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文檔簡介
1、11.5 集合的劃分與覆蓋集合的劃分與覆蓋 分門別類的思想是我們認(rèn)知世界的基本方法之一。我們在了解與掌握外部世界時(shí)習(xí)慣于采用分類處理的辦法。集合的分類,即對所處理的對象進(jìn)行科學(xué)分類正是這種思想的體現(xiàn)。21 集合覆蓋31 集合覆蓋4二二 集合劃分集合劃分( (分類分類) )51 1 定義定義 若把一個集合若把一個集合A A分成若干個叫做分成若干個叫做塊塊的非空子集,使的非空子集,使得得A A中每個元素至少屬于一個塊,那么這些塊的全體中每個元素至少屬于一個塊,那么這些塊的全體構(gòu)成的集合叫做構(gòu)成的集合叫做A A的一個的一個覆蓋覆蓋。又若又若A A中每個元素屬于且僅屬于一個塊,那么這些塊中每個元素屬于
2、且僅屬于一個塊,那么這些塊的全體構(gòu)成的集合叫做的全體構(gòu)成的集合叫做A A的一個的一個劃分劃分(或(或分劃,分分劃,分類類) )。 6 設(shè)設(shè)A A是任意集合,是任意集合,P(A)P(A)。如果下列。如果下列3 3個條件成立:個條件成立:1) 1) ;2) 2) 任意任意 Ai, AjAi, Aj ,有,有 AiAj = ;3) 則稱則稱 是集合是集合A的一種劃分。的一種劃分。 A.AiAi71)劃分是覆蓋的特例情形,即劃分一定是覆蓋,)劃分是覆蓋的特例情形,即劃分一定是覆蓋,但覆蓋不一定是劃分;但覆蓋不一定是劃分;例:例: 設(shè)設(shè)A=a,b,c, 則則a,b,b,c是是A的覆蓋,但的覆蓋,但 不是
3、不是A的劃分。的劃分。2)對空集合一般不討論劃分問題,約定其劃分不)對空集合一般不討論劃分問題,約定其劃分不存在;存在;3)非空集合)非空集合A的劃分方法一般有多種。的劃分方法一般有多種。8例例 設(shè)設(shè)A = a, b, c, 則則A的所有不同的劃分有的所有不同的劃分有:.,54321cbaacbbcacbacba最大劃分最大劃分最小劃分最小劃分9102 2 交叉劃分交叉劃分,|,|21JjBIiAji設(shè)集合設(shè)集合A有兩種劃分有兩種劃分,|JjIiBABAjiji令令n定理定理則則 是是A的一種劃分,稱為是的的一種劃分,稱為是的 交叉劃分交叉劃分。21和11給定集合給定集合A的兩種按的兩種按如上
4、形式定義的如上形式定義的劃分劃分 1, 2,若對于任,若對于任意意Ai 1,均存在,均存在Bj 2,使得,使得 Ai Bj,則稱劃分,則稱劃分 1是是 2的的加細(xì)劃分加細(xì)劃分。12121221例n定理:任何兩種劃分的交叉劃分,都是這兩種劃分的加細(xì)定理:任何兩種劃分的交叉劃分,都是這兩種劃分的加細(xì)。1314有限集合的所有劃分個數(shù)有限集合的所有劃分個數(shù) 設(shè)設(shè)|A| = n,A的不同劃分的個數(shù)為的不同劃分的個數(shù)為N,S(n, k)表示將表示將n個元素的個元素的集合劃分成集合劃分成k個塊的方案數(shù),則個塊的方案數(shù),則nkknSN1),(且有以下等式成立:. 12)2 ,() 3(1),(21) 1 ,(
5、11nnSnnSnS;)(;)(15n定理定理 對于對于n1,下列關(guān)于,下列關(guān)于S(n, k)的遞推關(guān)系成的遞推關(guān)系成立:立:證證: 取取n元集元集A的某一元素的某一元素a,將將A分成分成k個塊分成兩個塊分成兩類情況討論:類情況討論:一類一類是是a作為單獨(dú)一塊的作為單獨(dú)一塊的,一類是一類是a不是單獨(dú)一塊的不是單獨(dú)一塊的.第一類的劃分?jǐn)?shù)為第一類的劃分?jǐn)?shù)為S(n-1,k-1);第二類的劃分分成兩步來實(shí)現(xiàn)第二類的劃分分成兩步來實(shí)現(xiàn),一步為將一步為將A中除了中除了元素元素a劃分成劃分成k塊塊,第二步將第二步將a放入某一塊中,有放入某一塊中,有k種種放法放法.由乘法原理得第二類的劃分?jǐn)?shù)為由乘法原理得第二類的劃分?jǐn)?shù)為kS(n-1,k).最后由加法原理,定理得證最后由加法原理,定理得證.).
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