1問題1是幾何圖形面積問題，問題2