人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用(第二課時(shí))》教案

1、5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（第二課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1 .通過分析和解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，使學(xué)生經(jīng)歷利用三角函數(shù)近似刻畫實(shí)際問 題的過程，了解利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的一般思路，提高數(shù)形結(jié)合能力.2 .通過例題分析和練習(xí)鞏固，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用幾何直觀思考問題的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生 的直觀想象核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程.教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.課前準(zhǔn)備PPT課件.教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語(yǔ)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和交變電流都是理想化的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，可以用三角 函數(shù)模型準(zhǔn)確的描述它們的運(yùn)動(dòng)變化.在現(xiàn)實(shí)生活中也有大量運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，僅在一定范圍 內(nèi)呈現(xiàn)

2、出近似于周期變化特點(diǎn)，這些現(xiàn)象也可以借助三角函數(shù)近似的描述.（二）新知探究例1如圖1,某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) y = A sin(s + p) + .(1)求這一天614時(shí)的最大溫差：(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.問題1：如何根據(jù)溫度變化曲線得到這一天614時(shí)的最大溫差？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答.預(yù)設(shè)答案：曲線在自變量為614時(shí)，圖形中的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就 是這一天614時(shí)的最大溫差，觀察圖形得出這段時(shí)間的最大溫差為20.設(shè)計(jì)意圖：通過問答形式得到(1)的解答.問題2：如何求溫度隨時(shí)間的變化滿足的函數(shù)關(guān)系“y = Asin(s + 9)+ 中工。，6的值

3、？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師補(bǔ)充，之后學(xué)生板演解答過程，教師強(qiáng)調(diào)要注意自變 量的變化范圍.預(yù)設(shè)答案：為最大值減去最小值的差的一半，3可以利用半周期為14-6=8建立方程 得解，9可以利用特殊值求得.所求解析式為y = 10sin(x + ) + 20, x e 4 16.84設(shè)計(jì)意困：?jiǎn)l(fā)學(xué)生利用待定系數(shù)法解決(2).例2海水受日月的引力，在一定時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮 叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)巷道，靠近碼頭：卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.表 1是某港口某天的時(shí)刻與水深關(guān)系的預(yù)報(bào).時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m0： 005.09： 182.518： 36

4、5.03： 067.512： 245.021： 422.56： 125.015： 307.524： 004.0表1（1）選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)；策與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似值（精確到0.001m）.（2） 一條貨船的吃水深度（船底與水而的距離）為4m,安全條例規(guī)定至少要有1.5 m 的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度為4 m,安全間隙為1.5 m,該船在兩點(diǎn)開始卸貨，吃水深度以 0.3 mh的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必修停止卸貨，將船駛向較深的水域？問題3：觀察表1中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？根據(jù)數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，觀察圖

5、形，你 可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律？請(qǐng)?jiān)囍瓿桑?）的解答.預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教師引導(dǎo)學(xué)生作散點(diǎn)圖， 根據(jù)散點(diǎn)圖特點(diǎn)，選擇函數(shù)模型，學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖及有關(guān)數(shù)據(jù)，求出這個(gè)函數(shù)模型的解析 式.得出解析式之后，教師讓學(xué)生根據(jù)解析式填寫整點(diǎn)時(shí)的水深，完成（1）的解答.預(yù)設(shè)答案：觀察表格中數(shù)據(jù)可以看出，水深的變化具有周期性，根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn) 圖如圖2.從散點(diǎn)圖的形狀可以判斷，這個(gè)港口的水深y與時(shí)間a-的關(guān)系可以用形如 y = Asin（s +w）+ /?的函數(shù)來刻畫，從數(shù)據(jù)和圖形可以得出：.4=2. 5, h=5, T=12. 4,夕=0；由 7 =上=

6、12.4,得3=. CD31所以各港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可用函數(shù))=2. 5sm|x+5近似描述.將整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自變量代入解析式求出相應(yīng)的水深，得到表2完成(1)的解答.時(shí)刻0： 001： 002： 003： 001： 005； 006： 007； 008： 009： 0010： 0011： 00水深 /m5. 00()6.2137.1227. 4977. 2456. 1285. 2531. nil3. 0232. 5292. 6363 372時(shí)刻12： 13： 0014： 0015： 0016： 0017： 0018： W)19： 0020： 0021： 0022： 0023： 00水深 /m

7、4. 4975. 7486.8127. 4207. 1206.81271S1. 1973. 3722. 6562. 5293. 023表2設(shè)計(jì)意圖：從所給數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)周期性變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖特點(diǎn)選擇函數(shù)模型, 并求出函數(shù)解析式，并得到(1)的解答.問題4： (2)中，貨船需要的安全深度是多少？從函數(shù)的解析式來看，滿足怎樣的條件時(shí)，該船能夠進(jìn)入港口？從圖象上看呢？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師補(bǔ)充.預(yù)設(shè)答案：貨船需要的安全水深為4+l.5=5.5m.從函數(shù)的解析式來看，滿足y25.5,即2.5sin型升525.5,該船能夠進(jìn)入港口：從圖象上看，就是函數(shù)v=2. 5sin把x+5的圖象31

8、31在直線)=5.5上方時(shí)，該船能夠進(jìn)入港口.利用信息技術(shù)繪出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖3.求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為:xaO. 3975, xeg5. 8025, xcg 12. 7975, mg 18. 2025.問題5：可以將H, B, C,。點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為進(jìn)出港時(shí)間嗎？為什么？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師請(qǐng)學(xué)生們自由回答，答案不唯一.預(yù)設(shè)答案：事實(shí)上為了安全，進(jìn)港時(shí)間要比算出的時(shí)間推后一些，出港時(shí)間要比算出的 時(shí)間提前一些，這樣才能保證貨船始終在安全水域.因此，貨船可以在零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)45分左右出港；或在下午13時(shí)左右 進(jìn)港，下午18時(shí)左右出港.每次可以在港口停留5小時(shí)左右.設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)

9、生數(shù)形結(jié)合得到(2)的解答.問題6： (3)中，設(shè)在xh時(shí)貨船的安全水深為ym, y與時(shí)間x滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？ 從解析式來看，滿足怎樣的條件時(shí)，該船必須停止卸貨？從圖象上看呢？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師補(bǔ)充.預(yù)設(shè)答案：設(shè)在xh時(shí)貨船的安全水深為y m,那么產(chǎn)5. 5-0. 3(x-2) G22).從函數(shù)的解析式來看，滿足y25. 5-0.3 G-2),即2. 5sm|x+55. 5-0. 3 G-2)時(shí)，該船能夠進(jìn)入港口；從圖象上看，就是函數(shù)產(chǎn)2.5sm&x+5的圖象在直線尸5.5-0.3(廠2)上1方時(shí)，該船能夠進(jìn)入港口.利用信息技術(shù)繪出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖4.可以看到在68時(shí)之間兩個(gè)函

10、數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)P,求得尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4 -7.016.問題7：在船的安全水深正好等于港口水深時(shí)停止卸貨可以嗎?預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師請(qǐng)學(xué)生們自由回答，答案不唯一.預(yù)設(shè)答案：為了安全，船停止卸貨駛向安全水域的時(shí)間要比算出的時(shí)間提前一些.因此為了安全，貨船最好在6. 6時(shí)停止卸貨，將船駛向較深的水域.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受利用數(shù)學(xué)模型得到的答案要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行檢驗(yàn)和調(diào)整。問題8：通過本題的研究，你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟和需 要注意的問題嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過討論交流之后回答問題.預(yù)設(shè)答案：建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟：搜集數(shù)據(jù)，做出散點(diǎn)圖： 觀察散點(diǎn)圖

11、并進(jìn)行函數(shù)擬合，獲得具體的函數(shù)模型；利用這個(gè)函數(shù)模型解決相應(yīng)的實(shí)際問 題。需要注意的是，從數(shù)學(xué)模型中得到的答案還要根據(jù)實(shí)際情況檢驗(yàn)它是否可行.設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)提煉，讓學(xué)生根據(jù)具體問題的解答過程抽象出解決這一類問題的基本步 驟和方法.鞏固練習(xí)練習(xí)1：圖5為一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各店的位置圖，經(jīng)過周期后，乙點(diǎn) 2的位置將移至何處？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生自主解答，教師請(qǐng)學(xué)生展示答案.預(yù)設(shè)答案：乙點(diǎn)的位置將移至它關(guān)于戈軸的對(duì)稱點(diǎn)處.練習(xí)2：從出生之日起，人的情緒、體力、智力等狀況就呈周期性變化，根據(jù)心理學(xué)統(tǒng)計(jì)，人體節(jié)律分為體力行律，情緒節(jié)律，智力節(jié)律三種，這些行律的時(shí)間周期分別為23天，28天，3

12、3天。每個(gè)節(jié)律周期又分為高潮期，臨界日，低潮期三個(gè)階段.日律周期的半數(shù)為 臨界日，臨界日的前半期為高潮期，后半期為低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置）， 請(qǐng)根據(jù)自己的出生日期，繪制自己的體力，情緒，智力曲線，并預(yù)測(cè)本學(xué)期期末考試期間, 你在體力，情緒，智力方面會(huì)有怎樣的表現(xiàn)，需要注意哪些問題？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生利用信息技術(shù)畫出三個(gè)生物節(jié)律曲線，然后計(jì)算出從自己的出生 日到本學(xué)期期末考試的天數(shù)，以此為自變量找到相應(yīng)區(qū)間段的節(jié)律曲線圖，根據(jù)圖象分析預(yù) 測(cè)本學(xué)期期末考試會(huì)有怎樣的體力，情緒，智力方面的表現(xiàn)，在全班進(jìn)行展示交流.預(yù)設(shè)答案：由題可知，三個(gè)行律曲線的函數(shù)模型為“j-4sm3/的形式，

13、為了研究的方 便，我們可以統(tǒng)一設(shè),4=10,由行律的時(shí)間周期分別為23天，28天，33天可得相應(yīng)解析式 中的3值分別為女，,以出生日為自變量1，計(jì)算從出生日到本學(xué)期期末考試三231433天的天數(shù)得到三個(gè)自變量，觀察相應(yīng)變量區(qū)間的三個(gè)行律曲線的函數(shù)圖象進(jìn)行分析.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在課堂上以自己為對(duì)象來運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行研究，激發(fā)探究熱情, 提高學(xué)習(xí)教學(xué)的興趣.（三）歸納小結(jié)問題9；生活中哪類問題可以利用三角函數(shù)模型解決？利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的一 般步驟是怎樣的？你能夠?qū)⒈竟?jié)課所學(xué)內(nèi)容畫出一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖嗎？其中涉及到哪些數(shù)學(xué) 思想？通過本行課的學(xué)習(xí)，你還有哪些收獲？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生暢

14、所欲言，充分表達(dá)自己在這門課的收獲和體會(huì).引導(dǎo)學(xué) 生從數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、核心素養(yǎng)等各個(gè)方面全面進(jìn)行總結(jié).觀察圖形 函數(shù)擬合三角函數(shù)模型解決三角函數(shù)問題周期性聯(lián)系實(shí)際 解決問題預(yù)設(shè)答案：知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下：實(shí)際問題收集數(shù)據(jù) 畫散點(diǎn)圖設(shè)計(jì)意圖：在回顧本節(jié)課所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，總結(jié)所學(xué)知識(shí)和思想方法的基礎(chǔ)上談收獲, 進(jìn)一步使學(xué)生的學(xué)習(xí)體臉得到升華.（四）布置作業(yè)教科書習(xí)題5. 7第3, 4題.（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)某“海之旅”表演隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y （m）隨著時(shí)間 t （024,單位：h）周期性變化.為了了解其變化規(guī)律，該隊(duì)觀察若干天后，得到每天 各時(shí)刻f的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表

15、：t/h03691215182124y/m1.01. 41.00. 61.01. 40. 9。.；1. 0（1）試畫出散點(diǎn)圖：（2）觀察散點(diǎn)圖，從尸+b, y=Asin（3什夕）+，尸Acos（3什p）+中選擇一個(gè)合適的函 數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；（3）如果確定當(dāng)浪高不低于0.8 m時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排合適的訓(xùn)練時(shí)間段.預(yù)設(shè)答案：（1）散點(diǎn)圖如圖所示：1.5 1.0 0.53 6 9 12 15 18 21 24（2）由散點(diǎn)圖可知,選擇.v=Asin（M+0）+b函數(shù)模型較為合適.由圖可知,%1.4-0.6A =2_ 2兀 ty =1271.2=57 = 12,/4i).6 =.2一,y = -Si