粘性流體的不可壓縮流動(dòng)

1、chapter 9-1 粘性不可壓縮流體流動(dòng)1概述一、粘性不可壓縮流動(dòng)模型、關(guān)于粘性 粘性摩擦的存在必導(dǎo)致繞流阻力的存在，運(yùn)動(dòng)的衰減及渦量的擴(kuò)散。在大數(shù)下，慣性力粘性力，采用理想流體模型，理想流體理論對(duì)不脫體繞流情況下的升力，壓力分布和速度分布給出了符合實(shí)際的結(jié)果，但在阻力等與粘性效應(yīng)相關(guān)的問(wèn)題上卻無(wú)能為力。因而，在研究阻力等起源于粘性的現(xiàn)象時(shí)須拋棄理想流體假設(shè)。在小數(shù)和中數(shù)情況下，粘性作用不可忽略。2、關(guān)于不可壓縮流動(dòng)（流體的壓縮性對(duì)流動(dòng)的影響可略）液體壓縮系數(shù)小，一般可認(rèn)為不可壓縮（極端情況如激波等除外）。氣體在低速運(yùn)動(dòng)（速度遠(yuǎn)小于聲速）、非定常時(shí)速度變化緩慢，且重力方向上流場(chǎng)的尺度10k

2、m時(shí)，可略其壓縮性。（當(dāng)研究對(duì)流層（10km）內(nèi)大氣運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能忽略重力場(chǎng)引起的壓縮效應(yīng)）。、基本方程組和邊界條件均質(zhì)不可壓縮流體，且溫度變化小，故有 求速度和壓力場(chǎng)的完備方程組。能量方程 用于求溫度場(chǎng)本構(gòu)方程 用于求應(yīng)力邊界條件：在固壁表面上，流體的法向和切向速度分別等于固體表面的對(duì)應(yīng)速度分量。 在自由表面上，。二、粘性流動(dòng)分類(lèi)，求解問(wèn)題的幾種途徑層流：流體運(yùn)動(dòng)規(guī)則、穩(wěn)定，各部分分層流動(dòng)互不摻混，質(zhì)點(diǎn)軌跡光滑。脈線清晰湍流：流體運(yùn)動(dòng)極不規(guī)則、極不穩(wěn)定，伴有高頻擾動(dòng)，各部分激烈摻混，質(zhì)點(diǎn)軌跡雜亂無(wú)章。決定流動(dòng)狀態(tài)的參數(shù)是數(shù)(batchlor page255)，2000 一定是層流，此時(shí)粘性力足

3、以保持流動(dòng)的穩(wěn)定。層流：極少有準(zhǔn)確解（某些特殊的簡(jiǎn)單問(wèn)題，非線性方程得以簡(jiǎn)化） 近似解法：大數(shù)，邊界層理論 小數(shù)，部分或全部忽略慣性力。湍流：湍流理論（近似解法）三、粘性流動(dòng)的一般特征1、運(yùn)動(dòng)的有旋性由 () 知n一s方程可化為粘性不可壓縮流動(dòng)方程組改寫(xiě)為若則n-s方程化為euler方程，粘性與無(wú)粘流動(dòng)的區(qū)別就僅在于固壁上的無(wú)滑移邊界條件。理想流體上述方程組在下有唯一解，此解一般不滿足無(wú)滑移條件，也就是說(shuō)，粘性不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)的解一般不存在粘性不可壓縮流動(dòng)一般是有旋運(yùn)動(dòng)。特例：點(diǎn)渦引起的理想流體二維流動(dòng)在區(qū)域的解亦是的圓柱在粘性流體中勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)引起的粘性流動(dòng)。、機(jī)械能的耗損性 3、渦旋的

4、擴(kuò)散性與耗散性 （北大）9.5-9.6 粘性不可壓縮流動(dòng)的一些準(zhǔn)確解一、定常的單一方向流動(dòng)1、平面couette流動(dòng)與poiseuille流動(dòng)兩無(wú)限大平行平板，平板間充滿均質(zhì)不可壓縮流體，間距，上板以速度沿軸方向運(yùn)動(dòng)，下板靜止，研究板間流體的定常流動(dòng)。由流動(dòng)特點(diǎn)可知：， 。n-s方程：。邊界條件：，。1）若沿軸方向無(wú)壓差，流動(dòng)僅由上板拖動(dòng)引起，即稱(chēng)couette流動(dòng)，此時(shí) 簡(jiǎn)單剪切流動(dòng)。2）上板、下板均不動(dòng)，則為poiseuille流動(dòng)，此時(shí)。3）平板所受粘滯力（以couette流為例）或下板受切應(yīng)力。4）拖動(dòng)單位面積上平板外力做功功率。單位體積流體機(jī)械能耗散。單位面積平板板間流體柱內(nèi)的總機(jī)械

5、能耗散。例1 求解粘性流體沿傾斜平板下瀉的流動(dòng)（考慮重力的影響，假設(shè)自由表面與平板平行）。邊界條件：，公式(2)，代入(1)并考慮到(3)知 -（4）設(shè)，則，代入（4）得。再利用邊界條件得。討論：1）若上邊界處是自由表面，則由于邊界上故；另外自由表面要求，故 。2）上板速度多大時(shí)，下板上摩檫應(yīng)力為零，此時(shí)。2、截面均勻的圓管內(nèi)的粘性層流（hagen-poiseuille流動(dòng)）無(wú)限長(zhǎng)圓管內(nèi)壓強(qiáng)梯度力作用下的定常層流。假設(shè)外加壓差不隨時(shí)間變化，不考慮入口段流動(dòng)（粘性作用尚未達(dá)到充分，速度剖面隨離入口的距離變化）可假設(shè)管無(wú)限長(zhǎng)。流體在壓差作用下開(kāi)始流動(dòng)，當(dāng)進(jìn)入管中充分長(zhǎng)距離后，粘性力達(dá)到與壓強(qiáng)梯度力

6、平衡，速度剖面不再變化，取柱坐標(biāo)系如圖，。柱坐標(biāo)系下原始方程見(jiàn)吳書(shū)（下冊(cè)page229），此流動(dòng)軸對(duì)稱(chēng)，僅考慮n-s 方程的和兩分量方程： 則 邊界條件：，另外附加有，有限； 故 討論：流量及平均速度 , ，可利用此關(guān)系通過(guò)測(cè)量流量來(lái)獲得粘性系數(shù)。注 關(guān)于壓差（管長(zhǎng)）的量綱分析解見(jiàn)余志豪習(xí)題解答page119。流體層間的阻力：；軸上：；壁上：。 阻力系數(shù) ，其中。二、兩同軸旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動(dòng)（圓形流線情形，不計(jì)重力）流體充滿兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱之間，兩圓柱旋轉(zhuǎn)角速度分別為。求解啟動(dòng)充分長(zhǎng)時(shí)間后的定常流動(dòng)。選取柱坐標(biāo)系，由流動(dòng)特點(diǎn)可知：，n-s方程：(1)式解釋?zhuān)簤簭?qiáng)梯度力提供向心力；(2)式解釋

7、：.(2)式即一一euler方程，設(shè)代入得，故解為。邊界條件： ， ；最后可得 -（3）討論：1）應(yīng)力張量分量，它代表任一流體柱殼外表面上的粘性應(yīng)力，任一單位長(zhǎng)流體柱殼外表面受摩擦力矩，與無(wú)關(guān)，因而該柱殼內(nèi)外表面摩檫力矩平衡，故作定常運(yùn)動(dòng)。2）(3)式中第一項(xiàng)表示剛性旋轉(zhuǎn)(有旋流動(dòng))，第二項(xiàng)表示無(wú)旋運(yùn)動(dòng). 若（無(wú)內(nèi)柱）則 表示旋轉(zhuǎn)的桶內(nèi)流體與桶一起剛性旋轉(zhuǎn)； 若無(wú)外柱殼則，這是n-s方程無(wú)旋流解的一個(gè)實(shí)例。 將以上二者結(jié)合起來(lái)，即考慮一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓柱殼浸沒(méi)于無(wú)界的粘性不可壓縮流體中旋轉(zhuǎn)，則得到3、非定常的單一方向的流動(dòng)一、平板的突然啟動(dòng)stokes第一問(wèn)題（瞬態(tài)過(guò)程）假設(shè)有一無(wú)限大平板浸沒(méi)在無(wú)界

8、的靜止流體中，突然平板以速度沿其自身所在平面運(yùn)動(dòng)起來(lái)，并且此后一直保持這一速度不變，求解平板啟動(dòng)后流體運(yùn)動(dòng)的演化過(guò)程。；（任意時(shí)刻流動(dòng)還沒(méi)有傳到的地方就可看成無(wú)窮遠(yuǎn)）解定解問(wèn)題 解法一：由定解問(wèn)題形式知，而組成唯一無(wú)量綱變數(shù) （）；由量綱齊次性原理知定解問(wèn)題化為，（把偏微分方程化成了常微分方程）故 （，）解法二：用laplace變換方法求解解法三：李新明書(shū)分析：1、速度分布 北大圖； 2、渦量 渦量的產(chǎn)生：在啟動(dòng)的那一瞬間，板面上流體質(zhì)點(diǎn)速度，其外的流體在瞬時(shí)的粘性作用下有加速度，但還沒(méi)有速度（速度的獲得需要時(shí)間）從而出現(xiàn)一個(gè)速度的間斷面，板上這層流體在板和板外靜止流體的粘性切應(yīng)力的作用下被“

9、搓”出渦量。 3、速度和渦量的擴(kuò)散（時(shí)是由于均攤，還是由于粘性損耗？） 當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為渦量和動(dòng)量主要集中于以下，即可作為速度和渦量已傳播到的區(qū)域的邊線，對(duì)應(yīng)渦量和速度擴(kuò)散的距離以的規(guī)律增加，擴(kuò)散速率按規(guī)律減小。另外越大，擴(kuò)散越快。渦量和速度都集中于板面附近的小區(qū)域內(nèi)，隨，界面上渦量場(chǎng)逐漸減弱。而某一處，渦量先增后減。整個(gè)渦量場(chǎng)逐漸趨于均勻，最后達(dá)到（渦量由于粘性而擴(kuò)散，（總量不變，參考教材習(xí)題11外力拖板作功補(bǔ)充動(dòng)能損耗），擴(kuò)散方程中未含有耗散項(xiàng)，粘性只導(dǎo)致擴(kuò)散。eg：關(guān)于渦量的產(chǎn)生和擴(kuò)散的一個(gè)規(guī)律在平板突然啟動(dòng)問(wèn)題中證明，式中，該流動(dòng)的速度為，這個(gè)積分意味著，由于平板的運(yùn)動(dòng)在時(shí)產(chǎn)生了一定量的

10、渦量，隨時(shí)間的推移，渦量在流體內(nèi)部擴(kuò)散，但總的渦量保持不變。證明： 代入積分即得證。（兩無(wú)限大平板突然啟動(dòng)，速度均為，中間流體時(shí)達(dá)到，渦量消失始自?xún)砂甯浇聪驕u層的擴(kuò)散。）9.3相似原理與量綱分析一、 模型實(shí)驗(yàn)的必要性：可以求得理論上的精確解的流動(dòng)，只是一些簡(jiǎn)單的流動(dòng)。實(shí)際的情形要復(fù)雜得多，以至求解一種真實(shí)的流動(dòng)往往會(huì)變得非常困難，甚至無(wú)可能實(shí)現(xiàn)。要解決復(fù)雜的真實(shí)流動(dòng)問(wèn)題，一方面依靠發(fā)展各種相似理論和數(shù)值解法；另一方面則要通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果的正確分析。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)原則上是要研究尺度上縮小或放大了的真實(shí)流動(dòng)。通過(guò)對(duì)這種模擬流動(dòng)的觀測(cè)與分析，去推知真實(shí)流動(dòng)的特性與規(guī)律。例如，用飛機(jī)模型在風(fēng)洞中作吹

11、風(fēng)試驗(yàn)，艦船在水槽中拖動(dòng)測(cè)量等。模擬實(shí)驗(yàn)一方面可以降低費(fèi)用，另一方面也可使實(shí)驗(yàn)條件容易控制。于是就提出了一個(gè)問(wèn)題：應(yīng)該如何設(shè)計(jì)模型實(shí)驗(yàn)，才能使模擬流動(dòng)與真實(shí)的流動(dòng)之間有簡(jiǎn)單的變換關(guān)系，以及如何將有限的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用于廣泛的實(shí)際流動(dòng)中去。這些正是相似性原理所要回答的問(wèn)題。 本課程不準(zhǔn)備講述相似理論的全面、嚴(yán)格的理論內(nèi)容，只著重于介紹其思想方法，故僅從一例出發(fā)進(jìn)行分析。二、相似原理考慮不可壓縮粘性流體定常繞流圓球的問(wèn)題，動(dòng)力學(xué)方程組和定解條件：將上述定解問(wèn)題無(wú)量綱化， ，得無(wú)量綱方程由此可見(jiàn)，若兩個(gè)不可壓縮粘性流體繞球定常流動(dòng)滿足，則此二流動(dòng)無(wú)量綱方程解完全一致。此二流動(dòng)之間有簡(jiǎn)單變換關(guān)系，如，說(shuō)明

12、（相似原理主要內(nèi)容）：定義renold數(shù)“流動(dòng)相似”的概念首先是幾何相似（僅強(qiáng)調(diào)邊界的幾何相似），從而無(wú)量綱化后的邊界條件一致。其次在確定實(shí)驗(yàn)參數(shù)時(shí)要求數(shù)相等從而保證無(wú)量綱化方程組一致。這樣兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。此時(shí)，兩個(gè)流動(dòng)的同一物理量（如）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的值成比例，這叫作力學(xué)相似。數(shù)相等是“相似準(zhǔn)則”之一。相似準(zhǔn)則無(wú)量綱化方程各項(xiàng)的系數(shù)，不同的流動(dòng)問(wèn)題相似準(zhǔn)則個(gè)數(shù)不同，要具體問(wèn)題具體分析。（兩個(gè)定常粘性繞球流動(dòng)若數(shù)相等則相似，故數(shù)稱(chēng)為相似準(zhǔn)則）。，適用于所有相似的流動(dòng)。一般粘性不可壓縮流動(dòng)力學(xué)相似性：吳書(shū)p231-238。三、相似原理對(duì)模型實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義：對(duì)于模型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)意義：設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)必須

13、保證幾何相似和滿足相似準(zhǔn)則?？稍谙嗨茰?zhǔn)則允許的前提下適當(dāng)選擇實(shí)驗(yàn)參數(shù)，eg.研究飛機(jī)在空中的等速平飛，其相似準(zhǔn)則為數(shù)：。實(shí)驗(yàn)參數(shù)（風(fēng)洞風(fēng)速，模型特征尺寸，風(fēng)洞內(nèi)介質(zhì)）須滿足： ，可增大風(fēng)洞尺寸以增大，或增大空氣密度以減小從而減小。（，戰(zhàn)斗機(jī)可達(dá)2倍音速，甚至接近3倍音速） 對(duì)于實(shí)驗(yàn)研究的指導(dǎo)意義：例如繞流問(wèn)題中物體受力的實(shí)驗(yàn)測(cè)量。吳書(shū)p236。二、量綱分析1. 量綱的概念。（實(shí)例說(shuō)明）2. 量綱齊次性原理。 描述物理定律的等式或不等式兩端的物理量必須有相同的量綱，也就是說(shuō)，只有量綱相同的量才能夠相加或比較。eg 應(yīng)用：用于分析或檢驗(yàn)物理量之間的關(guān)系。eg：聲速是一個(gè)平衡態(tài)的熱力學(xué)狀態(tài)變量，在任

14、何均質(zhì)系統(tǒng)中，任一熱力學(xué)量都是兩個(gè)獨(dú)立熱力學(xué)變量的確定函數(shù)，我們?nèi)『蜑楠?dú)立熱力學(xué)變量，于是，為關(guān)于的多項(xiàng)式，設(shè)冪次分別為按量綱齊次性原理 其中，于是有， ，得，（為唯一一組可能值）因此，我們得到或（可能的關(guān)系式中的一種）這里為常數(shù)，只能由熱力學(xué)理論或?qū)嶒?yàn)求得。實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，只需測(cè)量數(shù)據(jù)組，根據(jù)數(shù)據(jù)擬合出二者之間的線性關(guān)系，而不是測(cè)，大大簡(jiǎn)化測(cè)量與分析。例1，用：30的模型在水槽中研究潛艇阻力問(wèn)題。若實(shí)際潛艇水下航速為10knot，試確定研究摩阻時(shí)，模型拖拽速度多大。答：研究摩阻時(shí)，相似準(zhǔn)則為數(shù)： 故 參見(jiàn)吳望一：定常繞流數(shù)消失，不計(jì)重力數(shù)消失，潛艇在水下，不考慮自由表面，數(shù)消失，只剩下數(shù)。例2，

15、一模型港尺度比為280：1，設(shè)真實(shí)storm wave 振幅1.524m，波速9.144m/s。試確定模型實(shí)驗(yàn)波的特征量。答：幾何相似要求模型波浪尺寸：，?？紤]重力起作用的表面波（重力波）：特征量周期t，；波高，；波速c，及無(wú)量綱化方程： strouhal數(shù)：，若滿足幾何相似，則strouhal數(shù)自然相等。 froude數(shù)：故模型波速為。粘性流體的不可壓縮流動(dòng)習(xí)題課小結(jié)：粘性不可壓縮流動(dòng)基本方程組和邊界條件典型的精確解及流動(dòng)規(guī)律：stokes和ossen近似，繞球流動(dòng)。eg1、柱坐標(biāo)系下求解是定常的單一方向的流動(dòng) 粘性系為的流體沿水平圓管作定常流動(dòng)，速度，壓強(qiáng)梯度不為零；1）試證：2）給出通過(guò)

16、管子的體積流量證明：1）連續(xù)性方程 故 n-s方程 (1)式表明(2)式兩端均為常數(shù)，令 則得證。 2)積分上式并考慮到邊界條件得： 體積流量為eg2：自由表面界面問(wèn)題 一皮帶通過(guò)一液體池沿直線向上以勻速運(yùn)動(dòng)，由于粘性帶走一層流體（厚度，密度，粘性系數(shù)）而重力使其下流，試給出流體運(yùn)動(dòng)速度所滿足的邊界條件、帶走的流體層的厚度內(nèi)的速度分布和流量。假定流動(dòng)定常，鉛直方向無(wú)壓差，略大氣摩擦。解：速度只有分量，從而連續(xù)性方程自然滿足 邊界條件： n-s方程已知 故可解得 eg3、兩流體界面邊界條件 如圖，兩層不同密度，不同粘性的流體成層放置，設(shè)水平方向無(wú)壓差，上板以向右勻速移動(dòng)，求速度分布。解： n-s方程：上層： 下層： 解得 ，銜接條件：， 邊界條件： 故得： eg4：橢圓邊界。考慮橢圓邊界的管子內(nèi)不可壓縮粘性流體的定常流動(dòng)。管子截面周線方程為1）證明：滿足該情形下的粘性流動(dòng)方程；2）已知、和 ，決定、；3）討論你所得到的解當(dāng)時(shí)的極限情況。證明：1）基本定解問(wèn)題： 滿足n-s方程，亦滿足連續(xù)性方程。 為滿足邊界條件要求，ie ， 2）由（1）得 則， ，則 3）當(dāng)時(shí)化成兩板間的流